Номер 1, страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 1, страница 304.

Условие.

1 Какие средние, используемые в статистике для изучения и обработки ряда данных, вы знаете?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

В статистике для изучения и обобщения характеристик ряда данных используются различные виды средних величин, также называемых мерами центральной тенденции. Они позволяют одним числом охарактеризовать всю совокупность данных, показывая, вокруг какого значения группируются элементы ряда. Наиболее известными и часто используемыми являются среднее арифметическое, медиана и мода.

Среднее арифметическое

Это самая распространенная мера центральной тенденции. Она вычисляется как сумма всех значений в наборе данных, разделенная на их количество. Среднее арифметическое очень просто в расчете, но имеет недостаток — оно чувствительно к выбросам (аномально большим или малым значениям в выборке), которые могут сильно исказить результат.
Для ряда данных $x_1, x_2, ..., x_n$ среднее арифметическое, обозначаемое как $\bar{x}$, вычисляется по формуле:
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Пример: Для ряда оценок ученика {4, 5, 5, 3, 4, 5} среднее арифметическое (средний балл) будет:
$\bar{x} = \frac{4+5+5+3+4+5}{6} = \frac{26}{6} \approx 4.33$
Ответ: Среднее арифметическое — это частное от деления суммы всех чисел ряда на их количество.

Медиана

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию или убыванию ряд данных на две равные по численности части. Половина элементов ряда будет меньше медианы, а другая половина — больше. В отличие от среднего арифметического, медиана нечувствительна к выбросам, что делает ее более предпочтительной для данных с сильными искажениями.
Для нахождения медианы ряд данных сначала нужно упорядочить.

• Если количество элементов в ряду ($n$) нечетное, медиана — это элемент, стоящий ровно посередине. Его порядковый номер: $(n+1)/2$.
• Если количество элементов в ряду ($n$) четное, медиана — это среднее арифметическое двух центральных элементов. Их номера: $n/2$ и $n/2 + 1$.

Пример 1 (нечетное число элементов): Для ряда {7, 2, 10, 3, 5} сначала упорядочим его: {2, 3, 5, 7, 10}. Количество элементов $n=5$. Медиана — это $(5+1)/2 = 3$-й элемент, то есть 5.
Пример 2 (четное число элементов): Для ряда {7, 2, 10, 3, 5, 12} упорядочим его: {2, 3, 5, 7, 10, 12}. Количество элементов $n=6$. Медиана — это среднее арифметическое $6/2=3$-го и $6/2+1=4$-го элементов: $\frac{5+7}{2} = 6$.
Ответ: Медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного ряда данных.

Мода

Мода — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего. Ряд данных может иметь одну моду (унимодальный), две моды (бимодальный), несколько мод (мультимодальный) или не иметь моды вовсе, если все значения встречаются одинаковое количество раз. Мода — единственная из рассматриваемых мер, которую можно применять для нечисловых (категориальных) данных.
Пример: В ряду {синий, красный, зеленый, черный, зеленый, синий, зеленый} модой является "зеленый", так как этот цвет встречается чаще других.
Пример для числовых данных: Для ряда {2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 10} модой является число 7.
Ответ: Мода — это наиболее часто встречающееся значение в ряду данных.

Помимо этих трех основных средних, в статистике также применяются и другие:

Среднее геометрическое

Это корень n-ой степени из произведения всех n значений ряда. Используется для усреднения показателей, которые изменяются в геометрической прогрессии (например, темпы роста, процентные ставки, коэффициенты инфляции).
Формула: $G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}$
Ответ: Среднее геометрическое — это корень n-ой степени из произведения n чисел ряда, используемый для анализа относительных изменений.

Среднее гармоническое

Это число, обратное среднему арифметическому обратных величин из набора данных. Оно применяется для усреднения величин, которые являются обратными по своей сути, например, скоростей, плотностей, производительности труда.
Формула: $H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$
Ответ: Среднее гармоническое — это число, обратное среднему арифметическому обратных величин ряда, используемое для усреднения темпов или скоростей.