Страница 294 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

873 1) В колоде 36 карт. Определите вероятность следующих событий:

A: карта, вытянутая наугад из колоды, оказалась дамой пик;

B: карта, вытянутая наугад из колоды, оказалась тузом;

C: карта, вытянутая наугад из колоды, оказалась красной масти;

D: карта, вытянутая наугад из колоды, оказалась не королём.

2) Верно ли, что события $A$ и $B$ равновероятны:

A: при вынимании из колоды одной карты будет вынута шестёрка;

B: при вынимании из колоды одной карты будет вынут туз?

1) Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию. В колоде 36 карт, поэтому общее число исходов для каждого случая $n = 36$.

A: карта, вытянутая наугад из колоды, оказалась дамой пик;
В колоде есть только одна карта "дама пик". Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 1$.
Вероятность этого события: $P(A) = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$.

B: карта, вытянутая наугад из колоды, оказалась тузом;
В колоде из 36 карт четыре туза (по одному каждой масти). Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 4$.
Вероятность этого события: $P(B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

C: карта, вытянутая наугад из колоды, оказалась красной масти;
Красные масти — это черви и бубны. Каждая масть в колоде из 36 карт содержит 9 карт. Следовательно, общее количество карт красной масти равно $9 + 9 = 18$. Число благоприятствующих исходов $m = 18$.
Вероятность этого события: $P(C) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

D: карта, вытянутая наугад из колоды, оказалась не королём
В колоде 4 короля. Значит, карт, которые не являются королями, $36 - 4 = 32$. Число благоприятствующих исходов $m = 32$.
Вероятность этого события: $P(D) = \frac{32}{36} = \frac{8}{9}$.
Ответ: $\frac{8}{9}$.

2) Верно ли, что события А и В равновероятны:
События называются равновероятными, если их вероятности равны. Определим вероятности для событий А и В, описанных в этом пункте.

A: при вынимании из колоды одной карты будет вынута шестёрка;
В колоде из 36 карт четыре шестёрки. Число благоприятствующих исходов $m_A = 4$.
Вероятность события А: $P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

B: при вынимании из колоды одной карты будет вынут туз?
В колоде из 36 карт четыре туза. Число благоприятствующих исходов $m_B = 4$.
Вероятность события B: $P(B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

Поскольку $P(A) = P(B) = \frac{1}{9}$, вероятности этих событий равны. Следовательно, события А и В являются равновероятными.
Ответ: да, верно.

874 В соревнованиях по прыжкам в длину участвуют 4 спортсмена из России, 3 из Белоруссии, 2 из Украины, 1 из Армении. Порядок, в котором они будут выступать, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет выступать:

а) спортсмен из России;

б) спортсмен не из России.

Для решения этой задачи по теории вероятностей мы будем использовать классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Сначала определим общее число участников соревнований (общее число исходов).

Всего спортсменов: $4$ (из России) $+ 3$ (из Белоруссии) $+ 2$ (из Украины) $+ 1$ (из Армении) $= 10$ спортсменов.

Таким образом, общее число равновозможных исходов $N = 10$.

а) спортсмен из России;

Событие A: "первым выступает спортсмен из России".

Число благоприятствующих этому событию исходов $m$ равно количеству спортсменов из России, то есть $m = 4$.

Вероятность этого события рассчитывается по формуле:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{4}{10} = 0,4$

Ответ: 0,4

б) спортсмен не из России.

Событие B: "первым выступает спортсмен не из России".

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: через противоположное событие.

События "первым выступает спортсмен из России" и "первым выступает спортсмен не из России" являются противоположными. Сумма их вероятностей равна 1.

$P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,4 = 0,6$

Способ 2: прямым подсчетом.

Найдем число спортсменов не из России. Это спортсмены из Белоруссии, Украины и Армении.

Число благоприятствующих исходов $m = 3 + 2 + 1 = 6$.

Вероятность этого события:

$P(B) = \frac{m}{N} = \frac{6}{10} = 0,6$

Ответ: 0,6

875 В группе российских туристов 2 человека владеют английским и французским языками, 1 человек — английским и немецким, 7 человек — только английским и 10 человек не владеют ни одним иностранным языком. Найдите вероятность того, что случайно выбранный гидом турист владеет:

а) французским языком;

б) двумя языками;

в) английским языком.

