Страница 290 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

870 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ Постройте ряд из четырёх или более чисел (не все из которых равны между собой), у которого:

а) среднее арифметическое равно медиане;

б) среднее арифметическое равно моде;

в) среднее арифметическое, медиана и мода равны между собой.

а) среднее арифметическое равно медиане;

Для выполнения этого условия необходимо построить ряд чисел, у которого среднее арифметическое (результат деления суммы всех чисел ряда на их количество) равно медиане (числу, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию ряда). Условие задачи также требует, чтобы в ряду было не менее четырех чисел и не все они были равны.

Проще всего добиться равенства среднего арифметического и медианы, составив симметричный ряд чисел. В любом симметричном ряде эти две характеристики совпадают.

Возьмем ряд из пяти чисел. Выберем медиану, например, число 10. В упорядоченном ряду это будет центральный, третий элемент. Чтобы ряд был симметричным, остальные числа должны располагаться на одинаковом расстоянии от медианы. Например, возьмем пары чисел $10-2=8$ и $10+2=12$, а также $10-5=5$ и $10+5=15$.

Получаем следующий упорядоченный ряд: 5, 8, 10, 12, 15.

Проверим этот ряд. Он состоит из пяти чисел, и не все они равны. Медиана этого ряда — центральный элемент, равный 10. Найдем среднее арифметическое:$$ \frac{5+8+10+12+15}{5} = \frac{50}{5} = 10 $$Среднее арифметическое также равно 10. Таким образом, среднее арифметическое равно медиане.

Ответ: 5, 8, 10, 12, 15.

б) среднее арифметическое равно моде;

В этом пункте требуется построить ряд, в котором среднее арифметическое равно моде (наиболее часто встречающемуся числу в ряду). Ряд должен содержать не менее четырех чисел, не все из которых равны.

Для начала выберем значение, которое будет одновременно и модой, и средним арифметическим. Пусть это будет число 7. Чтобы 7 было модой, оно должно встречаться в ряду чаще других чисел. Возьмем ряд из четырех чисел и включим в него число 7 дважды.

Пусть наш ряд имеет вид: $x_1, x_2, 7, 7$. Теперь нужно, чтобы среднее арифметическое этого ряда также было равно 7. Составим уравнение:

Упростим его:

Осталось подобрать числа $x_1$ и $x_2$, сумма которых равна 14. Важно, чтобы эти числа не были равны 7 (чтобы не нарушить условие, что не все числа равны) и были различны между собой (чтобы 7 осталась единственной модой). Например, выберем $x_1 = 5$. Тогда $x_2 = 14 - 5 = 9$.

Получаем ряд: 5, 9, 7, 7. В упорядоченном виде: 5, 7, 7, 9.

Проверим этот ряд. Он состоит из четырех чисел, не все они равны. Мода ряда — это число 7, так как оно встречается дважды, а остальные числа — по одному разу. Среднее арифметическое равно $\frac{5+7+7+9}{4} = \frac{28}{4} = 7$. Таким образом, среднее арифметическое равно моде.

Ответ: 5, 7, 7, 9.

в) среднее арифметическое, медиана и мода равны между собой.

Здесь необходимо построить ряд, в котором все три основные статистические характеристики — среднее арифметическое, медиана и мода — имеют одно и то же значение. Как и ранее, ряд должен содержать не менее четырех чисел, и не все они должны быть одинаковыми.

Для выполнения всех трех условий удобно построить симметричный ряд, у которого центральный элемент одновременно является и самым частым. Возьмем ряд из пяти элементов, чтобы медиану было легко определить.

Пусть искомое общее значение среднего арифметического, медианы и моды равно 8.
1. Чтобы медиана была равна 8, в упорядоченном ряду из пяти чисел центральный (третий) элемент должен быть равен 8.
2. Чтобы мода была равна 8, число 8 должно встречаться чаще других. Включим его в ряд несколько раз, например, трижды.
Наш упорядоченный ряд будет иметь вид: $x_1, 8, 8, 8, x_5$.

Теперь нужно, чтобы среднее арифметическое также было равно 8. Составим и решим уравнение:

Нам нужно найти $x_1$ и $x_5$ с суммой 16, при этом $x_1 \le 8$ и $x_5 \ge 8$. Чтобы 8 оставалась модой, $x_1$ и $x_5$ должны быть отличны от 8 и друг от друга. Выберем $x_1 = 6$. Тогда $x_5 = 16 - 6 = 10$.

Получаем итоговый ряд: 6, 8, 8, 8, 10.

Проверим все условия. Ряд (6, 8, 8, 8, 10) состоит из 5 чисел, не все они равны.
Медиана (центральный элемент упорядоченного ряда) равна 8.
Мода (самое частое число) равна 8.
Среднее арифметическое равно $\frac{6+8+8+8+10}{5} = \frac{40}{5} = 8$.
Все три характеристики равны 8.

Ответ: 6, 8, 8, 8, 10.