Страница 281 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

10 Какие из данных линейных функций являются возрастающими функциями? Выпишите соответствующие номера.

1) $y = -4x + 2$

2) $y = 4x$

3) $y = 2x - 7$

4) $y = -7x$

Для определения того, является ли линейная функция возрастающей, необходимо проанализировать знак ее углового коэффициента $k$ в общем уравнении $y = kx + b$.

• Если угловой коэффициент $k > 0$, то функция является возрастающей.
• Если угловой коэффициент $k < 0$, то функция является убывающей.

Рассмотрим каждую из данных функций:

1) $y = -4x + 2$

В данном уравнении угловой коэффициент $k = -4$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

2) $y = 4x$

В данном уравнении угловой коэффициент $k = 4$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

3) $y = 2x - 7$

В данном уравнении угловой коэффициент $k = 2$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

4) $y = -7x$

В данном уравнении угловой коэффициент $k = -7$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

Следовательно, возрастающими являются функции, у которых угловой коэффициент положителен. Это функции под номерами 2 и 3.

Ответ: 23

11 Оля, Ира, Зоя и Аня соревновались в плавании на дистанции 50 м в 25-метровом бассейне. Графики их заплывов показаны на рисунке. По горизонтальной оси отложено время, по вертикальной – расстояние спортсменки от старта. Укажите график заплыва для каждой девочки, если Оля плыла быстрее всех, Ира плыла дольше всех, Зоя первые 25 м плыла быстрее, чем Аня.

1

График с осями $s, M$ (вертикальная) и $t, c$ (горизонтальная), изображающий треугольный путь. По оси $s$ отметки 0, 10, 20, 30. По оси $t$ отметки 0, 10, 40, 70. График начинается в (0,0), достигает максимума $s=25$ примерно при $t=30$, и возвращается к $s=0$ примерно при $t=60$.

2

График с осями $s, M$ (вертикальная) и $t, c$ (горизонтальная), изображающий треугольный путь. По оси $s$ отметки 0, 10, 20, 30. По оси $t$ отметки 0, 10, 40, 70. График начинается в (0,0), достигает максимума $s=25$ примерно при $t=20$, и возвращается к $s=0$ примерно при $t=70$.

3

График с осями $s, M$ (вертикальная) и $t, c$ (горизонтальная), изображающий треугольный путь. По оси $s$ отметки 0, 10, 20, 30. По оси $t$ отметки 0, 10, 40, 70. График начинается в (0,0), достигает максимума $s=25$ примерно при $t=40$, и возвращается к $s=0$ примерно при $t=75$.

4

График с осями $s, M$ (вертикальная) и $t, c$ (горизонтальная), изображающий треугольный путь. По оси $s$ отметки 0, 10, 20, 30. По оси $t$ отметки 0, 10, 40, 70. График начинается в (0,0), достигает максимума $s=25$ примерно при $t=25$, и возвращается к $s=0$ примерно при $t=65$.

Для решения задачи необходимо проанализировать представленные графики и сопоставить их с условиями, описывающими заплывы каждой девочки. На графиках показана зависимость расстояния от старта `s` (в метрах) от времени `t` (в секундах). Длина бассейна — 25 м, а общая дистанция — 50 м. Это означает, что каждая спортсменка плывет 25 м до конца бассейна (график идет вверх до `s=25`), а затем 25 м обратно (график идет вниз до `s=0`).

Оля

Согласно условию, Оля плыла быстрее всех. Это значит, что ее общее время на дистанции 50 м было наименьшим. Найдем общее время для каждого графика, посмотрев на точку, где он пересекает ось времени `t` в конце заплыва:

• График ①: 60 с
• График ②: 70 с
• График ③: 80 с
• График ④: 70 с

Наименьшее время — 60 секунд, что соответствует графику ①.

Ответ: График ①.

Ира

Согласно условию, Ира плыла дольше всех. Это значит, что ее общее время на дистанции было наибольшим. Из времен, определенных выше (60 с, 70 с, 80 с, 70 с), наибольшее — 80 секунд. Это время соответствует графику ③.

Ответ: График ③.

Зоя

Согласно условию, Зоя первые 25 м плыла быстрее, чем Аня. Для Зои и Ани остались графики ② и ④. "Плыть быстрее" означает затратить меньше времени. Найдем время, за которое были пройдены первые 25 м, по координате `t` вершины (пика) каждого из оставшихся графиков:

• График ②: время на первые 25 м — 40 с.
• График ④: время на первые 25 м — 30 с.