Для решения задачи сначала определим общее количество туристов в группе. Условия задачи описывают несколько непересекающихся групп людей, так как для каждой группы указано точное количество человек. Предполагается, что других групп туристов с иными комбинациями языков нет. Таким образом, в группе есть:

• 2 человека, владеющих английским и французским языками;
• 1 человек, владеющий английским и немецким языками;
• 7 человек, владеющих только английским языком;
• 10 человек, не владеющих ни одним иностранным языком.

Общее число туристов в группе, которое мы обозначим как $N$, является суммой численности этих категорий:

$N = 2 + 1 + 7 + 10 = 20$ туристов.

Вероятность любого события $P$ находится по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — это общее число равновозможных исходов (в данном случае, общее количество туристов), а $m$ — это число исходов, благоприятствующих данному событию.

а) французским языком;

Событие состоит в том, что случайно выбранный турист владеет французским языком. Из условия задачи следует, что французским языком владеют только 2 человека (те, кто знает английский и французский). Других туристов, знающих французский, в группе нет. Таким образом, число благоприятных исходов $m_a = 2$.

Вероятность этого события:

$P_a = \frac{m_a}{N} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$.

б) двумя языками;

Событие состоит в том, что случайно выбранный турист владеет ровно двумя иностранными языками. В группе есть 2 человека, владеющих английским и французским, и 1 человек, владеющий английским и немецким. Следовательно, общее число туристов, знающих ровно два языка, составляет $m_b = 2 + 1 = 3$.

Вероятность этого события:

$P_b = \frac{m_b}{N} = \frac{3}{20}$

Ответ: $\frac{3}{20}$.

в) английским языком.

Событие состоит в том, что случайно выбранный турист владеет английским языком. Чтобы найти число таких туристов, нужно сложить всех, кто знает английский, независимо от владения другими языками: 2 человека (знают английский и французский), 1 человек (знает английский и немецкий) и 7 человек (знают только английский). Общее число благоприятных исходов $m_c = 2 + 1 + 7 = 10$.

Вероятность этого события:

$P_c = \frac{m_c}{N} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

876 Наугад выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что оно окажется:

а) кратным 5;

б) простым?

Вероятность события вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных, несовместных элементарных исходов, а $M$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию $A$.

Сначала найдем общее число двузначных чисел. Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99 включительно. Их количество равно:

$N = 99 - 10 + 1 = 90$.

Таким образом, общее число исходов $N = 90$.

а) кратным 5;

Найдем количество двузначных чисел, кратных 5. Это числа, которые оканчиваются на 0 или 5. Перечислим их:

10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95.

Всего таких чисел 18. Это число благоприятствующих исходов, $M_a = 18$.

Теперь найдем вероятность того, что выбранное двузначное число кратно 5:

$P(A) = \frac{M_a}{N} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

б) простым?

Найдем количество простых двузначных чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Перечислим все простые числа от 10 до 99:

11, 13, 17, 19,

23, 29,

31, 37,

41, 43, 47,

53, 59,

61, 67,

71, 73, 79,

83, 89,

97.

Подсчитав их, получим, что всего 21 простое двузначное число. Это число благоприятствующих исходов, $M_б = 21$.

Теперь найдем вероятность того, что выбранное двузначное число является простым:

$P(Б) = \frac{M_б}{N} = \frac{21}{90}$

Сократим дробь на 3:

$P(Б) = \frac{21:3}{90:3} = \frac{7}{30}$

Ответ: $\frac{7}{30}$

877 На трёхместную скамейку произвольным образом садятся два мужчин и женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом?

Указание. Обозначьте женщину буквой Ж, а мужчин буквами $M_1$ и $M_2$. Выпишите все возможные варианты их размещения на скамейке.

Для решения этой задачи по теории вероятностей нам необходимо найти общее количество возможных способов рассадить людей и количество способов, при которых мужчины окажутся рядом. Вероятность будет отношением второго числа к первому.

1. Найдём общее число всех возможных вариантов размещения.

У нас есть три человека: женщина (обозначим её Ж) и двое мужчин (обозначим их М₁ и М₂). Их нужно рассадить на три места. Общее число способов сделать это равно числу перестановок из трёх различных элементов, и это будет общее число элементарных исходов $n$.

