Страница 286 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

По таблице из примера 1 найдите среднее число заболеваний отдельно для девочек и для мальчиков.

Для решения задачи необходимо найти среднее арифметическое числа заболеваний для каждой группы (девочки и мальчики) отдельно. Среднее арифметическое — это сумма всех значений, деленная на их количество.

Поскольку таблица из примера 1 не предоставлена, в качестве примера используем следующие гипотетические данные о количестве заболеваний за год:

• Данные для девочек (4 ученицы): 2, 5, 1, 4.
• Данные для мальчиков (5 учеников): 3, 0, 6, 2, 4.

Среднее число заболеваний для девочек

Чтобы найти среднее число заболеваний для девочек, нужно сложить все значения числа заболеваний у девочек и разделить на количество девочек.

Выборка данных для девочек: 2, 5, 1, 4.

Количество девочек в группе: $n_д = 4$.

Сумма заболеваний: $S_д = 2 + 5 + 1 + 4 = 12$.

Среднее число заболеваний рассчитывается по формуле:

$\bar{x}_д = \frac{S_д}{n_д} = \frac{12}{4} = 3$.

Ответ: среднее число заболеваний для девочек равно 3.

Среднее число заболеваний для мальчиков

Аналогично рассчитаем среднее число заболеваний для мальчиков.

Выборка данных для мальчиков: 3, 0, 6, 2, 4.

Количество мальчиков в группе: $n_м = 5$.

Сумма заболеваний: $S_м = 3 + 0 + 6 + 2 + 4 = 15$.

Среднее число заболеваний рассчитывается по формуле:

$\bar{x}_м = \frac{S_м}{n_м} = \frac{15}{5} = 3$.

Ответ: среднее число заболеваний для мальчиков равно 3.

Используя таблицу из примера 1, найдите медиану ряда чисел.

Для решения задачи необходима "таблица из примера 1", которая не предоставлена в вопросе. Ниже приведён общий алгоритм нахождения медианы для ряда, заданного частотной таблицей, и его применение на гипотетическом примере.

Алгоритм нахождения медианы

Шаг 1. Найти общее количество элементов ряда ($N$).

Сложите все частоты, указанные в таблице. Сумма частот и будет общим количеством элементов $N$.

Шаг 2. Определить позицию медианы в упорядоченном ряду.

Если общее количество элементов $N$ — нечётное, то медиана — это элемент, стоящий на позиции с номером $(N + 1) / 2$.

Если общее количество элементов $N$ — чётное, то медиана равна среднему арифметическому двух элементов, стоящих на позициях с номерами $N / 2$ и $N / 2 + 1$.

Шаг 3. Найти значение медианы.

Используя частоты (или накопленные частоты), определите, какое значение находится на вычисленной на шаге 2 позиции (или позициях).

Пример решения на основе гипотетической таблицы

Предположим, что "таблица из примера 1" содержит следующие данные (значение и его частота):

- Значение 5, частота 3
- Значение 8, частота 6
- Значение 10, частота 4
- Значение 12, частота 2

Решение:

1. Найдём общее количество элементов ряда ($N$).

Сложим все частоты:
$N = 3 + 6 + 4 + 2 = 15$

2. Определим позицию медианы.

Общее количество элементов $N = 15$ — нечётное число. Следовательно, медиана — это один элемент, который находится на позиции:
Позиция медианы = $(N + 1) / 2 = (15 + 1) / 2 = 16 / 2 = 8$
Это значит, что медианой является 8-й по счёту элемент в упорядоченном по возрастанию ряду.

3. Найдём значение 8-го элемента.

Проанализируем ряд, используя накопленные частоты, чтобы определить, какое число стоит на 8-й позиции:
- Первые 3 элемента ряда — это число 5. (Они занимают позиции с 1-й по 3-ю).
- Следующие 6 элементов — это число 8. Накопленная частота на этом шаге равна $3 + 6 = 9$. Это значит, что число 8 занимает позиции с 4-й ($3+1$) по 9-ю.
Поскольку мы ищем 8-й элемент, он попадает в эту группу. Значение 8-го элемента равно 8.
Таким образом, медиана данного ряда чисел равна 8.

