Страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

863 a) В течение года Лена получила следующие отметки за контрольные по алгебре: одну двойку, четыре тройки, шесть четвёрок и три пятёрки. Занесите эти данные в таблицу частот.

Отметка Число повторений

2 ...

... ...

... ...

... ...

Найдите среднее арифметическое, моду и медиану ряда отметок. Какую из полученных характеристик Лена предпочла бы иметь в качестве годовой отметки?

б) ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Изучите свои отметки по алгебре, полученные в течение года, и найдите среднее арифметическое, медиану и моду ряда отметок. Сделайте вывод о своих успехах и прогноз, какая годовая отметка вам будет выставлена.

а)

Сначала занесем данные в таблицу частот. Лена получила одну двойку, четыре тройки, шесть четвёрок и три пятёрки.

Теперь найдем статистические характеристики ряда отметок.

Общее количество отметок: $1 + 4 + 6 + 3 = 14$.

1. Среднее арифметическое — это сумма всех отметок, деленная на их количество.
Сумма всех отметок: $(2 \cdot 1) + (3 \cdot 4) + (4 \cdot 6) + (5 \cdot 3) = 2 + 12 + 24 + 15 = 53$.
Среднее арифметическое: $\frac{53}{14} \approx 3,79$.

2. Мода — это отметка, которая встречается чаще всего.
Чаще всего встречается отметка «4» (6 раз). Следовательно, мода ряда равна 4.

3. Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных.
Сначала запишем все отметки в порядке возрастания: 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5.
Так как количество отметок четное (14), медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений. Это 7-й и 8-й элементы ряда.
7-я отметка — 4, 8-я отметка — 4.
Медиана: $\frac{4 + 4}{2} = 4$.

Сравним полученные характеристики: среднее арифметическое $\approx 3,79$; мода = 4; медиана = 4.
Лена, скорее всего, предпочла бы получить в качестве годовой отметки наибольшее из этих значений. И мода, и медиана равны 4, что выше, чем среднее арифметическое. Поэтому Лена предпочла бы, чтобы ее годовая отметка была определена по моде или медиане.

Ответ: Таблица частот заполнена выше. Среднее арифметическое $\approx 3,79$, мода = 4, медиана = 4. Лена предпочла бы в качестве годовой отметки моду или медиану, так как они обе равны 4.

б)

Это практическое задание, которое нужно выполнить на основе собственных данных. Вот алгоритм действий:

1. Выпишите все свои отметки по алгебре, полученные в течение года. Например: 5, 4, 4, 3, 5, 4, ...
2. Составьте таблицу частот, как в пункте а), подсчитав, сколько раз вы получали каждую из отметок («5», «4», «3» и т.д.).
3. Найдите среднее арифметическое своих отметок: сложите все отметки и разделите полученную сумму на их общее количество.
4. Найдите моду ряда ваших отметок: определите, какая отметка встречается у вас чаще всего.
5. Найдите медиану ряда: упорядочьте свои отметки по возрастанию и найдите значение, которое находится ровно посередине списка. Если количество отметок четное, найдите среднее арифметическое двух центральных отметок.
6. Сделайте вывод о своих успехах. Сравните полученные характеристики. Среднее арифметическое показывает ваш общий средний балл. Мода показывает вашу "типичную" отметку. Медиана показывает центральную отметку, на которую не влияют случайные "выбросы" (например, одна двойка при множестве пятерок). На основе этих данных и правил выставления годовой оценки в вашей школе, сделайте прогноз, какая годовая отметка вам будет выставлена. Чаще всего учителя ориентируются на среднее арифметическое.

Ответ: Для выполнения этого задания необходимо использовать личные данные об успеваемости, проанализировав их по предложенному выше алгоритму.

864 РАССУЖДАЕМ

Маша, Саша, Катя, Лена, Ваня и Миша пошли в пиццерию. Ваня съел 5 кусков пиццы, Миша, Саша и Лена — по 3 куска, Катя — 2 куска, Маша — 1 кусок. Найдите все известные вам средние этих данных. Если бы Ваня съел не 5, а 7 кусков пиццы, как бы изменились эти величины?

Найдите все известные вам средние этих данных.

В задаче представлены данные о количестве кусков пиццы, съеденных шестью друзьями. Составим из этих данных числовой ряд: Маша — 1, Катя — 2, Миша — 3, Саша — 3, Лена — 3, Ваня — 5. Получаем набор данных: {1, 2, 3, 3, 3, 5}. Для этого набора можно рассчитать следующие статистические величины: среднее арифметическое, медиану, моду и размах.

1. Среднее арифметическое — это частное от деления суммы всех чисел ряда на их количество. Сумма всех съеденных кусков: $1 + 2 + 3 + 3 + 3 + 5 = 17$. Количество человек (чисел в ряду): 6. Среднее арифметическое: $ \frac{17}{6} \approx 2,83 $.

2. Медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию ряда данных. Наш ряд {1, 2, 3, 3, 3, 5} содержит четное число элементов (6), поэтому медиана равна среднему арифметическому двух центральных чисел. Это третье и четвертое числа, оба равны 3. Медиана: $ \frac{3 + 3}{2} = 3 $.

