Страница 300 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

893 а) Стрелок, не целясь, стреляет в круглую мишень (рис. 6.5) и попадает в неё. Какова вероятность того, что он попал в синий круг? выбил не более 5 очков?

б) Стрелок, не целясь, стреляет в треугольную мишень (рис. 6.6) и попадает в неё. Какова вероятность того, что он попадёт в тройку? в двойку? в единицу?

894 Фишку наугад бросают в квадрат, изображённый на рисунке 6.7. Какова вероятность того, что фишка попадёт:

Рис. 6.5

Рис. 6.6

а) Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность попадания в определенную область равна отношению площади этой области к площади всей мишени.

Мишень представляет собой 10 концентрических кругов. Будем считать, что все 10 зон (колец и центрального круга) имеют одинаковую ширину. Пусть ширина каждого кольца равна $w$. Тогда центральный круг (зона "10") имеет радиус $w$, круг, включающий зону "9", имеет радиус $2w$, и так далее. Вся мишень представляет собой круг с радиусом $R = 10w$.

Площадь всей мишени равна: $S_{общ} = \pi R^2 = \pi (10w)^2 = 100\pi w^2$.

Сначала найдем вероятность того, что стрелок попал в синий круг. Синяя область включает зоны с очками от 6 до 10. Эта область представляет собой круг, граница которого отделяет зону "5" от зоны "6". Радиус этого круга равен $R_{синий} = 5w$.

Площадь синего круга: $S_{синий} = \pi R_{синий}^2 = \pi (5w)^2 = 25\pi w^2$.

Вероятность попадания в синий круг: $P(\text{синий}) = \frac{S_{синий}}{S_{общ}} = \frac{25\pi w^2}{100\pi w^2} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Теперь найдем вероятность того, что стрелок выбил не более 5 очков. Это означает попадание в зоны 1, 2, 3, 4 или 5. Эти зоны составляют белую часть мишени. Событие "выбить не более 5 очков" является дополнением к событию "попасть в синий круг" (т.е. выбить 6 или более очков).

Следовательно, искомая вероятность равна: $P(\text{не более 5 очков}) = 1 - P(\text{синий}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: Вероятность того, что стрелок попал в синий круг, равна $\frac{1}{4}$. Вероятность того, что он выбил не более 5 очков, равна $\frac{3}{4}$.

б) Это также задача на геометрическую вероятность. Так как большая треугольная мишень разделена на множество одинаковых по площади маленьких равносторонних треугольников, вероятность попадания в область с определенным счетом равна отношению количества треугольников с этим счетом к общему количеству маленьких треугольников.

Сначала посчитаем общее количество маленьких треугольников. Мишень состоит из 4 рядов:

• 1-й ряд (сверху): 1 треугольник
• 2-й ряд: 3 треугольника
• 3-й ряд: 5 треугольников
• 4-й ряд (основание): 7 треугольников

Общее число треугольников: $N_{общ} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16$.

Теперь посчитаем количество треугольников для каждого вида очков:

• Тройка (3 очка): На рисунке только один центральный треугольник с цифрой 3. Таким образом, $N_3 = 1$.
• Двойка (2 очка): Посчитаем все треугольники с цифрой 2. В 2-м ряду - 1, в 3-м ряду - 2, в 4-м ряду - 3. Итого: $N_2 = 1 + 2 + 3 = 6$.
• Единица (1 очко): Посчитаем все треугольники с цифрой 1. В 1-м ряду - 1, во 2-м ряду - 2, в 3-м ряду - 2, в 4-м ряду - 4. Итого: $N_1 = 1 + 2 + 2 + 4 = 9$.

Проверка: $N_1 + N_2 + N_3 = 9 + 6 + 1 = 16$, что совпадает с общим числом треугольников.

Теперь можем вычислить вероятности:

• Вероятность попасть в тройку: $P(3) = \frac{N_3}{N_{общ}} = \frac{1}{16}$.
• Вероятность попасть в двойку: $P(2) = \frac{N_2}{N_{общ}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
• Вероятность попасть в единицу: $P(1) = \frac{N_1}{N_{общ}} = \frac{9}{16}$.

Ответ: Вероятность попасть в тройку равна $\frac{1}{16}$, в двойку — $\frac{3}{8}$, в единицу — $\frac{9}{16}$.

894 Фишку наугад бросают в квадрат, изображённый на рисунке 6.7. Какова вероятность того, что фишка попадёт:

а) в чёрный квадрат;

б) в квадрат $ABCD$;

в) в закрашенную рамку?

Рис. 6.7

Для решения этой задачи используется понятие геометрической вероятности. Вероятность попадания фишки в определённую область равна отношению площади этой области к площади всей фигуры, в которую бросают фишку. Вся фигура — это большой квадрат, разделённый на клетки.

