Страница 305 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2 Сергей в течение учебного года в 8 классе получил следующие отметки по алгебре (без четвертных и годовой):

Отметка

2 3 4 5

Число повторений

3 6 12 8

Найдите среднее арифметическое, моду и медиану отметок Сергея.

Для решения задачи выполним три шага: найдем среднее арифметическое, моду и медиану отметок.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое – это сумма всех значений, деленная на их количество. В данном случае это сумма всех отметок, деленная на их общее число.

1. Сначала найдем общее количество отметок. Для этого сложим все значения из строки "Число повторений":

$3 + 6 + 12 + 8 = 29$

Всего Сергей получил 29 отметок.

2. Теперь найдем сумму всех отметок. Для этого умножим каждую отметку на ее частоту (число повторений) и сложим полученные результаты:

$(2 \cdot 3) + (3 \cdot 6) + (4 \cdot 12) + (5 \cdot 8) = 6 + 18 + 48 + 40 = 112$

Сумма всех отметок равна 112.

3. Чтобы найти среднее арифметическое, разделим сумму отметок на их общее количество:

$\frac{112}{29} \approx 3,86$

Ответ: среднее арифметическое отметок Сергея примерно равно 3,86.

Мода

Мода – это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. Чтобы найти моду, нужно посмотреть на строку "Число повторений" и найти в ней наибольшее значение.

Сравним число повторений для каждой отметки:
Отметка "2" встречается 3 раза.
Отметка "3" встречается 6 раз.
Отметка "4" встречается 12 раз.
Отметка "5" встречается 8 раз.

Наибольшая частота – 12. Этой частоте соответствует отметка "4".

Ответ: мода отметок Сергея равна 4.

Медиана

Медиана – это значение, которое находится в середине упорядоченного (отсортированного по возрастанию) набора данных.

1. Общее количество отметок равно 29. Это нечетное число.

2. Когда количество элементов в наборе ($n$) нечетное, номер медианного элемента в упорядоченном ряду находится по формуле: $\frac{n + 1}{2}$.

Найдем номер медианы для нашего набора отметок:

$\frac{29 + 1}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Это значит, что медианой будет отметка, стоящая на 15-м месте в упорядоченном ряду.

3. Определим, какая именно отметка стоит на 15-м месте. Для этого мысленно выстроим все отметки в ряд по возрастанию:
- Первые 3 места занимают отметки "2".
- Следующие 6 мест (с 4-го по 9-е, т.к. $3+6=9$) занимают отметки "3".
- Следующие 12 мест (с 10-го по 21-е, т.к. $9+12=21$) занимают отметки "4".

Поскольку номер 15 находится в промежутке от 10 до 21, на 15-м месте в ряду стоит отметка "4".

Ответ: медиана отметок Сергея равна 4.

3 Для ряда, все члены которого — натуральные числа, нашли:

1) моду

2) медиану

3) среднее арифметическое

4) размах

Какие из этих статистических характеристик не могут выражаться дробными числами?

Проанализируем каждую из статистических характеристик для ряда, все члены которого — натуральные числа. Пусть дан ряд $X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$, где все $x_i$ — натуральные числа.

1) мода
Мода — это значение в ряду данных, которое встречается наиболее часто. Поскольку все члены ряда являются натуральными числами по условию, то и самое часто встречающееся из них (мода) также обязано быть натуральным числом. Мода всегда является одним из элементов самого ряда. Следовательно, мода не может быть дробным числом.
Например: для ряда {1, 4, 4, 7, 10} мода равна 4.
Ответ: не может выражаться дробным числом.

2) медиана
Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию ряда чисел. Ее значение зависит от четности количества членов в ряду.
- Если количество членов нечетное, медиана равна центральному элементу, который является натуральным числом.
- Если количество членов четное, медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов. Пусть это элементы $a$ и $b$. Тогда медиана равна $(a+b)/2$. Если сумма $a+b$ нечетная (например, если одно число четное, а другое нечетное), то медиана будет дробным числом.
Например: для ряда натуральных чисел {2, 5, 6, 9} медиана равна $(5+6)/2 = 11/2 = 5.5$.
Ответ: может выражаться дробным числом.

3) среднее арифметическое
Среднее арифметическое — это сумма всех членов ряда, деленная на их количество. Формула: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$. Сумма натуральных чисел всегда является натуральным числом, но результат деления этой суммы на количество членов $n$ может быть дробным, если сумма не делится на $n$ нацело.
Например: для ряда {1, 2, 4} среднее арифметическое равно $(1+2+4)/3 = 7/3 \approx 2.33$.
Ответ: может выражаться дробным числом.