3. Мода — это значение в ряду данных, которое встречается чаще других. В нашем ряду число 3 встречается 3 раза, что чаще, чем любое другое число. Мода: 3.

4. Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду данных. Размах: $5 - 1 = 4$.

Ответ: Среднее арифметическое $\approx 2,83$, медиана = 3, мода = 3, размах = 4.

Если бы Ваня съел не 5, а 7 кусков пиццы, как бы изменились эти величины?

Если бы Ваня съел 7 кусков, то значение 5 в исходном ряду данных заменилось бы на 7. Новый ряд данных выглядел бы так: {1, 2, 3, 3, 3, 7}. Теперь рассчитаем те же величины для нового ряда и сравним их с первоначальными.

1. Среднее арифметическое: Новая сумма кусков: $1 + 2 + 3 + 3 + 3 + 7 = 19$. Новое среднее арифметическое: $ \frac{19}{6} \approx 3,17 $. Эта величина увеличилась.

2. Медиана: В упорядоченном ряду {1, 2, 3, 3, 3, 7} центральными числами по-прежнему являются 3 и 3. Новая медиана: $ \frac{3 + 3}{2} = 3 $. Эта величина не изменилась.

3. Мода: В новом ряду число 3 все так же является самым часто встречающимся. Новая мода: 3. Эта величина не изменилась.

4. Размах: Разница между новым наибольшим (7) и наименьшим (1) значениями. Новый размах: $7 - 1 = 6$. Эта величина увеличилась.

Ответ: Среднее арифметическое и размах увеличились бы (до $\approx 3,17$ и 6 соответственно), а медиана и мода не изменились бы (остались бы равны 3).

865 1) Президент компании получает 1 000 000 р. в год, четверо его заместителей получают по 200 000 р. в год, а 20 служащих компании получают по 100 000 р. в год. Найдите все средние (среднее арифметическое, моду, медиану) зарплат в компании.

2) Компания должна предоставить в муниципальную статистическую службу информацию о средней зарплате служащих компании и о зарплате среднего служащего. Какие из найденных вами данных надо предоставить в каждом случае?

3) Какой показатель: медиана зарплат или их среднее арифметическое — представляется вам более объективным?

1)

Для решения задачи сначала определим общее количество сотрудников в компании. Оно равно сумме президента, его заместителей и служащих:
$1 + 4 + 20 = 25$ человек.

Теперь найдем все три средних показателя зарплат.

Среднее арифметическое:
Это сумма всех зарплат, деленная на количество сотрудников. Сначала найдем общий годовой фонд оплаты труда (ФОТ):
$1 \cdot 1 000 000 \text{ р.} + 4 \cdot 200 000 \text{ р.} + 20 \cdot 100 000 \text{ р.} = 1 000 000 + 800 000 + 2 000 000 = 3 800 000 \text{ р.}$
Теперь разделим ФОТ на общее количество сотрудников, чтобы найти среднее арифметическое:
$\frac{3 800 000}{25} = 152 000 \text{ р.}$

Мода:
Мода — это значение в наборе данных, которое встречается чаще всего. В данном случае у нас есть следующие зарплаты: 1 000 000 р. (1 раз), 200 000 р. (4 раза) и 100 000 р. (20 раз).
Наиболее часто встречающееся значение — 100 000 р.

Медиана:
Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию набора данных. Всего в компании 25 сотрудников, что является нечетным числом. Медианой будет зарплата сотрудника, стоящего в списке на месте с номером $(n+1)/2$.
Номер медианного сотрудника: $(25 + 1) / 2 = 13$-е место.
Составим упорядоченный список зарплат:
- 20 зарплат по 100 000 р. (занимают места с 1-го по 20-е)
- 4 зарплаты по 200 000 р. (занимают места с 21-го по 24-е)
- 1 зарплата 1 000 000 р. (занимает 25-е место)
На 13-м месте в этом списке находится зарплата размером 100 000 р.

Ответ: среднее арифметическое — 152 000 р., мода — 100 000 р., медиана — 100 000 р.

2)

Компании нужно предоставить два показателя: "среднюю зарплату служащих компании" и "зарплату среднего служащего".

- Под "средней зарплатой служащих компании", как правило, понимают среднее арифметическое. Этот показатель отражает общий фонд оплаты труда в расчете на одного сотрудника и является стандартной величиной в статистике. Таким образом, для этого запроса нужно предоставить значение 152 000 р.

- "Зарплата среднего служащего" — это показатель, характеризующий доход типичного, "усредненного" работника. Среднее арифметическое (152 000 р.) для этой цели подходит плохо, так как 20 из 25 сотрудников (то есть 80%) получают зарплату заметно ниже этого уровня. Значение сильно завышено из-за одной очень высокой зарплаты президента. Более точно зарплату типичного сотрудника отражают медиана или мода. Оба этих показателя равны 100 000 р., что соответствует зарплате большинства сотрудников (мода) и зарплате сотрудника, находящегося в центре распределения (медиана).