Зоя была быстрее Ани, значит, ее время на первом отрезке должно быть меньше. Сравнивая времена, видим, что $30 \text{ с} < 40 \text{ с}$. Следовательно, график Зои — это график ④.

Ответ: График ④.

Аня

Ане соответствует последний оставшийся график — ②. Проверим это по условию: Аня плыла первые 25 м медленнее Зои. Время Ани на первой половине дистанции (график ②) составляет 40 с, что действительно больше времени Зои (30 с, график ④). Условие выполняется.

Ответ: График ②.

12 На каком из рисунков показан график движения автобуса, который шёл с постоянной скоростью?

① На графике ось ординат обозначена $s$, км с отметками 0, 60, 120. Ось абсцисс обозначена $t$, ч с отметками 0, 1, 2, 3, 4, 5. График представляет собой горизонтальную линию на уровне 60 км.

② На графике ось ординат обозначена $s$, км с отметками 0, 60, 120. Ось абсцисс обозначена $t$, ч с отметками 0, 1, 2, 3. График представляет собой прямую линию, идущую из начала координат.

③ На графике ось ординат обозначена $s$, км с отметками 0, 60, 120. Ось абсцисс обозначена $t$, ч с отметками 0, 1, 2, 3. График представляет собой изогнутую линию, идущую из начала координат.

Для решения задачи необходимо определить, какой из графиков зависимости расстояния $s$ от времени $t$ соответствует движению с постоянной скоростью.

Движение с постоянной скоростью $v$ описывается математической формулой $s = v \cdot t$, где $s$ — пройденное расстояние, а $t$ — время. Графиком этой линейной функции является прямая линия, проходящая через начало координат. Тангенс угла наклона этой прямой к оси времени численно равен скорости движения. Если скорость постоянна, то и угол наклона графика должен быть постоянным.

Проанализируем каждый из представленных графиков:

① На этом графике мы видим горизонтальную прямую, расположенную на уровне $s = 60$ км. Это означает, что с течением времени расстояние не изменяется. Объект, чье движение описывается таким графиком, находится в состоянии покоя. Его скорость равна нулю ($v=0$). Поскольку в условии сказано, что автобус "шёл", то есть двигался, этот вариант не подходит.

② На этом графике изображена прямая линия, выходящая из начала координат. Это означает, что пройденное расстояние прямо пропорционально времени. За равные промежутки времени автобус проходит равные расстояния, что является признаком движения с постоянной скоростью. Угол наклона этой прямой постоянен. Скорость можно рассчитать по данным графика: $v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{120 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 60$ км/ч. Этот график полностью соответствует движению с постоянной скоростью.

③ На этом графике изображена кривая линия. В случае криволинейного графика на диаграмме "расстояние-время" скорость не является постоянной. Мгновенная скорость в любой точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к кривой в этой точке. Мы видим, что наклон кривой уменьшается с течением времени (линия становится более пологой). Это указывает на то, что скорость автобуса уменьшалась, то есть автобус двигался с замедлением.

Исходя из анализа, только график под номером 2 показывает движение автобуса с постоянной скоростью.

Ответ: 2

13 Графиком какой функции является гипербола?

1) $y = -\frac{x}{2,5}$

2) $y = -\frac{2,5}{x}$

3) $y = -2,5x$

4) $y = \frac{1-2,5x}{2}$

Для определения функции, графиком которой является гипербола, необходимо знать её общее уравнение. Гипербола является графиком функции обратной пропорциональности, которая задается формулой $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — это числовой коэффициент, не равный нулю, а переменная $x$ находится в знаменателе. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $y = -\frac{x}{2,5}$

Данную функцию можно представить в виде $y = (-\frac{1}{2,5}) \cdot x$. Это уравнение вида $y=ax$, которое является частным случаем линейной функции $y=ax+b$ (при $b=0$). Графиком такой функции является прямая линия, проходящая через начало координат. Таким образом, это не гипербола.

2) $y = -\frac{2,5}{x}$

Это уравнение полностью соответствует общему виду функции обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = -2,5$. Следовательно, графиком этой функции является гипербола. Ветви этой гиперболы будут расположены во II и IV координатных четвертях, так как коэффициент $k$ отрицателен.

