Страница 293 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Как изменится ответ на вопрос задачи, если:

а) Андрей не выучил 2 билета (пример 1);

б) в лотерее 20 выигрышных билетов и 230 билетов без выигрыша (пример 3)?

а)

Для ответа на вопрос необходимо знать исходные условия "примера 1". Предположим, что в исходной задаче было 25 экзаменационных билетов, из которых Андрей не выучил 1 билет. Вероятность $P$ того, что ему попадется выученный билет, в этом случае равна отношению числа выученных билетов к их общему числу:

$P_{старая} = \frac{25 - 1}{25} = \frac{24}{25} = 0,96$

В новом условии Андрей не выучил 2 билета. Общее число билетов остается тем же (25), а число выученных (благоприятных исходов) становится $25 - 2 = 23$. Новая вероятность будет равна:

$P_{новая} = \frac{23}{25} = 0,92$

Таким образом, вероятность того, что Андрею попадется выученный билет, уменьшилась ($0,92 < 0,96$).

Ответ: Если предположить, что в исходной задаче было 25 билетов и 1 невыученный, то вероятность вытащить выученный билет уменьшится с $\frac{24}{25}$ (0,96) до $\frac{23}{25}$ (0,92).

б)

Аналогично пункту а), предположим исходные условия "примера 3". В новом условии общее количество билетов в лотерее составляет $20 + 230 = 250$. Логично предположить, что в исходной задаче общее количество билетов было таким же, но количество выигрышных было другим, например, 10. Тогда вероятность выигрыша $P$ в исходной задаче была:

$P_{старая} = \frac{10}{250} = \frac{1}{25} = 0,04$

По новому условию, в лотерее 20 выигрышных билетов из 250. Новая вероятность выигрыша составляет:

$P_{новая} = \frac{20}{250} = \frac{2}{25} = 0,08$

Следовательно, вероятность выигрыша в лотерее увеличилась в два раза, так как $0,08 / 0,04 = 2$.

Ответ: Если предположить, что в исходной лотерее было 10 выигрышных билетов из 250, то вероятность выигрыша увеличится с 0,04 до 0,08, то есть в 2 раза.

Бросают правильный игральный кубик. Какие из указанных случайных событий элементарные события? Назовите исходы, благоприятные для события, и определите его вероятность:

а) выпадет 3 очка;

б) выпадет не менее 5 очков;

в) выпадет простое число очков;

г) выпадет меньше 7 очков;

д) выпадет больше 6 очков.

При броске правильного игрального кубика существует 6 равновозможных исходов (элементарных событий): выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Общее число всех исходов $n=6$.

Элементарное событие — это событие, которому благоприятствует только один исход из всех возможных. Из указанных событий только событие а) является элементарным, поскольку оно описывает один-единственный исход. Остальные события (б, в, г, д) являются составными, так как им соответствует несколько исходов (или ни одного).

Вероятность случайного события $P$ вычисляется по классической формуле: $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число всех равновозможных исходов.

а) выпадет 3 очка

Это событие является элементарным.
Ему благоприятствует только один исход: {3}.
Число благоприятных исходов $m = 1$.
Вероятность события: $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{6}$.
Ответ: это элементарное событие; благоприятный исход: {3}; вероятность $\frac{1}{6}$.

б) выпадет не менее 5 очков

Это событие означает, что выпадет 5 или 6 очков. Событие не является элементарным.
Благоприятные исходы: {5, 6}.
Число благоприятных исходов $m = 2$.
Вероятность события: $P = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: не элементарное событие; благоприятные исходы: {5, 6}; вероятность $\frac{1}{3}$.

в) выпадет простое число очков

Простые числа на гранях игрального кубика — это 2, 3 и 5. (Число 1 не является простым). Событие не является элементарным.
Благоприятные исходы: {2, 3, 5}.
Число благоприятных исходов $m = 3$.
Вероятность события: $P = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: не элементарное событие; благоприятные исходы: {2, 3, 5}; вероятность $\frac{1}{2}$.