Примем сторону одной маленькой клетки за единицу длины. Тогда площадь одной клетки равна 1 квадратной единице.

Большой квадрат, в который бросают фишку, имеет сторону длиной 5 клеток, поэтому его общая площадь $S_{общ}$ составляет:

$S_{общ} = 5 \times 5 = 25$ квадратных единиц.

а) в чёрный квадрат;

Чёрный квадрат имеет сторону длиной 2 клетки. Его площадь $S_{черн}$ равна:

$S_{черн} = 2 \times 2 = 4$ квадратные единицы.

Вероятность попадания фишки в чёрный квадрат $P(A)$ вычисляется как отношение площади чёрного квадрата к общей площади:

$P(A) = \frac{S_{черн}}{S_{общ}} = \frac{4}{25}$

Ответ: $\frac{4}{25}$

б) в квадрат ABCD;

Квадрат ABCD имеет сторону длиной 4 клетки. Его площадь $S_{ABCD}$ равна:

$S_{ABCD} = 4 \times 4 = 16$ квадратных единиц.

Вероятность попадания фишки в квадрат ABCD $P(B)$ вычисляется как отношение площади квадрата ABCD к общей площади:

$P(B) = \frac{S_{ABCD}}{S_{общ}} = \frac{16}{25}$

Ответ: $\frac{16}{25}$

в) в закрашенную рамку?

Закрашенная рамка представляет собой область внутри квадрата ABCD, из которой исключён центральный чёрный квадрат. Чтобы найти площадь рамки $S_{рамки}$, нужно из площади квадрата ABCD вычесть площадь чёрного квадрата:

$S_{рамки} = S_{ABCD} - S_{черн} = 16 - 4 = 12$ квадратных единиц.

Вероятность попадания фишки в закрашенную рамку $P(C)$ вычисляется как отношение площади рамки к общей площади:

$P(C) = \frac{S_{рамки}}{S_{общ}} = \frac{12}{25}$

Ответ: $\frac{12}{25}$

895 Брошенная наугад фишка попадает в фигуру, изображённую на рисунке 6.8. Какова вероятность того, что она попадёт при этом в закрашенную часть фигуры?

Рис. 6.8

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность того, что брошенная наугад фишка попадёт в закрашенную часть фигуры, равна отношению площади закрашенной части к площади всей фигуры.

$P = \frac{S_{закрашенной}}{S_{всей}}$

Примем площадь одной клетки сетки за 1 квадратную единицу.

1. Найдем площадь всей фигуры ($S_{всей}$).
Для этого посчитаем общее количество клеток, из которых состоит фигура.

• Верхний и нижний ряды: по 1 клетке
• Второй и предпоследний ряды: по 3 клетки
• Центральный ряд: 5 клеток

Сложим количество клеток: $1 + 3 + 5 + 3 + 1 = 13$. Таким образом, площадь всей фигуры составляет $S_{всей} = 13$ квадратных единиц.

2. Найдем площадь закрашенной части ($S_{закрашенной}$).
Закрашенная часть представляет собой прямоугольный треугольник. Его площадь можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ – длины катетов. Из рисунка видно, что длина одного катета (основания) равна 3 клеткам, а длина второго катета (высоты) равна 2 клеткам. Подставим эти значения в формулу: $S_{закрашенной} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ квадратные единицы.

3. Вычислим вероятность.
Теперь, зная обе площади, мы можем найти вероятность: $P = \frac{S_{закрашенной}}{S_{всей}} = \frac{3}{13}$

Ответ: $\frac{3}{13}$

896 Фишку наугад бросают в квадрат со стороной $1$, и она попадает в некоторую точку $M$. Какова вероятность того, что:

а) расстояние от точки $M$ до ближайшей стороны квадрата не превосходит $0,25$;

б) расстояние от точки $M$ до ближайшей диагонали квадрата не превосходит $0,25$?

Указание. Отметьте на квадрате ту часть, попадание в которую является благоприятным исходом, и найдите её площадь.

В данной задаче используется геометрическое определение вероятности. Вероятность попадания точки в некоторую область внутри квадрата равна отношению площади этой области к площади всего квадрата. Пусть квадрат расположен в системе координат так, что его вершины имеют координаты (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). Площадь всего квадрата $S_{общ} = 1 \times 1 = 1$. Таким образом, искомая вероятность $P$ будет численно равна площади благоприятной области $S_{бл}$: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{S_{бл}}{1} = S_{бл}$.

