Страница 289 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

867 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Соберите данные о стоимости одного из основных продуктов питания в магазинах вашего микрорайона (например, о стоимости 1 л молока). Вычислите статистические характеристики полученного вами ряда чисел.

Для решения данной практической задачи мы проведем имитацию сбора данных о стоимости одного из основных продуктов питания — молока — и рассчитаем для полученного набора данных основные статистические характеристики.

В качестве объекта исследования возьмем 1 литр пастеризованного молока жирностью 3,2%.

Предположим, мы обошли 7 магазинов в нашем микрорайоне и зафиксировали следующие цены (в рублях):

78,50; 82,90; 85,00; 88,00; 95,20; 78,50; 81,00.

Это наш исходный ряд данных. Для удобства вычислений упорядочим его по возрастанию (создадим вариационный ряд):

78,50; 78,50; 81,00; 82,90; 85,00; 88,00; 95,20.

Объем выборки (количество наблюдений) $n=7$.

Размах

Размах ряда — это разность между его наибольшим и наименьшим значениями. Эта характеристика показывает меру разброса данных.

Наибольшее значение ($X_{max}$): 95,20 руб.

Наименьшее значение ($X_{min}$): 78,50 руб.

Вычисляем размах по формуле: $R = X_{max} - X_{min}$.

$R = 95,20 - 78,50 = 16,70$ руб.

Ответ: размах цен на молоко составляет 16,70 руб.

Мода

Мода ($Mo$) — это значение в ряду данных, которое встречается наиболее часто.

В нашем упорядоченном ряду {78,50; 78,50; 81,00; 82,90; 85,00; 88,00; 95,20} значение 78,50 встречается два раза, в то время как все остальные значения — только по одному разу.

Следовательно, модой данного ряда является цена 78,50 руб.

Ответ: мода цен на молоко составляет 78,50 руб.

Медиана

Медиана ($Me$) — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных.

Поскольку наш ряд состоит из 7 элементов (нечетное число), медиана — это элемент, стоящий ровно посередине. Его порядковый номер равен $\frac{n+1}{2} = \frac{7+1}{2} = 4$.

Четвертый элемент в упорядоченном ряду {78,50; 78,50; 81,00; 82,90; 85,00; 88,00; 95,20} — это 82,90.

Ответ: медиана цен на молоко составляет 82,90 руб.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое ($\bar{X}$) — это сумма всех значений ряда, деленная на их количество. Это одна из мер центральной тенденции выборки.

Сначала найдем сумму всех цен:

$\sum X_i = 78,50 + 78,50 + 81,00 + 82,90 + 85,00 + 88,00 + 95,20 = 589,10$ руб.

Теперь разделим сумму на количество наблюдений ($n=7$):

$\bar{X} = \frac{589,10}{7} \approx 84,157$

Округляя до двух знаков после запятой (как в исходных данных), получаем 84,16 руб.

Ответ: среднее арифметическое цен на молоко составляет примерно 84,16 руб.

868 РАССУЖДАЕМ

Для службы в Президентском полку отбирают призывников ростом не менее 175 см и не более 190 см.

Есть три группы призывников, про которые известно, что:

в первой группе средний рост равен 180 см;

во второй группе максимальный рост равен 189 см;

в третьей группе медиана ряда ростов равна 176 см.

В какой из этих групп не менее половины призывников заведомо годны к службе в Президентском полку?

Для того чтобы призывник был годен к службе в Президентском полку, его рост $h$ в сантиметрах должен удовлетворять условию $175 \le h \le 190$.

Проанализируем каждую группу на предмет того, можно ли гарантировать, что в ней не менее половины (то есть 50% или более) призывников годны к службе.

в первой группе средний рост равен 180 см.

Знание среднего арифметического роста не позволяет сделать однозначный вывод о доле призывников, чей рост попадает в заданный диапазон. Среднее значение чувствительно к выбросам (очень высоким или очень низким значениям). Можно привести контрпример, в котором никто из призывников не является годным.
Пример: Рассмотрим группу из двух призывников с ростом 160 см и 200 см. Оба они не годны к службе ($160 < 175$ и $200 > 190$). Однако их средний рост равен $(160 + 200) / 2 = 180$ см. В этой группе 0% призывников годны к службе, что меньше 50%.
Следовательно, для первой группы такая гарантия отсутствует.

Ответ: нет.

во второй группе максимальный рост равен 189 см.

Это означает, что рост $h$ каждого призывника в этой группе не превышает 189 см, то есть $h \le 189$. Поскольку $189 \le 190$, все призывники в этой группе автоматически удовлетворяют верхнему ограничению по росту.
Однако, у нас нет никакой информации о росте призывников относительно нижней границы в 175 см. Возможно, что почти все призывники в группе ниже 175 см.
Пример: Рассмотрим группу из 10 человек, у 9 из которых рост 174 см (не годны), а у одного — 189 см (годен). Максимальный рост в группе равен 189 см, но доля годных призывников составляет всего $1/10 = 10\%$, что меньше 50%.
Следовательно, для второй группы такая гарантия отсутствует.

Ответ: нет.

в третьей группе медиана ряда ростов равна 176 см.

