Страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Какие средние, используемые в статистике для изучения и обработки ряда данных, вы знаете?

В статистике для изучения и обобщения характеристик ряда данных используются различные виды средних величин, также называемых мерами центральной тенденции. Они позволяют одним числом охарактеризовать всю совокупность данных, показывая, вокруг какого значения группируются элементы ряда. Наиболее известными и часто используемыми являются среднее арифметическое, медиана и мода.

Среднее арифметическое

Это самая распространенная мера центральной тенденции. Она вычисляется как сумма всех значений в наборе данных, разделенная на их количество. Среднее арифметическое очень просто в расчете, но имеет недостаток — оно чувствительно к выбросам (аномально большим или малым значениям в выборке), которые могут сильно исказить результат.
Для ряда данных $x_1, x_2, ..., x_n$ среднее арифметическое, обозначаемое как $\bar{x}$, вычисляется по формуле:
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Пример: Для ряда оценок ученика {4, 5, 5, 3, 4, 5} среднее арифметическое (средний балл) будет:
$\bar{x} = \frac{4+5+5+3+4+5}{6} = \frac{26}{6} \approx 4.33$
Ответ: Среднее арифметическое — это частное от деления суммы всех чисел ряда на их количество.

Медиана

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию или убыванию ряд данных на две равные по численности части. Половина элементов ряда будет меньше медианы, а другая половина — больше. В отличие от среднего арифметического, медиана нечувствительна к выбросам, что делает ее более предпочтительной для данных с сильными искажениями.
Для нахождения медианы ряд данных сначала нужно упорядочить.

• Если количество элементов в ряду ($n$) нечетное, медиана — это элемент, стоящий ровно посередине. Его порядковый номер: $(n+1)/2$.
• Если количество элементов в ряду ($n$) четное, медиана — это среднее арифметическое двух центральных элементов. Их номера: $n/2$ и $n/2 + 1$.

Пример 1 (нечетное число элементов): Для ряда {7, 2, 10, 3, 5} сначала упорядочим его: {2, 3, 5, 7, 10}. Количество элементов $n=5$. Медиана — это $(5+1)/2 = 3$-й элемент, то есть 5.
Пример 2 (четное число элементов): Для ряда {7, 2, 10, 3, 5, 12} упорядочим его: {2, 3, 5, 7, 10, 12}. Количество элементов $n=6$. Медиана — это среднее арифметическое $6/2=3$-го и $6/2+1=4$-го элементов: $\frac{5+7}{2} = 6$.
Ответ: Медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного ряда данных.

Мода

Мода — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего. Ряд данных может иметь одну моду (унимодальный), две моды (бимодальный), несколько мод (мультимодальный) или не иметь моды вовсе, если все значения встречаются одинаковое количество раз. Мода — единственная из рассматриваемых мер, которую можно применять для нечисловых (категориальных) данных.
Пример: В ряду {синий, красный, зеленый, черный, зеленый, синий, зеленый} модой является "зеленый", так как этот цвет встречается чаще других.
Пример для числовых данных: Для ряда {2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 10} модой является число 7.
Ответ: Мода — это наиболее часто встречающееся значение в ряду данных.

Помимо этих трех основных средних, в статистике также применяются и другие:

Среднее геометрическое

Это корень n-ой степени из произведения всех n значений ряда. Используется для усреднения показателей, которые изменяются в геометрической прогрессии (например, темпы роста, процентные ставки, коэффициенты инфляции).
Формула: $G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}$
Ответ: Среднее геометрическое — это корень n-ой степени из произведения n чисел ряда, используемый для анализа относительных изменений.

Среднее гармоническое

Это число, обратное среднему арифметическому обратных величин из набора данных. Оно применяется для усреднения величин, которые являются обратными по своей сути, например, скоростей, плотностей, производительности труда.
Формула: $H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$
Ответ: Среднее гармоническое — это число, обратное среднему арифметическому обратных величин ряда, используемое для усреднения темпов или скоростей.

2 Как найти медиану для ряда данных из нечётного числа элементов? из чётного числа элементов? Найдите медиану ряда: 12; 17; 13; 9; 19; 15; 20; 9.

Как найти медиану для ряда данных из нечётного числа элементов?