г) выпадет меньше 7 очков

Любое число очков, которое может выпасть на кубике, меньше 7. Это событие является достоверным (происходит всегда). Событие не является элементарным.
Благоприятные исходы: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Число благоприятных исходов $m = 6$.
Вероятность события: $P = \frac{m}{n} = \frac{6}{6} = 1$.
Ответ: не элементарное событие; благоприятные исходы: {1, 2, 3, 4, 5, 6}; вероятность 1.

д) выпадет больше 6 очков

На стандартном игральном кубике не может выпасть число очков больше 6. Это событие является невозможным. Событие не является элементарным.
Благоприятных исходов нет (пустое множество).
Число благоприятных исходов $m = 0$.
Вероятность события: $P = \frac{m}{n} = \frac{0}{6} = 0$.
Ответ: не элементарное событие; благоприятных исходов нет; вероятность 0.

Равновероятны ли события $A$ и $B$:

a) $A$: вытянуть билет № 1; $B$: вытянуть билет № 13 (пример 1);

б) $A$: выпадет чётное число очков; $B$: выпадет нечётное число очков (пример 2);

в) $A$: купить выигрышный билет; $B$: купить билет без выигрыша (пример 3)?

а) A: вытянуть билет № 1; B: вытянуть билет № 13 (пример 1);

В данном эксперименте предполагается, что билеты тянутся случайным образом из общего набора. При таком условии каждый конкретный билет имеет одинаковую вероятность быть вытянутым. Пусть общее количество билетов равно $N$, где $N \geq 13$.

Вероятность вытянуть билет № 1 (событие $A$) равна $P(A) = \frac{1}{N}$.

Вероятность вытянуть билет № 13 (событие $B$) также равна $P(B) = \frac{1}{N}$.

Поскольку $P(A) = P(B)$, события $A$ и $B$ являются равновероятными.

Ответ: да, события равновероятны.

б) A: выпадет чётное число очков; B: выпадет нечётное число очков (пример 2);

Этот пример, как правило, относится к броску стандартной шестигранной игральной кости. Возможные исходы при броске кости: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Всего 6 равновероятных исходов.

Событию $A$ (выпадение чётного числа) благоприятствуют 3 исхода: {2, 4, 6}.
Вероятность события $A$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Событию $B$ (выпадение нечётного числа) также благоприятствуют 3 исхода: {1, 3, 5}.
Вероятность события $B$ также равна $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Так как $P(A) = P(B)$, события являются равновероятными.

Ответ: да, события равновероятны.

в) A: купить выигрышный билет; B: купить билет без выигрыша (пример 3)?

Чтобы события $A$ и $B$ были равновероятными, их вероятности должны быть равны. Пусть $W$ – это количество выигрышных билетов, а $L$ – количество билетов без выигрыша. Общее число билетов $N = W + L$.

Вероятность купить выигрышный билет (событие $A$) равна $P(A) = \frac{W}{W+L}$.

Вероятность купить билет без выигрыша (событие $B$) равна $P(B) = \frac{L}{W+L}$.

События $A$ и $B$ будут равновероятны только при условии $P(A) = P(B)$, что означает $W = L$. То есть, количество выигрышных и проигрышных билетов должно быть одинаковым.

Однако в большинстве реальных лотерей и розыгрышей количество выигрышных билетов значительно меньше, чем количество билетов без выигрыша ($W < L$). В таком, более типичном случае, $P(A) < P(B)$.

Таким образом, в общем случае эти события не являются равновероятными.

Ответ: нет, в общем случае события не являются равновероятными.

Для каждого события $A$ из таблицы назовите противоположное ему событие $B$. Найдите $P(B)$. Чему равна сумма вероятностей событий $A$ и $B$?

Поскольку в вопросе не предоставлена таблица с событиями, решение будет показано на нескольких примерах, которые иллюстрируют общий принцип.