Ответ: 8.

Чтобы решить вашу задачу, примените этот алгоритм к данным из вашей "таблицы из примера 1".

Нанесите данные из примера 2 на координатную прямую. Покажите медиану ряда. Вычислите и отметьте на координатной прямой среднее арифметическое ряда.

Поскольку данные из "примера 2" не предоставлены, для решения задачи воспользуемся следующим набором чисел: {2, 3, 3, 5, 7, 10}.

Нанесение данных на координатную прямую и показ медианы ряда

Для начала, расположим числа из набора в порядке возрастания. Наш набор уже отсортирован: 2, 3, 3, 5, 7, 10.

Нанесем эти точки на координатную прямую. Так как число 3 встречается дважды, мы отметим его двумя точками.

Далее, найдем и покажем медиану ряда. Медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного набора данных. В нашем ряду 6 чисел (четное количество). Чтобы найти медиану, нужно взять два числа, стоящие посередине, сложить их и разделить на 2.

Средние числа в ряду 2, 3, 3, 5, 7, 10 — это 3 и 5.

Вычисляем медиану ($M_e$):

$M_e = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ответ: Медиана ряда равна 4.

Вычисление и отметка на координатной прямой среднего арифметического ряда

Теперь вычислим среднее арифметическое ряда. Это сумма всех чисел в наборе, деленная на их количество.

Сумма чисел: $2 + 3 + 3 + 5 + 7 + 10 = 30$.

Количество чисел в ряду: 6.

Вычисляем среднее арифметическое ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 3 + 5 + 7 + 10}{6} = \frac{30}{6} = 5$

Среднее арифметическое ряда равно 5. Отметим его и медиану на общей координатной прямой.

Ответ: Среднее арифметическое ряда равно 5.

Ниже представлена координатная прямая с нанесенными данными из ряда, а также с отмеченными медианой и средним арифметическим.

857 АНАЛИЗИРУЕМ В таблице приведены расходы студента за шесть учебных дней недели.

Определите, какая статистическая характеристика находится в каждом случае:

а) $38 + 40 + 35 + 40 + 27 + 24 = 204,$
$204 : 6 = 34, \Box = 34 \text{ р.;}$

б) $24, 27, 35, 38, 40, 40,$
$(35 + 38) : 2 = 36,5, \Box = 36,5 \text{ р.;}$

в) $38, 40, 35, 40, 27, 24, \Box = 40 \text{ р.;}$

г) $40 - 24 = 16, \Box = 16 \text{ р.}$

В этой задаче требуется определить, какая статистическая характеристика вычисляется в каждом из четырех случаев на основе данных о расходах студента за шесть дней: 38, 40, 35, 40, 27, 24.

а) В данном случае вычисляется сумма всех расходов за шесть дней, а затем результат делится на количество дней (6). Формула расчета: $ (38 + 40 + 35 + 40 + 27 + 24) \div 6 = 204 \div 6 = 34 $. Это определение среднего арифметического, которое показывает средний расход студента в день за этот период.
Ответ: среднее арифметическое.

б) Здесь ряд данных сначала упорядочивается по возрастанию: 24, 27, 35, 38, 40, 40. Так как количество элементов в ряду четное (6), для нахождения центрального значения берутся два средних элемента (35 и 38) и вычисляется их среднее арифметическое: $ (35 + 38) \div 2 = 36.5 $. Это является определением медианы для ряда с четным количеством членов. Медиана делит упорядоченный ряд данных на две равные части.
Ответ: медиана.

в) В исходном ряду данных (38, 40, 35, 40, 27, 24) значение 40 встречается дважды, чаще любого другого значения. Статистическая характеристика, которая представляет собой наиболее часто встречающееся значение в ряду данных, называется модой.
Ответ: мода.

г) В этом вычислении находится разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду данных. Наибольший расход составляет 40 р., а наименьший — 24 р. Их разность: $ 40 - 24 = 16 $. Эта величина называется размахом ряда и показывает, насколько велик разброс значений в данных.
Ответ: размах.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (858–859)

858 Найдите медиану следующего ряда чисел:

а) 12; 16; 19; 25; 30; 32; 33; 38; 40;

б) 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33;

в) 12; 8; 7; 14; 25; 6; 19; 18;

г) 2,5; 1,3; 1,5; 0,9; 1,7; 2,1.

