Номер 865, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.1. Статистические характеристики. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 865, страница 288.

Условие.

865 1) Президент компании получает 1 000 000 р. в год, четверо его заместителей получают по 200 000 р. в год, а 20 служащих компании получают по 100 000 р. в год. Найдите все средние (среднее арифметическое, моду, медиану) зарплат в компании.

2) Компания должна предоставить в муниципальную статистическую службу информацию о средней зарплате служащих компании и о зарплате среднего служащего. Какие из найденных вами данных надо предоставить в каждом случае?

3) Какой показатель: медиана зарплат или их среднее арифметическое — представляется вам более объективным?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Для решения задачи сначала определим общее количество сотрудников в компании. Оно равно сумме президента, его заместителей и служащих:
$1 + 4 + 20 = 25$ человек.

Теперь найдем все три средних показателя зарплат.

Среднее арифметическое:
Это сумма всех зарплат, деленная на количество сотрудников. Сначала найдем общий годовой фонд оплаты труда (ФОТ):
$1 \cdot 1 000 000 \text{ р.} + 4 \cdot 200 000 \text{ р.} + 20 \cdot 100 000 \text{ р.} = 1 000 000 + 800 000 + 2 000 000 = 3 800 000 \text{ р.}$
Теперь разделим ФОТ на общее количество сотрудников, чтобы найти среднее арифметическое:
$\frac{3 800 000}{25} = 152 000 \text{ р.}$

Мода:
Мода — это значение в наборе данных, которое встречается чаще всего. В данном случае у нас есть следующие зарплаты: 1 000 000 р. (1 раз), 200 000 р. (4 раза) и 100 000 р. (20 раз).
Наиболее часто встречающееся значение — 100 000 р.

Медиана:
Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию набора данных. Всего в компании 25 сотрудников, что является нечетным числом. Медианой будет зарплата сотрудника, стоящего в списке на месте с номером $(n+1)/2$.
Номер медианного сотрудника: $(25 + 1) / 2 = 13$-е место.
Составим упорядоченный список зарплат:
- 20 зарплат по 100 000 р. (занимают места с 1-го по 20-е)
- 4 зарплаты по 200 000 р. (занимают места с 21-го по 24-е)
- 1 зарплата 1 000 000 р. (занимает 25-е место)
На 13-м месте в этом списке находится зарплата размером 100 000 р.

Ответ: среднее арифметическое — 152 000 р., мода — 100 000 р., медиана — 100 000 р.

2)

Компании нужно предоставить два показателя: "среднюю зарплату служащих компании" и "зарплату среднего служащего".

- Под "средней зарплатой служащих компании", как правило, понимают среднее арифметическое. Этот показатель отражает общий фонд оплаты труда в расчете на одного сотрудника и является стандартной величиной в статистике. Таким образом, для этого запроса нужно предоставить значение 152 000 р.

- "Зарплата среднего служащего" — это показатель, характеризующий доход типичного, "усредненного" работника. Среднее арифметическое (152 000 р.) для этой цели подходит плохо, так как 20 из 25 сотрудников (то есть 80%) получают зарплату заметно ниже этого уровня. Значение сильно завышено из-за одной очень высокой зарплаты президента. Более точно зарплату типичного сотрудника отражают медиана или мода. Оба этих показателя равны 100 000 р., что соответствует зарплате большинства сотрудников (мода) и зарплате сотрудника, находящегося в центре распределения (медиана).

Ответ: для "средней зарплаты служащих" следует предоставить среднее арифметическое (152 000 р.), а для "зарплаты среднего служащего" — медиану или моду (100 000 р.).

3)

При оценке объективности показателей важно понимать, какую информацию мы хотим получить.

- Среднее арифметическое объективно с точки зрения математики, так как учитывает вклад каждого сотрудника в общий фонд оплаты труда. Однако оно очень чувствительно к так называемым "выбросам" — аномально высоким или низким значениям. В данном случае зарплата президента в 1 000 000 р. является таким выбросом и сильно искажает общую картину, смещая среднее значение вверх. В результате среднее арифметическое (152 000 р.) не дает верного представления о зарплате, которую получает большинство работников.

- Медиана, в свою очередь, нечувствительна к таким выбросам. Она показывает "центральную" зарплату: ровно половина сотрудников получает не больше этой суммы, а другая половина — не меньше. В нашей задаче медиана (100 000 р.) гораздо лучше отражает типичный уровень дохода в компании, так как она совпадает с зарплатой подавляющего большинства работников.

Следовательно, если целью является понять, сколько зарабатывает "обычный" сотрудник, то медиана представляется более объективным (точнее, более репрезентативным и менее вводящим в заблуждение) показателем, чем среднее арифметическое.

Ответ: медиана зарплат представляется более объективным показателем, так как она лучше отражает типичный уровень дохода в компании и не подвержена влиянию единичных сверхвысоких зарплат.