а) расстояние от точки М до ближайшей стороны квадрата не превосходит 0,25;

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x, y)$, где $0 \le x \le 1$ и $0 \le y \le 1$. Расстояния от точки $M$ до сторон квадрата, заданных уравнениями $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=1$, равны соответственно $x$, $1-x$, $y$, $1-y$. Расстояние до ближайшей стороны не превосходит 0,25. Это означает, что $\min(x, 1-x, y, 1-y) \le 0,25$. Это условие выполняется, если точка $M(x,y)$ удовлетворяет хотя бы одному из неравенств: $0 \le x \le 0,25$, или $0,75 \le x \le 1$, или $0 \le y \le 0,25$, или $0,75 \le y \le 1$. Эти области вместе образуют "рамку" вдоль границ квадрата. Эта рамка и есть область благоприятных исходов. Чтобы найти площадь этой рамки, удобнее вычесть из общей площади квадрата площадь неблагоприятной области. Неблагоприятный исход — это когда расстояние от точки $M$ до ближайшей стороны больше 0,25, то есть $\min(x, 1-x, y, 1-y) > 0,25$. Это эквивалентно системе неравенств: $x > 0,25$, $1-x > 0,25$ (т.е. $x < 0,75$), $y > 0,25$ и $1-y > 0,25$ (т.е. $y < 0,75$). Таким образом, неблагоприятная область — это внутренний квадрат, заданный условиями $0,25 < x < 0,75$ и $0,25 < y < 0,75$. Сторона этого внутреннего квадрата равна $0,75 - 0,25 = 0,5$. Площадь неблагоприятной области: $S_{небл} = 0,5^2 = 0,25$. Площадь благоприятной области (рамки) равна: $S_{бл} = S_{общ} - S_{небл} = 1 - 0,25 = 0,75$. Искомая вероятность равна площади благоприятной области: $P(a) = S_{бл} = 0,75$.

Ответ: 0,75

б) расстояние от точки М до ближайшей диагонали квадрата не превосходит 0,25?

Диагонали квадрата задаются уравнениями $y=x$ (или $x-y=0$) и $y=-x+1$ (или $x+y-1=0$). Расстояние от точки $M(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$. Расстояние от точки $M(x,y)$ до первой диагонали: $d_1 = \frac{|x-y|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$. Расстояние от точки $M(x,y)$ до второй диагонали: $d_2 = \frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$. Условие задачи: расстояние до ближайшей диагонали не превосходит 0,25. То есть, $\min(d_1, d_2) \le 0,25$. Благоприятная область представляет собой объединение двух полос, расположенных вдоль диагоналей квадрата. Найдём площадь этой области, вычитая из общей площади площадь неблагоприятной области. Неблагоприятный исход — это когда расстояние до ближайшей диагонали больше 0,25, то есть $\min(d_1, d_2) > 0,25$. Это эквивалентно выполнению обоих неравенств: $d_1 > 0,25$ и $d_2 > 0,25$, что можно записать как $|x-y| > 0,25\sqrt{2}$ и $|x+y-1| > 0,25\sqrt{2}$. Эта неблагоприятная область состоит из четырех одинаковых треугольников, расположенных у середин сторон исходного квадрата. Рассмотрим один из таких треугольников, например, у нижней стороны квадрата ($y=0$). Он ограничен прямыми, определяющими границу благоприятной области: $y=x-0,25\sqrt{2}$ и $y=-x+1-0,25\sqrt{2}$, а также стороной квадрата $y=0$. Основание этого треугольника лежит на оси $Ox$. Его концы — это точки пересечения указанных прямых с осью $y=0$: $x_1 = 0,25\sqrt{2}$ и $x_2 = 1-0,25\sqrt{2}$. Длина основания: $b = x_2 - x_1 = 1 - 2 \times 0,25\sqrt{2} = 1 - 0,5\sqrt{2}$. Высота треугольника — это y-координата точки пересечения прямых $y=x-0,25\sqrt{2}$ и $y=-x+1-0,25\sqrt{2}$, которая равна $h = 0,5 - 0,25\sqrt{2}$. Площадь одного такого треугольника: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} (1 - 0,5\sqrt{2})(0,5 - 0,25\sqrt{2}) = \frac{1}{2} (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \frac{1}{2}(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})^2$. $S_{\triangle} = \frac{1}{4}(1 - \sqrt{2} + \frac{2}{4}) = \frac{1}{4}(1,5 - \sqrt{2})$. Всего таких треугольников четыре, поэтому общая площадь неблагоприятной области: $S_{небл} = 4 \times S_{\triangle} = 4 \times \frac{1}{4}(1,5 - \sqrt{2}) = 1,5 - \sqrt{2}$. Площадь благоприятной области: $S_{бл} = S_{общ} - S_{небл} = 1 - (1,5 - \sqrt{2}) = 1 - 1,5 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 0,5$. Искомая вероятность: $P(б) = S_{бл} = \sqrt{2} - 0,5$.

Ответ: $\sqrt{2} - 0,5$