Медиана ряда чисел — это число, которое находится в середине этого набора, если его упорядочить по возрастанию. Если в ряду нечетное количество чисел, то медиана — это число, стоящее ровно посередине. Если количество чисел четное, то медиана — это среднее арифметическое двух чисел, стоящих в середине.

а) Исходный ряд чисел: 12; 16; 19; 25; 30; 32; 33; 38; 40.

Ряд уже упорядочен по возрастанию. В нем 9 элементов (нечетное число). Медианой будет число, стоящее в середине ряда, то есть 5-е по счету. Это число 30.

Ответ: 30.

б) Исходный ряд чисел: 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33.

Ряд уже упорядочен по возрастанию. В нем 10 элементов (четное число). Медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных чисел (5-го и 6-го). Эти числа — 23 и 25. Найдем их среднее арифметическое: $\frac{23 + 25}{2} = \frac{48}{2} = 24$.

Ответ: 24.

в) Исходный ряд чисел: 12; 8; 7; 14; 25; 6; 19; 18.

Сначала упорядочим ряд по возрастанию: 6; 7; 8; 12; 14; 18; 19; 25.

В ряду 8 элементов (четное число). Медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных чисел (4-го и 5-го). Эти числа — 12 и 14. Найдем их среднее арифметическое: $\frac{12 + 14}{2} = \frac{26}{2} = 13$.

Ответ: 13.

г) Исходный ряд чисел: 2,5; 1,3; 1,5; 0,9; 1,7; 2,1.

Сначала упорядочим ряд по возрастанию: 0,9; 1,3; 1,5; 1,7; 2,1; 2,5.

В ряду 6 элементов (четное число). Медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных чисел (3-го и 4-го). Эти числа — 1,5 и 1,7. Найдем их среднее арифметическое: $\frac{1,5 + 1,7}{2} = \frac{3,2}{2} = 1,6$.

Ответ: 1,6.

859 В таблице представлены данные о производстве электроэнергии в России в 2000—2008 гг. (в миллиардах киловатт-часов).

Найдите среднее арифметическое и медиану представленного ряда чисел.

Для решения задачи нам нужно найти среднее арифметическое и медиану для ряда чисел, представляющих производство электроэнергии в России с 2000 по 2008 год.

Исходный ряд чисел (в млрд кВт⋅ч): 877,8; 891,3; 891,3; 916,3; 931,9; 953,1; 995,8; 1015,3; 1040,4.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое — это сумма всех чисел в ряду, деленная на их количество.

1. Сначала найдем сумму всех чисел в данном ряду. Всего в ряду 9 чисел.

$877,8 + 891,3 + 891,3 + 916,3 + 931,9 + 953,1 + 995,8 + 1015,3 + 1040,4 = 8513,2$

2. Теперь разделим полученную сумму на количество чисел (на 9), чтобы найти среднее арифметическое:

$\frac{8513,2}{9} \approx 945,911...$

Округлим результат до десятых, так как исходные данные представлены с точностью до десятых.

Среднее арифметическое $\approx 945,9$.

Ответ: среднее арифметическое представленного ряда чисел примерно равно 945,9 млрд кВт⋅ч.

Медиана

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда чисел.

1. Упорядочим ряд чисел по возрастанию. В данном случае ряд уже представлен в упорядоченном виде:

877,8; 891,3; 891,3; 916,3; 931,9; 953,1; 995,8; 1015,3; 1040,4.

2. Найдем центральный элемент ряда. Поскольку в ряду 9 чисел (нечетное количество), медианой будет число, стоящее ровно посередине. Номер этого элемента можно найти по формуле $(n+1)/2$, где $n$ — количество элементов в ряду.

Номер медианного элемента: $\frac{9+1}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

3. Пятым по счету в упорядоченном ряду является число 931,9.

Ответ: медиана представленного ряда чисел равна 931,9 млрд кВт⋅ч.