Номер 897, страница 301 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.4. Геометрические вероятности. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 897, страница 301.

Условие.

897 Фигура Ф задана на координатной плоскости следующими условиями: $|x| \le 5$ и $|y| \le 5$. Известно, что центр квадрата со сторонами, параллельными осям координат, принадлежит фигуре Ф. Сторона квадрата равна 2. Какова вероятность того, что квадрат целиком содержится в фигуре Ф?

Указание. Фигура Ф – это квадрат со стороной 10 и центром в начале координат. Квадрат не будет содержаться в фигуре Ф целиком, если расстояние от его центра до границ фигуры Ф меньше 1. Покажите штриховкой часть фигуры Ф, соответствующую благоприятным исходам.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры области благоприятных исходов (в данном случае, площади) к мере области всех возможных исходов.

1. Определение области всех возможных исходов

Фигура Ф задана на координатной плоскости условиями $|x| \le 5$ и $|y| \le 5$. Это квадрат с центром в начале координат $(0, 0)$ и вершинами в точках $(5, 5)$, $(-5, 5)$, $(-5, -5)$ и $(5, -5)$. Сторона этого квадрата равна $5 - (-5) = 10$. Поскольку центр искомого квадрата принадлежит фигуре Ф, область всех возможных положений его центра совпадает с фигурой Ф. Площадь области всех возможных исходов $S_{общ}$ равна площади фигуры Ф: $S_{общ} = 10 \times 10 = 100$.

2. Определение области благоприятных исходов

Благоприятным исходом является такое положение малого квадрата, при котором он целиком содержится в фигуре Ф. Пусть центр малого квадрата имеет координаты $(x_c, y_c)$. Сторона малого квадрата равна 2, а его стороны параллельны осям координат. Это означает, что координаты любой точки $(x, y)$ внутри этого малого квадрата удовлетворяют неравенствам: $x_c - 1 \le x \le x_c + 1$ и $y_c - 1 \le y \le y_c + 1$. Чтобы малый квадрат целиком содержался в фигуре Ф, все его точки должны удовлетворять условиям $|x| \le 5$ и $|y| \le 5$. Это требование должно выполняться для крайних точек малого квадрата. Для координаты $x$ должны выполняться неравенства: $x_c + 1 \le 5 \implies x_c \le 4$ $x_c - 1 \ge -5 \implies x_c \ge -4$ Таким образом, координата центра $x_c$ должна лежать в диапазоне $-4 \le x_c \le 4$, или $|x_c| \le 4$. Аналогично для координаты $y$: $y_c + 1 \le 5 \implies y_c \le 4$ $y_c - 1 \ge -5 \implies y_c \ge -4$ Таким образом, координата центра $y_c$ должна лежать в диапазоне $-4 \le y_c \le 4$, или $|y_c| \le 4$. Область благоприятных исходов для положения центра $(x_c, y_c)$ — это множество точек, удовлетворяющих условиям $|x_c| \le 4$ и $|y_c| \le 4$. Это квадрат с центром в начале координат и стороной $4 - (-4) = 8$. Площадь этой области благоприятных исходов $S_{бл}$ равна: $S_{бл} = 8 \times 8 = 64$.

3. Изображение и вычисление вероятности

Часть фигуры Ф, соответствующая благоприятным исходам (которую следует показать штриховкой), — это квадрат с центром в начале координат и вершинами в точках $(4, 4), (-4, 4), (-4, -4)$ и $(4, -4)$. Он находится внутри большого квадрата Ф.

Вероятность $P$ того, что квадрат целиком содержится в фигуре Ф, равна отношению площади области благоприятных исходов к общей площади:

$P