Номер 897, страница 301 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

897 Фигура Ф задана на координатной плоскости следующими условиями: $|x| \le 5$ и $|y| \le 5$. Известно, что центр квадрата со сторонами, параллельными осям координат, принадлежит фигуре Ф. Сторона квадрата равна 2. Какова вероятность того, что квадрат целиком содержится в фигуре Ф?

Указание. Фигура Ф – это квадрат со стороной 10 и центром в начале координат. Квадрат не будет содержаться в фигуре Ф целиком, если расстояние от его центра до границ фигуры Ф меньше 1. Покажите штриховкой часть фигуры Ф, соответствующую благоприятным исходам.

1. Начнем с определения геометрической вероятности. Она рассчитывается как отношение площади благоприятных исходов (где может находиться центр малого квадрата) к общей площади фигуры Ф: $$P = \frac{S_{благопр.}}{S_{общ.}}$$

2. Найдем общую площадь фигуры Ф. Так как стороны квадрата ограничены значениями от $-5$ до $5$, длина стороны равна $5 - (-5) = 10$. $$S_{общ.} = 10 \cdot 10 = 100$$

3. Определим область благоприятных исходов. Чтобы малый квадрат со стороной $2$ целиком лежал внутри Ф, его центр должен отстоять от каждой стороны фигуры Ф минимум на расстояние, равное половине его стороны (то есть на $1$). Это значит, что координаты центра $(x; y)$ должны удовлетворять условиям: $$-5 + 1 \le x \le 5 - 1 \implies -4 \le x \le 4$$ $$-5 + 1 \le y \le 5 - 1 \implies -4 \le y \le 4$$

4. Таким образом, область благоприятных исходов — это внутренний квадрат со стороной $4 - (-4) = 8$. Вычислим его площадь: $$S_{благопр.} = 8 \cdot 8 = 64$$

5. Вычислим искомую вероятность: $$P = \frac{64}{100} = 0,64$$

Ответ: 0,64.