Номер 904, страница 302 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 6. Вероятность и статистика. Дополнительные задания - номер 904, страница 302.

Условие.

904 Исследуем Дан ряд из пяти чисел: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$.

а) Каждый член ряда увеличили на 10. Запишите новый ряд и вычислите его среднее арифметическое, найдите моду и медиану. Сделайте вывод: как изменяются среднее арифметическое, мода и медиана ряда при увеличении каждого его члена на одно и то же число?

б) Каждый член ряда увеличили в 10 раз. Запишите новый ряд и вычислите его среднее арифметическое, найдите моду и медиану. Сделайте вывод: как изменяются среднее арифметическое, мода и медиана ряда при увеличении каждого его члена на в одно и то же число раз?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для исследования нам дан ряд из пяти чисел: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$.

а) Каждый член ряда увеличили на 10. Запишите новый ряд и вычислите его среднее арифметическое, найдите моду и медиану. Сделайте вывод: как изменяются среднее арифметическое, мода и медиана ряда при увеличении каждого его члена на одно и то же число?

Новый ряд чисел после увеличения каждого члена на 10 будет иметь вид:
$a_1+10, a_2+10, a_3+10, a_4+10, a_5+10$.

Среднее арифметическое:
Среднее арифметическое исходного ряда ($M_{исх}$) равно сумме всех его членов, деленной на их количество:
$M_{исх} = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5}{5}$.
Найдем среднее арифметическое нового ряда ($M_{нов}$):
$M_{нов} = \frac{(a_1+10) + (a_2+10) + (a_3+10) + (a_4+10) + (a_5+10)}{5} = \frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 + 5 \cdot 10}{5} = \frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5} + \frac{50}{5} = M_{исх} + 10$.
Таким образом, среднее арифметическое ряда увеличилось на 10.

Мода:
Мода – это значение в ряду, которое встречается наиболее часто. Обозначим моду исходного ряда $Mo_{исх}$. Так как каждый член ряда увеличили на 10, то и самое часто встречающееся значение увеличится на 10, при этом его частота не изменится. Следовательно, мода нового ряда $Mo_{нов} = Mo_{исх} + 10$.

Медиана:
Медиана – это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда. Для ряда из 5 чисел медианой является его третий член после упорядочивания. Пусть исходный упорядоченный ряд: $a_{(1)} \le a_{(2)} \le a_{(3)} \le a_{(4)} \le a_{(5)}$. Тогда медиана исходного ряда $Me_{исх} = a_{(3)}$.
Новый упорядоченный ряд будет: $a_{(1)}+10 \le a_{(2)}+10 \le a_{(3)}+10 \le a_{(4)}+10 \le a_{(5)}+10$.
Медиана нового ряда $Me_{нов}$ — это его третий член: $Me_{нов} = a_{(3)} + 10 = Me_{исх} + 10$.
Таким образом, медиана ряда также увеличилась на 10.

Вывод:
При увеличении каждого члена ряда на одно и то же число, его среднее арифметическое, мода и медиана также увеличиваются на это число.

Ответ: Новый ряд: $a_1+10, a_2+10, a_3+10, a_4+10, a_5+10$. При увеличении каждого члена ряда на 10, его среднее арифметическое, мода и медиана также увеличиваются на 10.

б) Каждый член ряда увеличили в 10 раз. Запишите новый ряд и вычислите его среднее арифметическое, найдите моду и медиану. Сделайте вывод: как изменяются среднее арифметическое, мода и медиана ряда при увеличении каждого его члена на в одно и то же число раз?

Новый ряд чисел после увеличения каждого члена в 10 раз будет иметь вид:
$10a_1, 10a_2, 10a_3, 10a_4, 10a_5$.

Среднее арифметическое:
Среднее арифметическое исходного ряда: $M_{исх} = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5}{5}$.
Найдем среднее арифметическое нового ряда ($M_{нов}$):
$M_{нов} = \frac{10a_1 + 10a_2 + 10a_3 + 10a_4 + 10a_5}{5} = \frac{10(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)}{5} = 10 \cdot (\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5}) = 10 \cdot M_{исх}$.
Таким образом, среднее арифметическое ряда увеличилось в 10 раз.

Мода:
Мода исходного ряда — $Mo_{исх}$. При умножении каждого члена ряда на 10, значение, которое встречалось чаще всего, также будет умножено на 10, а его частота останется прежней. Следовательно, мода нового ряда $Mo_{нов} = 10 \cdot Mo_{исх}$.

Медиана:
Медиана исходного упорядоченного ряда: $Me_{исх} = a_{(3)}$.
При умножении на положительное число 10 порядок элементов в ряду сохранится. Новый упорядоченный ряд: $10a_{(1)} \le 10a_{(2)} \le 10a_{(3)} \le 10a_{(4)} \le 10a_{(5)}$.
Медиана нового ряда $Me_{нов}$ — это его третий член: $Me_{нов} = 10a_{(3)} = 10 \cdot Me_{исх}$.
Таким образом, медиана ряда также увеличилась в 10 раз.

Вывод:
При увеличении (умножении) каждого члена ряда в одно и то же число раз ($k$), его среднее арифметическое, мода и медиана также увеличиваются в это же число раз ($k$).

Ответ: Новый ряд: $10a_1, 10a_2, 10a_3, 10a_4, 10a_5$. При увеличении каждого члена ряда в 10 раз, его среднее арифметическое, мода и медиана также увеличиваются в 10 раз.