Номер 896, страница 300 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.4. Геометрические вероятности. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 896, страница 300.

Условие.

896 Фишку наугад бросают в квадрат со стороной $1$, и она попадает в некоторую точку $M$. Какова вероятность того, что:

а) расстояние от точки $M$ до ближайшей стороны квадрата не превосходит $0,25$;

б) расстояние от точки $M$ до ближайшей диагонали квадрата не превосходит $0,25$?

Указание. Отметьте на квадрате ту часть, попадание в которую является благоприятным исходом, и найдите её площадь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

В данной задаче используется геометрическое определение вероятности. Вероятность попадания точки в некоторую область внутри квадрата равна отношению площади этой области к площади всего квадрата. Пусть квадрат расположен в системе координат так, что его вершины имеют координаты (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). Площадь всего квадрата $S_{общ} = 1 \times 1 = 1$. Таким образом, искомая вероятность $P$ будет численно равна площади благоприятной области $S_{бл}$: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{S_{бл}}{1} = S_{бл}$.

а) расстояние от точки М до ближайшей стороны квадрата не превосходит 0,25;

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x, y)$, где $0 \le x \le 1$ и $0 \le y \le 1$. Расстояния от точки $M$ до сторон квадрата, заданных уравнениями $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=1$, равны соответственно $x$, $1-x$, $y$, $1-y$. Расстояние до ближайшей стороны не превосходит 0,25. Это означает, что $\min(x, 1-x, y, 1-y) \le 0,25$. Это условие выполняется, если точка $M(x,y)$ удовлетворяет хотя бы одному из неравенств: $0 \le x \le 0,25$, или $0,75 \le x \le 1$, или $0 \le y \le 0,25$, или $0,75 \le y \le 1$. Эти области вместе образуют "рамку" вдоль границ квадрата. Эта рамка и есть область благоприятных исходов. Чтобы найти площадь этой рамки, удобнее вычесть из общей площади квадрата площадь неблагоприятной области. Неблагоприятный исход — это когда расстояние от точки $M$ до ближайшей стороны больше 0,25, то есть $\min(x, 1-x, y, 1-y) > 0,25$. Это эквивалентно системе неравенств: $x > 0,25$, $1-x > 0,25$ (т.е. $x < 0,75$), $y > 0,25$ и $1-y > 0,25$ (т.е. $y < 0,75$). Таким образом, неблагоприятная область — это внутренний квадрат, заданный условиями $0,25 < x < 0,75$ и $0,25 < y < 0,75$. Сторона этого внутреннего квадрата равна $0,75 - 0,25 = 0,5$. Площадь неблагоприятной области: $S_{небл} = 0,5^2 = 0,25$. Площадь благоприятной области (рамки) равна: $S_{бл} = S_{общ} - S_{небл} = 1 - 0,25 = 0,75$. Искомая вероятность равна площади благоприятной области: $P(a) = S_{бл} = 0,75$.

Ответ: 0,75

б) расстояние от точки М до ближайшей диагонали квадрата не превосходит 0,25?

Диагонали квадрата задаются уравнениями $y=x$ (или $x-y=0$) и $y=-x+1$ (или $x+y-1=0$). Расстояние от точки $M(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$. Расстояние от точки $M(x,y)$ до первой диагонали: $d_1 = \frac{|x-y|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$. Расстояние от точки $M(x,y)$ до второй диагонали: $d_2 = \frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$. Условие задачи: расстояние до ближайшей диагонали не превосходит 0,25. То есть, $\min(d_1, d_2) \le 0,25$. Благоприятная область представляет собой объединение двух полос, расположенных вдоль диагоналей квадрата. Найдём площадь этой области, вычитая из общей площади площадь неблагоприятной области. Неблагоприятный исход — это когда расстояние до ближайшей диагонали больше 0,25, то есть $\min(d_1, d_2) > 0,25$. Это эквивалентно выполнению обоих неравенств: $d_1 > 0,25$ и $d_2 > 0,25$, что можно записать как $|x-y| > 0,25\sqrt{2}$ и $|x+y-1| > 0,25\sqrt{2}$. Эта неблагоприятная область состоит из четырех одинаковых треугольников, расположенных у середин сторон исходного квадрата. Рассмотрим один из таких треугольников, например, у нижней стороны квадрата ($y=0$). Он ограничен прямыми, определяющими границу благоприятной области: $y=x-0,25\sqrt{2}$ и $y=-x+1-0,25\sqrt{2}$, а также стороной квадрата $y=0$. Основание этого треугольника лежит на оси $Ox$. Его концы — это точки пересечения указанных прямых с осью $y=0$: $x_1 = 0,25\sqrt{2}$ и $x_2 = 1-0,25\sqrt{2}$. Длина основания: $b = x_2 - x_1 = 1 - 2 \times 0,25\sqrt{2} = 1 - 0,5\sqrt{2}$. Высота треугольника — это y-координата точки пересечения прямых $y=x-0,25\sqrt{2}$ и $y=-x+1-0,25\sqrt{2}$, которая равна $h = 0,5 - 0,25\sqrt{2}$. Площадь одного такого треугольника: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} (1 - 0,5\sqrt{2})(0,5 - 0,25\sqrt{2}) = \frac{1}{2} (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \frac{1}{2}(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})^2$. $S_{\triangle} = \frac{1}{4}(1 - \sqrt{2} + \frac{2}{4}) = \frac{1}{4}(1,5 - \sqrt{2})$. Всего таких треугольников четыре, поэтому общая площадь неблагоприятной области: $S_{небл} = 4 \times S_{\triangle} = 4 \times \frac{1}{4}(1,5 - \sqrt{2}) = 1,5 - \sqrt{2}$. Площадь благоприятной области: $S_{бл} = S_{общ} - S_{небл} = 1 - (1,5 - \sqrt{2}) = 1 - 1,5 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 0,5$. Искомая вероятность: $P(б) = S_{бл} = \sqrt{2} - 0,5$.

Ответ: $\sqrt{2} - 0,5$