Ответ: для "средней зарплаты служащих" следует предоставить среднее арифметическое (152 000 р.), а для "зарплаты среднего служащего" — медиану или моду (100 000 р.).

3)

При оценке объективности показателей важно понимать, какую информацию мы хотим получить.

- Среднее арифметическое объективно с точки зрения математики, так как учитывает вклад каждого сотрудника в общий фонд оплаты труда. Однако оно очень чувствительно к так называемым "выбросам" — аномально высоким или низким значениям. В данном случае зарплата президента в 1 000 000 р. является таким выбросом и сильно искажает общую картину, смещая среднее значение вверх. В результате среднее арифметическое (152 000 р.) не дает верного представления о зарплате, которую получает большинство работников.

- Медиана, в свою очередь, нечувствительна к таким выбросам. Она показывает "центральную" зарплату: ровно половина сотрудников получает не больше этой суммы, а другая половина — не меньше. В нашей задаче медиана (100 000 р.) гораздо лучше отражает типичный уровень дохода в компании, так как она совпадает с зарплатой подавляющего большинства работников.

Следовательно, если целью является понять, сколько зарабатывает "обычный" сотрудник, то медиана представляется более объективным (точнее, более репрезентативным и менее вводящим в заблуждение) показателем, чем среднее арифметическое.

Ответ: медиана зарплат представляется более объективным показателем, так как она лучше отражает типичный уровень дохода в компании и не подвержена влиянию единичных сверхвысоких зарплат.

866 У группы из 20 восьмиклассников спросили, сколько примерно часов в день они тратят на приготовление домашних заданий. Ответы школьников представлены на диаграмме, изображённой на рисунке 6.2.

Число учащихся

1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 Часы

Время, затрачиваемое на приготовление домашних заданий (за день)

Рис. 6.2

a) Представьте эти данные в виде таблицы.

Время (часы) | Число учащихся

0 | 2

1 | 5

2 | 7

3 | 5

4 | 1

б) Сколько времени в день в среднем тратит ученик из этой группы на приготовление домашних заданий? (Найдите среднее арифметическое этого ряда данных.)

в) Сколько времени тратит средний ученик на приготовление домашних заданий? (Найдите медиану этих данных.)

г) Сколько времени тратит на приготовление домашних заданий большинство из этих 20 ребят? (Найдите моду этих данных.)

а) Представьте эти данные в виде таблицы.

Для представления данных в виде таблицы, мы сопоставим количество часов, затрачиваемое на домашние задания, с количеством учеников, которые тратят это время. Данные извлечены из представленной гистограммы:

• 0 часов тратят 2 учащихся
• 1 час тратят 5 учащихся
• 2 часа тратят 7 учащихся
• 3 часа тратят 5 учащихся
• 4 часа тратит 1 учащийся

Общее количество учащихся: $2 + 5 + 7 + 5 + 1 = 20$, что соответствует условию задачи.

Таблица данных выглядит следующим образом:

Ответ: Данные представлены в таблице выше.

б) Сколько времени в день в среднем тратит ученик из этой группы на приготовление домашних заданий? (Найдите среднее арифметическое этого ряда данных.)

Среднее арифметическое находится путем суммирования всех значений и деления результата на их количество. Сначала найдем общее количество часов, потраченное всеми учениками, и разделим его на общее число учеников (20).

Общее количество часов = $(0 \cdot 2) + (1 \cdot 5) + (2 \cdot 7) + (3 \cdot 5) + (4 \cdot 1)$.

Вычисляем сумму: $0 + 5 + 14 + 15 + 4 = 38$ часов.

Теперь разделим общее количество часов на число учеников, чтобы найти среднее значение:

Среднее арифметическое = $\frac{38}{20} = 1,9$ часа.

Ответ: 1,9 часа.

в) Сколько времени тратит средний ученик на приготовление домашних заданий? (Найдите медиану этих данных.)

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных пополам. Поскольку у нас 20 учеников (четное число), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных значений. Это 10-е и 11-е значения в упорядоченном по возрастанию ряду.

Составим упорядоченный ряд данных (время, которое тратит каждый из 20 учеников):

$0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, \textbf{2}, \textbf{2}, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4$.

Десятый элемент ряда равен 2, и одиннадцатый элемент ряда также равен 2.

Найдем среднее арифметическое этих двух значений:

Медиана = $\frac{2 + 2}{2} = 2$ часа.

Ответ: 2 часа.

г) Сколько времени тратит на приготовление домашних заданий большинство из этих 20 ребят? (Найдите моду этих данных.)

Мода — это значение в ряду данных, которое встречается наиболее часто. Чтобы найти моду, нужно определить, какое количество часов встречается у наибольшего числа учеников.

Анализируя данные из таблицы или гистограммы, мы видим:

• 0 часов — 2 ученика
• 1 час — 5 учеников
• 2 часа — 7 учеников (максимальное количество)
• 3 часа — 5 учеников
• 4 часа — 1 ученик

Наибольшее число учеников (7 человек) тратят на домашние задания 2 часа. Следовательно, 2 часа является модой этого ряда данных.

Ответ: 2 часа.