4) размах
Размах — это разность между максимальным ($x_{max}$) и минимальным ($x_{min}$) значениями в ряду. Так как $x_{max}$ и $x_{min}$ по условию являются натуральными числами, их разность $R = x_{max} - x_{min}$ всегда будет целым неотрицательным числом. Следовательно, размах не может быть дробным числом.
Например: для ряда {2, 3, 3, 5, 8} размах равен $8 - 2 = 6$.
Ответ: не может выражаться дробным числом.

Таким образом, из перечисленных статистических характеристик для ряда натуральных чисел не могут выражаться дробными числами мода и размах.

4 Какое из чисел, являющееся статистической характеристикой ряда данных, всегда есть среди членов ряда?

1) среднее арифметическое

2) мода

3) медиана

4) размах

Проанализируем каждую из предложенных статистических характеристик, чтобы определить, какая из них всегда является одним из членов исходного ряда данных.

1) среднее арифметическое

Среднее арифметическое ряда чисел — это сумма всех чисел, деленная на их количество. Эта величина не всегда совпадает с одним из чисел ряда. Например, для ряда данных $ {1, 2, 4} $ среднее арифметическое будет равно $(1+2+4)/3 = 7/3 \approx 2.33$, что не является членом этого ряда.

2) мода

Мода ряда данных — это значение, которое встречается в этом ряду чаще всего. По своему определению, мода всегда является одним из членов ряда, так как это наиболее часто повторяющееся значение из самого ряда. Например, в ряду $ {2, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 8} $ модой является число $6$, которое присутствует в ряду.

3) медиана

Медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию или убыванию ряда данных. Если в ряду нечетное количество членов, то медиана равна серединному члену и, следовательно, является членом ряда. Однако если количество членов четное, то медиана равна среднему арифметическому двух серединных членов, и это значение может не входить в исходный ряд. Например, для ряда $ {2, 4, 6, 10} $ медиана равна $(4+6)/2 = 5$. Число $5$ не является членом этого ряда.

4) размах

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду данных. Размах далеко не всегда является членом ряда. Например, для ряда $ {3, 5, 8, 12} $ размах равен $12 - 3 = 9$, что не является членом этого ряда.

Таким образом, единственной статистической характеристикой из перечисленных, которая по определению всегда является одним из членов ряда данных, является мода.

Ответ: 2) мода

5 В упорядоченном ряду содержится 99 членов. Укажите номер члена, являющегося медианой этого ряда.

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные части. Если количество членов в ряду нечетное, то медиана — это член, стоящий ровно посередине.

В данном ряду $n=99$ членов. Так как 99 — это нечетное число, для нахождения номера члена, являющегося медианой, используется формула:

$N_{медианы} = \frac{n + 1}{2}$

где $n$ — количество членов в ряду.

Подставим в формулу значение $n=99$:

$N_{медианы} = \frac{99 + 1}{2} = \frac{100}{2} = 50$

Следовательно, медианой является 50-й член ряда. Он делит ряд на две группы: 49 членов до него (с 1 по 49) и 49 членов после него (с 51 по 99).

Ответ: 50.

6 В урне 3 красных и 7 синих шаров, одинаковых на ощупь. Не глядя вынимают один шар. Найдите вероятность того, что будет вынут синий шар.

1) $\frac{7}{3}$

2) $\frac{3}{7}$

3) $\frac{3}{10}$

4) $\frac{7}{10}$

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{n}$

где $n$ — это общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Определим общее число исходов $n$. В урне находятся 3 красных и 7 синих шаров. Общее количество шаров в урне равно:

$n = 3 (\text{красных}) + 7 (\text{синих}) = 10$

Таким образом, всего существует 10 возможных исходов, так как можно вынуть любой из 10 шаров.

2. Определим число благоприятствующих исходов $m$. Нас интересует событие, при котором вынут синий шар. В урне 7 синих шаров, следовательно, число благоприятствующих исходов равно:

$m = 7$

3. Подставим найденные значения $m$ и $n$ в формулу вероятности:

$P = \frac{m}{n} = \frac{7}{10}$

Вероятность того, что будет вынут синий шар, составляет $\frac{7}{10}$. Этот ответ соответствует варианту 4).

Ответ: $\frac{7}{10}$

7 В урне находятся красный, жёлтый и синий шары, одинаковые на ощупь. Их не глядя вынимают один за другим. Какова вероятность того, что синий шар будет вынут раньше красного?

1) $ \frac{2}{3} $

2) $ \frac{1}{2} $

3) $ \frac{1}{3} $

4) $ \frac{1}{6} $

Для решения этой задачи можно использовать два подхода.

Способ 1: Полный перебор исходов

В урне находятся три различных шара: красный (К), жёлтый (Ж) и синий (С). Они извлекаются последовательно, значит, порядок их извлечения важен. Общее число всех возможных упорядоченных последовательностей (перестановок) из трёх элементов вычисляется как $3!$ (три факториал).

