Номер 869, страница 289 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.1. Статистические характеристики. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 869, страница 289.

Условие.

869 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО У Катиной кошки 6 котят. Медиана масс котят равна 240 г. Масса Катиного любимого котёнка равна 250 г. Верны ли следующие утверждения?

а) Ровно половина котят имеют массу меньше, чем Катин любимец.

б) Менее половины котят имеют массу больше, чем Катин любимец.

в) Среди котят обязательно есть котёнок, масса которого равна 230 г.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи необходимо разобраться с понятием медианы и применить его к заданным условиям. У нас есть данные о массах 6 котят.

Поскольку количество котят четное (6), медиана их масс вычисляется как среднее арифметическое двух центральных значений в упорядоченном по возрастанию ряду. Давайте обозначим массы котят в порядке возрастания: $m_1 \le m_2 \le m_3 \le m_4 \le m_5 \le m_6$.

Медиана равна 240 г, это значит, что:

$\frac{m_3 + m_4}{2} = 240$

Из этого уравнения следует, что сумма масс двух центральных котят $m_3 + m_4 = 480$ г. Также, из условия упорядоченности ($m_3 \le m_4$), мы можем заключить, что $m_3 \le 240$ г, а $m_4 \ge 240$ г.

Масса любимого котенка Кати составляет 250 г. Так как $m_3 \le 240$ г, любимый котенок не может быть одним из трех самых легких ($m_1, m_2, m_3$). Следовательно, масса любимца в 250 г — это одна из масс $m_4, m_5$ или $m_6$.

Теперь проанализируем каждое утверждение.

а) Ровно половина котят имеют массу меньше, чем Катин любимец.

Это утверждение означает, что ровно 3 котенка (половина от 6) весят меньше 250 г. Мы точно знаем, что массы $m_1, m_2, m_3$ меньше 250 г, поскольку $m_3 \le 240$ г. Это уже три котенка. Но может ли быть так, что котят с массой меньше 250 г больше трех? Да, если масса четвертого котенка, $m_4$, также меньше 250 г. Мы знаем, что $m_4 \ge 240$ г, поэтому $m_4$ может быть, например, 245 г.

Приведем контрпример. Пусть массы котят в граммах распределились так: 230, 235, 240, 240, 250, 260.

• Медиана: $\frac{240 + 240}{2} = 240$ г. (Верно)
• Масса любимого котенка 250 г присутствует в наборе. (Верно)

В этом примере 4 котенка (массами 230, 235, 240 и 240 г) весят меньше 250 г. Так как 4 не равно 3, утверждение не всегда верно.

Ответ: неверно.

б) Менее половины котят имеют массу больше, чем Катин любимец.

Это утверждение означает, что менее 3 котят (0, 1 или 2) весят больше 250 г. Как мы установили, любимый котенок с массой 250 г — это один из котят $m_4, m_5$ или $m_6$. Рассмотрим все возможные варианты:

• Случай 1: Любимый котенок — это $m_4$. Тогда $m_4 = 250$ г. Котята с массой больше 250 г могут быть только $m_5$ и $m_6$. Их количество — 2, что меньше 3.
• Случай 2: Любимый котенок — это $m_5$. Тогда $m_5 = 250$ г. Только котенок $m_6$ может иметь массу больше 250 г. Его количество — 1, что меньше 3.
• Случай 3: Любимый котенок — это $m_6$. Тогда $m_6 = 250$ г. В этом случае нет котят с массой больше 250 г. Их количество — 0, что меньше 3.

Во всех возможных ситуациях количество котят, которые весят больше любимца, не превышает двух. Следовательно, их всегда менее половины.

Ответ: верно.

в) Среди котят обязательно есть котёнок, масса которого равна 230 г.

Чтобы проверить это утверждение, достаточно найти хотя бы один пример, который удовлетворяет условиям задачи, но не содержит котенка с массой 230 г. Мы уже использовали такой пример в пункте а):

Массы котят: 235, 235, 240, 240, 250, 260.

Этот набор данных удовлетворяет всем условиям (медиана 240 г, есть котенок массой 250 г), но ни один из котят не весит 230 г. Следовательно, наличие котенка с массой 230 г не является обязательным.

Ответ: неверно.