Страница 299 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

889 Пять раз подбрасывают монету. Какова вероятность того, что:

a) все пять раз выпадет орёл;

б) ни разу не выпадет орёл?

Для решения задачи определим общее число возможных исходов при пятикратном подбрасывании монеты. При каждом броске есть два равновероятных исхода: «орёл» (О) или «решка» (Р). Поскольку броски являются независимыми событиями, общее число всех возможных комбинаций исходов для пяти бросков равно $2^5$.

Общее число элементарных исходов: $n = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32$.

Вероятность любого события $A$ вычисляется по формуле: $P(A) = m/n$, где $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$, а $n$ — общее число всех равновозможных исходов.

а) все пять раз выпадет орёл

Событию, при котором все пять раз выпадает орёл, соответствует только одна уникальная комбинация: (О, О, О, О, О). Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 1$.

Вероятность этого события равна:

$P(\text{все 5 орлы}) = m/n = 1/32$

Также можно рассчитать это как произведение вероятностей независимых событий. Вероятность выпадения орла в одном броске равна $1/2$. Тогда вероятность выпадения орла пять раз подряд равна:

$P = (1/2) \times (1/2) \times (1/2) \times (1/2) \times (1/2) = (1/2)^5 = 1/32$

Ответ: $1/32$

б) ни разу не выпадет орёл

Событие, при котором ни разу не выпадает орёл, означает, что все пять раз выпадает решка. Этому событию также соответствует только одна уникальная комбинация: (Р, Р, Р, Р, Р). Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 1$.

Вероятность этого события равна:

$P(\text{ни одного орла}) = m/n = 1/32$

Аналогично, вероятность выпадения решки в одном броске равна $1/2$. Тогда вероятность выпадения решки пять раз подряд равна:

$P = (1/2) \times (1/2) \times (1/2) \times (1/2) \times (1/2) = (1/2)^5 = 1/32$

Ответ: $1/32$

890 Три раза подряд подбросили монету. Найдите вероятности следующих событий:

A: хотя бы раз выпал орёл;

B: хотя бы раз выпала решка;

C: все три исхода одинаковы;

D: не все исходы одинаковы;

E: все три исхода разные.

При каждом броске монеты есть два возможных исхода: орёл (О) или решка (Р). Так как монету подбрасывают три раза, общее число всех возможных равновероятных исходов равно $n = 2^3 = 8$. Вероятность любого события A вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов.

A: хотя бы раз выпал орёл

Это событие означает, что в последовательности из трех бросков есть как минимум один орёл. Удобнее найти вероятность противоположного события A' — "ни разу не выпал орёл". Это соответствует единственному исходу, когда все три раза выпала решка (РРР).
Число благоприятных исходов для A' равно $m' = 1$. Вероятность этого события: $P(A') = \frac{1}{8}$.
Вероятность события A — это $P(A) = 1 - P(A')$.
$P(A) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$

B: хотя бы раз выпала решка

Это событие полностью аналогично предыдущему. Противоположное событие B' — "ни разу не выпала решка", что соответствует единственному исходу, когда все три раза выпал орёл (ООО).
Число благоприятных исходов для B' равно $m' = 1$. Вероятность этого события: $P(B') = \frac{1}{8}$.
Вероятность события B — это $P(B) = 1 - P(B')$.
$P(B) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$

C: все три исхода одинаковы

Этому событию благоприятствуют два исхода: все три броска — орлы (ООО) или все три — решки (РРР).
Число благоприятных исходов $m = 2$.
Вероятность события C: $P(C) = \frac{m}{n} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

D: не все исходы одинаковы

Это событие является противоположным событию C ("все три исхода одинаковы").
Следовательно, его вероятность можно найти вычитанием вероятности события C из единицы: $P(D) = 1 - P(C)$.
$P(D) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
В качестве проверки можно перечислить благоприятные исходы: ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО. Их всего 6.
Тогда $P(D) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

E: все три исхода разные

Так как у монеты всего два возможных исхода (орёл и решка), то в серии из трех бросков невозможно получить три разных результата.
Это невозможное событие. Число благоприятных исходов $m = 0$.
Вероятность такого события: $P(E) = \frac{0}{8} = 0$.
Ответ: $0$

891 Одновременно бросают два кубика. Какое значение суммы выпавших очков наиболее вероятно? Чему равна эта вероятность?