Основное правило: Для любого события $A$ противоположным ему событием $B$ (также обозначается как $\overline{A}$) является событие, которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает $A$. Вероятности этих событий связаны формулой:

$P(B) = 1 - P(A)$

Соответственно, сумма их вероятностей всегда равна единице:

$P(A) + P(B) = 1$

Пример 1. Событие A: «При броске игральной кости выпало число, кратное 3».

При броске кости возможны 6 исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6). Исходы, благоприятствующие событию A, — это 3 и 6 (всего 2 исхода). Вероятность события A: $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

1. Противоположное ему событие B:
Событие B заключается в том, что при броске кости выпало число, не кратное 3. То есть, выпало одно из чисел: 1, 2, 4, 5.

2. Найдите P(B):
Вероятность события B можно найти по формуле $P(B) = 1 - P(A)$.
$P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Можно также посчитать напрямую: число благоприятных исходов для B равно 4 (1, 2, 4, 5), а общее число исходов 6. Таким образом, $P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

3. Чему равна сумма вероятностей событий A и B?
Сумма вероятностей равна: $P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$.

Ответ: противоположное событие B — «выпало число, не кратное 3»; $P(B) = \frac{2}{3}$; сумма вероятностей $P(A) + P(B) = 1$.

Пример 2. Событие A: «Из полной колоды в 52 карты наугад вытягивается туз».

В колоде 52 карты, из них 4 туза. Вероятность события A: $P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.

1. Противоположное ему событие B:
Событие B заключается в том, что из колоды вытянули не туза (любую другую карту).

2. Найдите P(B):
Используем формулу $P(B) = 1 - P(A)$.
$P(B) = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$.
Прямой подсчет: карт, не являющихся тузами, в колоде $52 - 4 = 48$. $P(B) = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}$.

3. Чему равна сумма вероятностей событий A и B?
Сумма вероятностей равна: $P(A) + P(B) = \frac{1}{13} + \frac{12}{13} = 1$.

Ответ: противоположное событие B — «вытянули не туза»; $P(B) = \frac{12}{13}$; сумма вероятностей $P(A) + P(B) = 1$.

Пример 3. Событие A: «Вероятность того, что лампочка окажется бракованной, равна 0,05».

Вероятность события A (лампочка бракованная) дана в условии: $P(A) = 0,05$.

1. Противоположное ему событие B:
Событие B заключается в том, что лампочка не является бракованной, то есть она исправна.

2. Найдите P(B):
Используем формулу $P(B) = 1 - P(A)$.
$P(B) = 1 - 0,05 = 0,95$.

3. Чему равна сумма вероятностей событий A и B?
Сумма вероятностей равна: $P(A) + P(B) = 0,05 + 0,95 = 1$.

Ответ: противоположное событие B — «лампочка исправна»; $P(B) = 0,95$; сумма вероятностей $P(A) + P(B) = 1$.

Общий вывод: Для любого события $A$ и противоположного ему события $B$ сумма их вероятностей всегда равна 1. Это фундаментальное свойство теории вероятностей.

871 Могут ли быть неравновозможными события $A$ и $B$:

а) $A$: попасть при выстреле по мишени;

$B$: промахнуться при выстреле по мишени;

б) $A$: 1 июня будет солнце;

$B$: 1 июня будет дождь;

в) $A$: посаженный цветок приживётся;

$B$: посаженный цветок погибнет;

г) $A$: футбольная команда выиграет;

$B$: футбольная команда проиграет?

а) События A (попасть при выстреле по мишени) и B (промахнуться при выстреле по мишени) могут быть неравновозможными. Вероятность этих событий зависит от мастерства стрелка. У опытного стрелка вероятность попадания будет значительно выше вероятности промаха, в то время как у новичка — наоборот. Равновероятными эти события были бы только в том случае, если бы мастерство стрелка было таково, что он попадает ровно в половине случаев, что является частной ситуацией. В общем случае $P(A) \neq P(B)$.

Ответ: да, могут.