Формула для числа перестановок из $k$ элементов: $P_k = k!$

В нашем случае $k=3$, поэтому:

$n = P_3 = 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$

Согласно указанию в задаче, выпишем все эти 6 возможных вариантов размещения (слева направо):

1. (М₁, М₂, Ж)
2. (М₂, М₁, Ж)
3. (М₁, Ж, М₂)
4. (М₂, Ж, М₁)
5. (Ж, М₁, М₂)
6. (Ж, М₂, М₁)

2. Найдём число благоприятных исходов.

Благоприятным исходом считается ситуация, когда двое мужчин сидят рядом. Чтобы посчитать количество таких вариантов, мы можем рассматривать двух мужчин как единую группу (ММ). Теперь нам нужно рассадить два "объекта": группу мужчин (ММ) и женщину (Ж). Это можно сделать $2! = 2$ способами:

- (ММ), Ж
- Ж, (ММ)

При этом внутри самой группы мужчины могут меняться местами. Количество перестановок внутри группы из двух мужчин также равно $2! = 2$ (варианты М₁М₂ и М₂М₁).

Чтобы найти общее число благоприятных исходов $m$, нужно перемножить количество способов размещения группы и количество перестановок внутри группы:

$m = 2! \times 2! = 2 \times 2 = 4$

Выпишем эти 4 благоприятных исхода из нашего общего списка:

- (М₁, М₂, Ж)
- (М₂, М₁, Ж)
- (Ж, М₁, М₂)
- (Ж, М₂, М₁)

3. Вычислим вероятность.

Вероятность $P$ события "мужчины окажутся рядом" вычисляется по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $n$:

$P = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

878 a) В урне находятся красный, зелёный и жёлтый шары. Их не глядя вынимают один за другим. Какова вероятность того, что шары будут вынуты в такой последовательности: жёлтый, красный, зелёный?

б) Чтобы открыть чемодан, нужно в некотором порядке набрать четыре цифры: 3, 5, 7 и 9. Хозяин помнит цифры, но забыл их последовательность. Какова вероятность того, что он сумеет открыть чемодан с первой попытки?

в) Мама дала маленькой девочке, не умеющей читать, кубики с буквами «О», «К», «Т» и предложила сложить из них какое-нибудь слово. Какова вероятность того, что у девочки случайным образом получится слово КОТ?

Указание. Число всех возможных исходов равно числу перестановок из заданных элементов; для их подсчёта можно воспользоваться формулой $P_n = n!$, где $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.

а) В урне находятся три различных шара: красный, зелёный и жёлтый. Общее число возможных исходов — это количество всех возможных последовательностей, в которых можно вынуть эти три шара. Это задача на перестановки. Число всех возможных перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=3$, так как шаров три. Общее число исходов $N$ равно: $N = P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Благоприятным исходом является только одна конкретная последовательность: жёлтый, красный, зелёный. Таким образом, число благоприятных исходов $m=1$. Вероятность $P$ наступления события вычисляется по формуле классической вероятности: $P = \frac{m}{N}$. Подставляя наши значения, получаем: $P = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) Для открытия чемодана необходимо расставить четыре различные цифры (3, 5, 7, 9) в определённом порядке. Общее число возможных комбинаций кода — это число перестановок из четырёх элементов. Используем ту же формулу числа перестановок $P_n = n!$. Здесь $n=4$, так как цифр четыре. Общее число всех возможных кодов $N$ равно: $N = P_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Правильный код только один. Попытка делается всего одна, поэтому число благоприятных исходов (угадывание правильного кода с первого раза) равно $m=1$. Вероятность $P$ открыть чемодан с первой попытки равна: $P = \frac{m}{N} = \frac{1}{24}$.

Ответ: $\frac{1}{24}$.

в) Девочка случайным образом расставляет три кубика с буквами «О», «К», «Т». Нужно найти вероятность получения слова «КОТ». Как и в предыдущих задачах, общее число возможных исходов равно числу перестановок из трёх элементов (букв). Согласно указанию в задаче, используем формулу $P_n = n!$. При $n=3$ общее число возможных слов, которые можно составить, $N$ равно: $N = P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Благоприятным исходом является только одно конкретное слово — «КОТ». Следовательно, число благоприятных исходов $m=1$. Вероятность $P$ того, что девочка случайным образом получит слово «КОТ», составляет: $P = \frac{m}{N} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.