Номер 7, страница 305 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 7, страница 305.

Условие.

7 В урне находятся красный, жёлтый и синий шары, одинаковые на ощупь. Их не глядя вынимают один за другим. Какова вероятность того, что синий шар будет вынут раньше красного?

1) $ \frac{2}{3} $

2) $ \frac{1}{2} $

3) $ \frac{1}{3} $

4) $ \frac{1}{6} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи можно использовать два подхода.

Способ 1: Полный перебор исходов

В урне находятся три различных шара: красный (К), жёлтый (Ж) и синий (С). Они извлекаются последовательно, значит, порядок их извлечения важен. Общее число всех возможных упорядоченных последовательностей (перестановок) из трёх элементов вычисляется как $3!$ (три факториал).

Общее число исходов: $N = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Вот все возможные последовательности извлечения шаров:

• КЖС (Красный, Жёлтый, Синий)
• КСЖ (Красный, Синий, Жёлтый)
• ЖКС (Жёлтый, Красный, Синий)
• ЖСК (Жёлтый, Синий, Красный)
• СКЖ (Синий, Красный, Жёлтый)
• СЖК (Синий, Жёлтый, Красный)

Нас интересуют те исходы, в которых синий шар (С) вынут раньше красного (К). Выделим их из общего списка:

• ЖСК (синий вынут вторым, красный — третьим)
• СКЖ (синий вынут первым, красный — вторым)
• СЖК (синий вынут первым, красный — третьим)

Таким образом, число благоприятных исходов $m=3$.

Вероятность события $A$ (синий шар вынут раньше красного) находится по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Способ 2: Метод симметрии

Условие задачи касается только взаимного порядка извлечения синего и красного шаров. Положение жёлтого шара в последовательности (будет ли он вынут до этих двух шаров, между ними или после) не влияет на то, какой из них — синий или красный — будет вынут раньше. Поэтому мы можем не рассматривать жёлтый шар.

Если мысленно сфокусироваться только на синем и красном шарах, то для их относительного порядка существует всего два варианта:

1. Красный шар будет вынут раньше синего.
2. Синий шар будет вынят раньше красного.

Поскольку шары извлекаются случайным образом и они одинаковы на ощупь, эти два события абсолютно симметричны и, следовательно, равновероятны.

Так как эти два события составляют полную группу (одно из них обязательно произойдёт), то сумма их вероятностей равна 1. Вероятность каждого из них равна $1/2$.

Таким образом, вероятность того, что синий шар будет вынут раньше красного, равна $1/2$.

Ответ: $\frac{1}{2}$