Для решения задачи определим общее число равновозможных исходов при броске двух игральных кубиков. Каждый кубик имеет 6 граней, поэтому общее число комбинаций составляет $n = 6 \times 6 = 36$.

Возможные значения суммы очков лежат в диапазоне от $1+1=2$ до $6+6=12$. Чтобы найти наиболее вероятную сумму, необходимо подсчитать, сколькими способами (комбинациями) можно получить каждое из возможных значений суммы:

• Сумма 2: 1 комбинация (1+1)
• Сумма 3: 2 комбинации (1+2, 2+1)
• Сумма 4: 3 комбинации (1+3, 2+2, 3+1)
• Сумма 5: 4 комбинации (1+4, 2+3, 3+2, 4+1)
• Сумма 6: 5 комбинаций (1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1)
• Сумма 7: 6 комбинаций (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1)
• Сумма 8: 5 комбинаций (2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2)
• Сумма 9: 4 комбинации (3+6, 4+5, 5+4, 6+3)
• Сумма 10: 3 комбинации (4+6, 5+5, 6+4)
• Сумма 11: 2 комбинации (5+6, 6+5)
• Сумма 12: 1 комбинация (6+6)

Из приведенного списка видно, что наибольшее число комбинаций (6) соответствует сумме очков, равной 7. Следовательно, это значение суммы является наиболее вероятным.

Ответ: 7.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов (в данном случае, количество комбинаций, дающих нужную сумму), а $n$ — общее число всех равновозможных исходов.

Для суммы, равной 7, число благоприятных исходов $m = 6$. Общее число исходов $n = 36$.

Таким образом, искомая вероятность равна: $P(\text{сумма}=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

892 Замок на сейфе открывается набором определённой комбинации из пяти цифр, каждая из которых может быть любой от 0 до 9. С какой вероятностью мы откроем сейф в течение часа, если будем тратить на набор каждой новой комбинации около секунды?

Для решения этой задачи необходимо сначала вычислить общее количество возможных комбинаций для замка, а затем определить, какую долю от этого общего количества составляют комбинации, которые можно успеть проверить за один час.

Код замка состоит из пяти цифр. Для каждой позиции в коде можно выбрать любую из 10 цифр (от 0 до 9). Поскольку выбор цифры для каждой позиции является независимым событием, общее число всех возможных комбинаций $N$ равно произведению числа вариантов для каждой из пяти позиций:
$N = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5 = 100000$
Таким образом, существует 100 000 различных комбинаций.

Далее рассчитаем, сколько комбинаций можно проверить за один час. В одном часе 60 минут, а в каждой минуте 60 секунд. Следовательно, в одном часе содержится:
$60 \text{ минут/час} \times 60 \text{ секунд/минуту} = 3600 \text{ секунд}$
По условию, на проверку одной комбинации уходит примерно одна секунда. Это означает, что за час можно проверить $m = 3600$ комбинаций.

Вероятность $P$ открыть сейф в течение часа — это отношение числа комбинаций, которые мы успеем проверить ($m$), к общему числу всех возможных комбинаций ($N$). Предполагается, что правильная комбинация является одной из всех возможных и может быть любой с равной вероятностью.
$P = \frac{m}{N} = \frac{\text{Количество проверяемых комбинаций}}{\text{Общее количество комбинаций}}$
Подставляем вычисленные значения в формулу:
$P = \frac{3600}{100000} = \frac{36}{1000} = 0.036$
Эту вероятность можно также выразить в процентах, умножив на 100: $0.036 \times 100\% = 3.6\%$.

Ответ: $0.036$