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные по количеству элементов части. Чтобы найти медиану для ряда с нечётным числом элементов, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упорядочить (ранжировать) все элементы ряда данных по возрастанию или убыванию.
2. Найти центральный элемент в упорядоченном ряду. Его значение и будет медианой.

Если в ряду n элементов (где n — нечётное число), то номер медианного элемента в упорядоченном ряду вычисляется по формуле: $N_{медианы} = (n + 1) / 2$.

Например, для ряда 3, 9, 1, 5, 7 (где $n=5$), сначала упорядочиваем его: 1, 3, 5, 7, 9. Номер медианы: $(5+1)/2 = 3$. Третий элемент равен 5. Следовательно, медиана равна 5.

Ответ: Медианой ряда данных из нечётного числа элементов является число, которое находится ровно посередине в упорядоченном ряду этих данных.

Как найти медиану для ряда данных из чётного числа элементов?

Чтобы найти медиану для ряда с чётным числом элементов, нужно:

1. Упорядочить все элементы ряда данных по возрастанию или убыванию.
2. Найти два элемента, находящихся в центре упорядоченного ряда.
3. Вычислить их среднее арифметическое (полусумму). Это значение и будет медианой.

Если в ряду n элементов (где n — чётное число), то центральными будут элементы с номерами $n / 2$ и $(n / 2) + 1$. Медиана вычисляется как среднее арифметическое этих двух элементов.

Например, для ряда 4, 10, 2, 8, 12, 6 (где $n=6$), упорядочиваем его: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Центральные элементы находятся на позициях $6/2=3$ и $(6/2)+1=4$. Это числа 6 и 8. Медиана равна $(6+8)/2 = 7$.

Ответ: Медианой ряда данных из чётного числа элементов является среднее арифметическое двух чисел, находящихся посередине в упорядоченном ряду этих данных.

Найдите медиану ряда: 12; 17; 13; 9; 19; 15; 20; 9.

Для нахождения медианы данного ряда выполним следующие действия:

1. Сначала упорядочим (ранжируем) ряд данных по возрастанию.
Исходный ряд: 12; 17; 13; 9; 19; 15; 20; 9.
Упорядоченный ряд: 9; 9; 12; 13; 15; 17; 19; 20.

2. Подсчитаем количество элементов в ряду. В данном ряду 8 элементов ($n=8$). Это чётное число.

3. Поскольку количество элементов чётное, медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных элементов. Номера этих элементов: $n / 2 = 8 / 2 = 4$ и $(n / 2) + 1 = 4 + 1 = 5$.

4. Находим 4-й и 5-й элементы в упорядоченном ряду. Это числа 13 и 15.

5. Вычисляем их среднее арифметическое:
$Медиана = \frac{13 + 15}{2} = \frac{28}{2} = 14$.

Ответ: 14

3 Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в классической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой формуле.

Формула вычисления вероятности случайного события A в классической модели:

$P(A) = \frac{m}{n}$

Где:

$P(A)$ – вероятность наступления события A.

$m$ – число исходов, благоприятствующих наступлению события A.

$n$ – общее число равновозможных элементарных исходов испытания.

Какому условию должны удовлетворять исходы эксперимента, чтобы можно было воспользоваться классическим определением вероятности?

Исходы эксперимента должны быть равновозможными.

Формула для вычисления вероятности случайного события в классической модели выглядит следующим образом:

$P(A) = \frac{m}{n}$

В этой формуле каждая буква имеет следующее значение:

• $P(A)$ – это вероятность наступления случайного события A. Вероятность является числом от 0 до 1, где 0 означает невозможное событие, а 1 – достоверное событие.

• $m$ – это число элементарных исходов, благоприятствующих событию A. Благоприятствующий исход — это такой исход, при котором событие A происходит.

• $n$ – это общее число всех возможных элементарных исходов данного эксперимента. Эти исходы должны образовывать полную группу событий (то есть в результате эксперимента обязательно произойдёт один из них) и быть несовместными (появление одного исключает появление другого).

Для того чтобы можно было воспользоваться классическим определением вероятности и приведённой выше формулой, исходы эксперимента должны удовлетворять главному условию: все элементарные исходы должны быть равновозможными (или равновероятными). Это означает, что нет никаких объективных причин полагать, что один из исходов может произойти чаще или реже, чем любой другой. Также подразумевается, что общее число исходов $n$ конечно.