Общее число исходов: $N = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Вот все возможные последовательности извлечения шаров:

• КЖС (Красный, Жёлтый, Синий)
• КСЖ (Красный, Синий, Жёлтый)
• ЖКС (Жёлтый, Красный, Синий)
• ЖСК (Жёлтый, Синий, Красный)
• СКЖ (Синий, Красный, Жёлтый)
• СЖК (Синий, Жёлтый, Красный)

Нас интересуют те исходы, в которых синий шар (С) вынут раньше красного (К). Выделим их из общего списка:

• ЖСК (синий вынут вторым, красный — третьим)
• СКЖ (синий вынут первым, красный — вторым)
• СЖК (синий вынут первым, красный — третьим)

Таким образом, число благоприятных исходов $m=3$.

Вероятность события $A$ (синий шар вынут раньше красного) находится по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Способ 2: Метод симметрии

Условие задачи касается только взаимного порядка извлечения синего и красного шаров. Положение жёлтого шара в последовательности (будет ли он вынут до этих двух шаров, между ними или после) не влияет на то, какой из них — синий или красный — будет вынут раньше. Поэтому мы можем не рассматривать жёлтый шар.

Если мысленно сфокусироваться только на синем и красном шарах, то для их относительного порядка существует всего два варианта:

1. Красный шар будет вынут раньше синего.
2. Синий шар будет вынят раньше красного.

Поскольку шары извлекаются случайным образом и они одинаковы на ощупь, эти два события абсолютно симметричны и, следовательно, равновероятны.

Так как эти два события составляют полную группу (одно из них обязательно произойдёт), то сумма их вероятностей равна 1. Вероятность каждого из них равна $1/2$.

Таким образом, вероятность того, что синий шар будет вынут раньше красного, равна $1/2$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

8 В библиотеке у Ани есть сборники стихов шести любимых поэтов. Чтобы выбрать стихотворение к праздничному вечеру, она сняла их с полки, а затем случайным образом поставила обратно. Какова вероятность того, что сборники окажутся на полке в алфавитном порядке?

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех возможных и равновероятных исходов $n$:

$P = \frac{m}{n}$

1. Найдем общее число возможных исходов (n)

У Ани есть 6 сборников стихов разных поэтов. Общее число способов, которыми можно расставить 6 различных книг на полке, равно числу перестановок из 6 элементов. Это значение вычисляется как факториал числа 6.

$n = P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$

Следовательно, существует 720 различных способов расставить книги на полке. Каждый из этих способов является равновероятным исходом.

2. Найдем число благоприятных исходов (m)

Благоприятный исход — это тот, при котором сборники стоят на полке в алфавитном порядке (по фамилиям поэтов). Поскольку все сборники разные, существует только один такой порядок.

$m = 1$

3. Вычислим вероятность

Теперь, зная общее число исходов и число благоприятных исходов, мы можем рассчитать искомую вероятность.

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{720}$

Ответ: $\frac{1}{720}$

9 Грани кубика жёлтого, красного и синего цвета. Вероятность выпада-ния жёлтой грани при подбрасывании кубика равна $ \frac{1}{6} $, красной – $ \frac{1}{2} $. Сколько у кубика жёлтых, красных и синих граней?

Для решения задачи воспользуемся определением классической вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. У кубика 6 граней, поэтому общее число исходов при его подбрасывании равно 6.

Количество жёлтых граней

Вероятность выпадения жёлтой грани равна $\frac{1}{6}$. Пусть $k_ж$ — количество жёлтых граней. Тогда вероятность их выпадения можно рассчитать по формуле: $P(жёлтая) = \frac{k_ж}{6}$ Подставим известное значение вероятности: $\frac{1}{6} = \frac{k_ж}{6}$ Отсюда следует, что $k_ж = 1$. Таким образом, у кубика 1 жёлтая грань.

Количество красных граней

Вероятность выпадения красной грани равна $\frac{1}{2}$. Пусть $k_к$ — количество красных граней. $P(красная) = \frac{k_к}{6}$ Подставим известное значение: $\frac{1}{2} = \frac{k_к}{6}$ Чтобы найти $k_к$, умножим обе части уравнения на 6: $k_к = \frac{1}{2} \times 6 = 3$. Таким образом, у кубика 3 красных грани.

Количество синих граней

Грани кубика могут быть только жёлтого, красного или синего цвета. Общее количество граней равно 6. Чтобы найти количество синих граней $k_с$, нужно из общего числа граней вычесть количество жёлтых и красных граней: $k_с = 6 - k_ж - k_к$ $k_с = 6 - 1 - 3 = 2$. Таким образом, у кубика 2 синих грани.

Ответ: у кубика 1 жёлтая грань, 3 красных грани и 2 синих грани.