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию набор данных на две равные части. Это означает, что как минимум половина призывников в группе имеет рост не менее 176 см, и как минимум половина — не более 176 см.
Рассмотрим ту половину призывников, у которых рост $h \ge 176$ см. Все они удовлетворяют нижнему требованию к росту, так как $176 \ge 175$.
Рассмотрим ту половину призывников, у которых рост $h \le 176$ см. Все они удовлетворяют верхнему требованию к росту, так как $176 \le 190$.
Чтобы призывник был годен, его рост должен удовлетворять обоим условиям одновременно ($175 \le h \le 190$).
Именно в этой группе можно дать требуемую гарантию. По определению медианы, как минимум у половины призывников рост не меньше 176 см. Обозначим эту "верхнюю" половину группы. Для любого призывника из этой половины его рост $h \ge 176$ см.
В то же время у "нижней" половины призывников рост $h \le 176$ см.
Поскольку медиана 176 см находится внутри интервала годности $[175, 190]$, мы можем утверждать, что как минимум половина призывников годны. Докажем это от противного. Предположим, что менее половины призывников годны. Это означает, что более половины призывников не годны. Призывник не годен, если его рост $h < 175$ или $h > 190$.
Если более половины призывников имеют рост $h < 175$ см, то медиана роста в группе должна быть меньше 175 см, что противоречит условию.
Если более половины призывников имеют рост $h > 190$ см, то медиана роста в группе должна быть больше 190 см, что также противоречит условию.
Таким образом, невозможно, чтобы более половины призывников были негодными. Следовательно, как минимум половина призывников годна.

Ответ: да.

869 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО У Катиной кошки 6 котят. Медиана масс котят равна 240 г. Масса Катиного любимого котёнка равна 250 г. Верны ли следующие утверждения?

а) Ровно половина котят имеют массу меньше, чем Катин любимец.

б) Менее половины котят имеют массу больше, чем Катин любимец.

в) Среди котят обязательно есть котёнок, масса которого равна 230 г.

Для решения этой задачи необходимо разобраться с понятием медианы и применить его к заданным условиям. У нас есть данные о массах 6 котят.

Поскольку количество котят четное (6), медиана их масс вычисляется как среднее арифметическое двух центральных значений в упорядоченном по возрастанию ряду. Давайте обозначим массы котят в порядке возрастания: $m_1 \le m_2 \le m_3 \le m_4 \le m_5 \le m_6$.

Медиана равна 240 г, это значит, что:

$\frac{m_3 + m_4}{2} = 240$

Из этого уравнения следует, что сумма масс двух центральных котят $m_3 + m_4 = 480$ г. Также, из условия упорядоченности ($m_3 \le m_4$), мы можем заключить, что $m_3 \le 240$ г, а $m_4 \ge 240$ г.

Масса любимого котенка Кати составляет 250 г. Так как $m_3 \le 240$ г, любимый котенок не может быть одним из трех самых легких ($m_1, m_2, m_3$). Следовательно, масса любимца в 250 г — это одна из масс $m_4, m_5$ или $m_6$.

Теперь проанализируем каждое утверждение.

а) Ровно половина котят имеют массу меньше, чем Катин любимец.

Это утверждение означает, что ровно 3 котенка (половина от 6) весят меньше 250 г. Мы точно знаем, что массы $m_1, m_2, m_3$ меньше 250 г, поскольку $m_3 \le 240$ г. Это уже три котенка. Но может ли быть так, что котят с массой меньше 250 г больше трех? Да, если масса четвертого котенка, $m_4$, также меньше 250 г. Мы знаем, что $m_4 \ge 240$ г, поэтому $m_4$ может быть, например, 245 г.

Приведем контрпример. Пусть массы котят в граммах распределились так: 230, 235, 240, 240, 250, 260.

• Медиана: $\frac{240 + 240}{2} = 240$ г. (Верно)
• Масса любимого котенка 250 г присутствует в наборе. (Верно)

В этом примере 4 котенка (массами 230, 235, 240 и 240 г) весят меньше 250 г. Так как 4 не равно 3, утверждение не всегда верно.

Ответ: неверно.

б) Менее половины котят имеют массу больше, чем Катин любимец.

Это утверждение означает, что менее 3 котят (0, 1 или 2) весят больше 250 г. Как мы установили, любимый котенок с массой 250 г — это один из котят $m_4, m_5$ или $m_6$. Рассмотрим все возможные варианты:

• Случай 1: Любимый котенок — это $m_4$. Тогда $m_4 = 250$ г. Котята с массой больше 250 г могут быть только $m_5$ и $m_6$. Их количество — 2, что меньше 3.
• Случай 2: Любимый котенок — это $m_5$. Тогда $m_5 = 250$ г. Только котенок $m_6$ может иметь массу больше 250 г. Его количество — 1, что меньше 3.
• Случай 3: Любимый котенок — это $m_6$. Тогда $m_6 = 250$ г. В этом случае нет котят с массой больше 250 г. Их количество — 0, что меньше 3.

Во всех возможных ситуациях количество котят, которые весят больше любимца, не превышает двух. Следовательно, их всегда менее половины.

Ответ: верно.

в) Среди котят обязательно есть котёнок, масса которого равна 230 г.

Чтобы проверить это утверждение, достаточно найти хотя бы один пример, который удовлетворяет условиям задачи, но не содержит котенка с массой 230 г. Мы уже использовали такой пример в пункте а):

Массы котят: 235, 235, 240, 240, 250, 260.

Этот набор данных удовлетворяет всем условиям (медиана 240 г, есть котенок массой 250 г), но ни один из котят не весит 230 г. Следовательно, наличие котенка с массой 230 г не является обязательным.

Ответ: неверно.