Ответ: Формула для вычисления вероятности случайного события A в классической модели: $P(A) = \frac{m}{n}$. В этой формуле $P(A)$ – это вероятность события A, $m$ – это число благоприятствующих событию A исходов, а $n$ – это общее число всех элементарных исходов. Основное условие, которому должны удовлетворять исходы эксперимента для применения этой формулы, — их равновозможность.

1 На заводе, выпустившем партию телевизоров новой марки, изучили, по каким ценам продают телевизоры этой серии в магазинах города. Получился следующий ряд данных: 5320 р., 5300 р., 4290 р., 5300 р., 5350 р., 4280 р., 5300 р., 5320 р., 5400 р., 5290 р. Определите все средние и размах цен на телевизоры новой марки в магазинах города.

Для определения всех средних и размаха цен, необходимо проанализировать предоставленный ряд данных. Исходный ряд цен (в рублях): 5320, 5300, 4290, 5300, 5350, 4280, 5300, 5320, 5400, 5290. Всего в ряду 10 значений.

Для удобства вычислений медианы и размаха, упорядочим данный ряд по возрастанию:

4280, 4290, 5290, 5300, 5300, 5300, 5320, 5320, 5350, 5400.

Теперь вычислим требуемые статистические показатели.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое — это сумма всех чисел в ряду, деленная на их количество. Сначала найдем сумму всех цен:

$S = 4280 + 4290 + 5290 + 5300 + 5300 + 5300 + 5320 + 5320 + 5350 + 5400 = 51150$

Количество цен в ряду $n = 10$. Теперь разделим сумму на количество:

$\text{Среднее арифметическое} = \frac{S}{n} = \frac{51150}{10} = 5115$

Ответ: Среднее арифметическое цен составляет 5115 р.

Мода

Мода — это значение в ряду данных, которое встречается чаще всего. Проанализируем частоту появления каждой цены в упорядоченном ряду:

4280 (встречается 1 раз), 4290 (1 раз), 5290 (1 раз), 5300 (3 раза), 5320 (2 раза), 5350 (1 раз), 5400 (1 раз).

Цена 5300 р. встречается чаще других, поэтому она является модой данного ряда.

Ответ: Мода ряда цен равна 5300 р.

Медиана

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные части. Поскольку в нашем ряду 10 элементов (четное число), медиана вычисляется как среднее арифметическое двух значений, находящихся в центре ряда. Это 5-е и 6-е значения.

Упорядоченный ряд: 4280, 4290, 5290, 5300, 5300, 5300, 5320, 5320, 5350, 5400.

Центральные значения — это 5300 и 5300. Найдем их среднее арифметическое:

$\text{Медиана} = \frac{5300 + 5300}{2} = 5300$

Ответ: Медиана ряда цен равна 5300 р.

Размах

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду данных. В нашем упорядоченном ряду:

Наибольшее значение (максимум): $max = 5400$

Наименьшее значение (минимум): $min = 4280$

Вычислим размах:

$\text{Размах} = max - min = 5400 - 4280 = 1120$

Ответ: Размах цен составляет 1120 р.

2 В классе учится 12 девочек и 18 мальчиков. По жребию выбирается один дежурный. Какова вероятность того, что дежурным окажется мальчик?

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{n}$

где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих данному событию.

1. Найдем общее число исходов $n$. Это общее количество учеников в классе, так как дежурным может стать любой из них. В классе учится 12 девочек и 18 мальчиков.

Общее число учеников: $n = 12 + 18 = 30$.

Таким образом, существует 30 равновозможных исходов выбора дежурного.

2. Найдем число благоприятствующих исходов $m$. Благоприятствующим исходом является выбор мальчика на роль дежурного. Количество мальчиков в классе равно 18.

Число благоприятствующих исходов: $m = 18$.

3. Теперь можем вычислить вероятность того, что дежурным окажется мальчик, подставив значения $m$ и $n$ в формулу:

$P = \frac{m}{n} = \frac{18}{30}$

4. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 18 и 30 равен 6.

$\frac{18 \div 6}{30 \div 6} = \frac{3}{5}$

5. Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{3}{5} = 0,6$

Следовательно, вероятность того, что дежурным окажется мальчик, равна 0,6.

Ответ: 0,6

3 Какова вероятность того, что при бросании правильного игрального кубика выпадет не менее трёх очков?