б) События A (1 июня будет солнце) и B (1 июня будет дождь) могут быть неравновозможными. Во-первых, эти события не охватывают всех возможных погодных условий (например, может быть облачно без дождя). Во-вторых, вероятность солнца или дождя сильно зависит от географического положения и климата. В пустыне вероятность солнца будет близка к 1, а вероятность дождя — к 0. В регионе с муссонным климатом ситуация может быть обратной. Следовательно, вероятности этих событий почти всегда будут различны.

Ответ: да, могут.

в) События A (посаженный цветок приживётся) и B (посаженный цветок погибнет) могут быть неравновозможными. Эти события являются противоположными. Их вероятность зависит от множества факторов: вида растения, качества почвы, правильности ухода, погодных условий. При хорошем уходе и благоприятных условиях вероятность того, что цветок приживется, гораздо выше, чем вероятность его гибели ($P(A) > P(B)$). В плохих условиях соотношение может быть обратным. Равенство вероятностей здесь не является обязательным.

Ответ: да, могут.

г) События A (футбольная команда выиграет) и B (футбольная команда проиграет) могут быть неравновозможными. Во-первых, исходом футбольного матча может быть также ничья, поэтому события A и B не являются единственно возможными. Во-вторых, вероятность победы или поражения зависит от силы команд. Если играет явный фаворит против аутсайдера, то вероятность победы фаворита $P(A)$ будет намного выше вероятности его поражения $P(B)$. Вероятности этих двух исходов почти никогда не бывают равны.

Ответ: да, могут.

872 ДЕЙСТВУЕМ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ Для каждого из следующих экспериментов найдите число всех возможных исходов, число благоприятных исходов и вычислите вероятность.

а) На столе 12 кусков пирога. В трёх «счастливых» из них запечены призы. Какова вероятность взять «счастливый» кусок пирога?

б) В урне 15 белых и 25 чёрных шаров. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

в) Для лотереи отпечатали 500 билетов, из них 25 выигрышных. Какова вероятность вытянуть билет без выигрыша?

а) В данном эксперименте случайным событием является выбор одного куска пирога из 12.
Число всех возможных исходов ($N$) равно общему количеству кусков пирога: $N=12$.
Благоприятным исходом является выбор «счастливого» куска пирога. По условию, таких кусков 3. Следовательно, число благоприятных исходов ($M$) равно 3: $M=3$.
Вероятность ($P$) взять «счастливый» кусок пирога вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:
$P = \frac{M}{N} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$
Ответ: число всех возможных исходов — 12, число благоприятных исходов — 3, вероятность — 0.25.

б) Эксперимент состоит в случайном выборе одного шара из урны.
Число всех возможных исходов ($N$) равно общему количеству шаров в урне. В урне 15 белых и 25 чёрных шаров, значит всего:
$N = 15 + 25 = 40$ шаров.
Благоприятным исходом является выбор белого шара. Количество белых шаров равно 15, следовательно, число благоприятных исходов ($M$) равно 15: $M=15$.
Вероятность ($P$) того, что вынутый шар окажется белым, равна:
$P = \frac{M}{N} = \frac{15}{40} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{3}{8} = 0.375$
Ответ: число всех возможных исходов — 40, число благоприятных исходов — 15, вероятность — 0.375.

в) Эксперимент состоит в вытягивании одного лотерейного билета.
Число всех возможных исходов ($N$) равно общему количеству билетов: $N=500$.
Нас интересует вероятность вытянуть билет без выигрыша. Это и есть наш благоприятный исход. Сначала найдем количество билетов без выигрыша. Если всего 500 билетов и 25 из них выигрышные, то билетов без выигрыша будет:
$500 - 25 = 475$.
Таким образом, число благоприятных исходов ($M$) равно 475: $M=475$.
Вероятность ($P$) вытянуть билет без выигрыша равна:
$P = \frac{M}{N} = \frac{475}{500} = \frac{19 \cdot 25}{20 \cdot 25} = \frac{19}{20} = 0.95$
Ответ: число всех возможных исходов — 500, число благоприятных исходов — 475, вероятность — 0.95.