Для решения данной задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа исходов $m$, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных исходов $n$.

Формула для расчета вероятности: $P = \frac{m}{n}$.

Сначала определим общее число возможных исходов. Правильный игральный кубик имеет 6 граней, на которых нанесены числа от 1 до 6. При одном броске может выпасть любое из этих чисел. Таким образом, общее число всех равновозможных исходов $n = 6$.

Далее определим число благоприятствующих исходов. Условие "выпадет не менее трёх очков" означает, что количество выпавших очков должно быть равно 3 или больше ($ \ge 3 $). Этому условию удовлетворяют следующие исходы: выпадение 3, 4, 5 или 6.

Подсчитаем количество таких исходов: их четыре. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 4$.

Теперь, зная значения $m$ и $n$, мы можем вычислить искомую вероятность: $P = \frac{m}{n} = \frac{4}{6}$.

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2: $P = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

4 Два брата и их друг садятся в автобус. Найдите вероятность того, что первым в автобус войдёт один из братьев.

Для решения данной задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{N}$

где $m$ — это количество благоприятных исходов события, а $N$ — это общее количество всех равновозможных исходов.

1. Определим общее количество исходов (N). В автобус садятся два брата и их друг. Всего получается $2 + 1 = 3$ человека. Порядок, в котором они заходят в автобус, случаен. Нас интересует, кто войдет первым. Первым может войти любой из трех человек. Следовательно, общее число всех равновозможных исходов равно 3.

2. Определим количество благоприятных исходов (m). Благоприятным исходом считается тот, при котором первым в автобус войдет один из братьев. Поскольку братьев двое, то и благоприятных исходов тоже два (первым может войти либо один брат, либо другой).

3. Вычислим вероятность. Подставим найденные значения $m=2$ и $N=3$ в формулу вероятности:

$P = \frac{2}{3}$

Таким образом, вероятность того, что первым в автобус войдет один из братьев, равна $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

1 Петя, готовясь к зачёту по английскому языку, в течение двух недель ежедневно записывал, сколько новых слов он выучил. Получился следующий ряд данных:

12, 12, 14, 20, 28, 8, 14, 10, 15, 12, 14, 12, 10, 15.

Для каждой статистической характеристики этого ряда укажите её значение.

А) 12 Б) 13 В) 14 Г) 20

1) среднее арифметическое

2) размах

3) мода

4) медиана

Для нахождения статистических характеристик сначала представим исходный ряд данных в упорядоченном (возрастающем) виде. Исходный ряд: 12, 12, 14, 20, 28, 8, 14, 10, 15, 12, 14, 12, 10, 15. Всего в ряду 14 чисел.

Упорядоченный ряд: 8, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 14, 14, 14, 15, 15, 20, 28.

1) среднее арифметическое

Среднее арифметическое ряда — это частное от деления суммы всех чисел этого ряда на их количество. Сначала найдём сумму всех чисел:

$8 + 10 + 10 + 12 + 12 + 12 + 12 + 14 + 14 + 14 + 15 + 15 + 20 + 28 = 196$.

Количество чисел в ряду равно 14. Теперь разделим сумму на количество, чтобы найти среднее арифметическое:

$196 \div 14 = 14$.

Ответ: 14.

2) размах

Размах ряда — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду.

В нашем упорядоченном ряду наибольшее значение равно 28, а наименьшее — 8.

Размах = $28 - 8 = 20$.

Ответ: 20.

3) мода

Мода ряда — это число, которое встречается в данном ряду чаще других. Проанализируем частоту появления каждого числа:

Число 8: 1 раз
Число 10: 2 раза
Число 12: 4 раза
Число 14: 3 раза
Число 15: 2 раза
Число 20: 1 раз
Число 28: 1 раз

Чаще всего (4 раза) встречается число 12, следовательно, оно и является модой данного ряда.

Ответ: 12.

4) медиана

Медиана упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов — это среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине. В нашем ряду 14 чисел, значит, нам нужно найти среднее арифметическое 7-го и 8-го членов ряда.

Упорядоченный ряд: 8, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 14, 14, 14, 15, 15, 20, 28.

7-й член ряда равен 12, а 8-й член равен 14. Найдём их среднее арифметическое:

$(12 + 14) \div 2 = 26 \div 2 = 13$.

Ответ: 13.