3) $y = -2,5x$

Это линейная функция вида $y=ax$, где $a = -2,5$. Ее график — это прямая линия, которая проходит через начало координат. Это не гипербола.

4) $y = \frac{1 - 2,5x}{2}$

Преобразуем данное уравнение, разделив числитель на знаменатель почленно: $y = \frac{1}{2} - \frac{2,5x}{2}$, что можно записать как $y = -1,25x + 0,5$. Это линейная функция вида $y=ax+b$, где $a = -1,25$ и $b = 0,5$. Ее график — прямая линия.

Таким образом, единственная функция из предложенных, графиком которой является гипербола, — это функция под номером 2.

Ответ: 2

14 В каких координатных четвертях расположен график функции $y = -\frac{10}{x}$?

1) В I и II

2) В I и III

3) Во II и IV

4) В III и IV

Данная функция $y = -\frac{10}{x}$ является функцией обратной пропорциональности. Общий вид такой функции — $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — ненулевой коэффициент. Графиком функции обратной пропорциональности является гипербола.

Расположение ветвей гиперболы на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$:

1. Если коэффициент $k > 0$, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. В этих четвертях знаки координат $x$ и $y$ совпадают (в I: $x > 0, y > 0$; в III: $x < 0, y < 0$).

2. Если коэффициент $k < 0$, то ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. В этих четвертях знаки координат $x$ и $y$ противоположны (во II: $x < 0, y > 0$; в IV: $x > 0, y < 0$).

В заданной функции $y = -\frac{10}{x}$ коэффициент $k = -10$.

Поскольку $k = -10 < 0$, график функции расположен во II и IV координатных четвертях.

Проверим это рассуждение, проанализировав знаки переменных:
- Если взять любое положительное значение $x$ (например, $x=1$), то $y = -\frac{10}{1} = -10$. Точка $(1; -10)$ с положительной абсциссой и отрицательной ординатой находится в IV четверти.
- Если взять любое отрицательное значение $x$ (например, $x=-1$), то $y = -\frac{10}{-1} = 10$. Точка $(-1; 10)$ с отрицательной абсциссой и положительной ординатой находится во II четверти.

Следовательно, график функции расположен во II и IV четвертях, что соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) во II и IV

15 Какая из данных прямых имеет с гиперболой $y = -\frac{10}{x}$ единственную общую точку, расположенную в IV координатной четверти?

1) $y = -100x$

2) $y = 0,1x$

3) $y = 100$

4) $x = 0,1$

Для решения задачи необходимо найти, какая из предложенных прямых имеет ровно одну общую точку с гиперболой $y = -\frac{10}{x}$, и при этом данная точка пересечения должна лежать в IV координатной четверти. Координаты точки в IV четверти удовлетворяют условиям $x > 0$ и $y < 0$.

Ветви заданной гиперболы $y = -\frac{10}{x}$ находятся во II и IV координатных четвертях. Мы ищем точку пересечения на ветви, расположенной в IV четверти.

Проверим каждую из предложенных прямых.

Для нахождения точек пересечения решим систему уравнений, подставив выражение для $y$ из уравнения прямой в уравнение гиперболы:

$-100x = -\frac{10}{x}$

Умножим обе части на $x$ (поскольку $x \neq 0$ на гиперболе):

$-100x^2 = -10$

$x^2 = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$

Данное уравнение имеет два решения: $x = \sqrt{\frac{1}{10}}$ и $x = -\sqrt{\frac{1}{10}}$. Это означает, что прямая пересекает гиперболу в двух точках, что не соответствует условию о единственной общей точке.

Ответ: не подходит.

Аналогично, решаем систему уравнений:

$0,1x = -\frac{10}{x}$

$0,1x^2 = -10$

$x^2 = -\frac{10}{0,1} = -100$

Уравнение $x^2 = -100$ не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, эта прямая и гипербола не имеют общих точек.

Ответ: не подходит.

Решаем систему уравнений:

$100 = -\frac{10}{x}$

Отсюда находим $x$: $x = -\frac{10}{100} = -0,1$.

Прямая и гипербола имеют одну общую точку с координатами $(-0,1; 100)$. Проверим, в какой четверти она находится. Так как $x < 0$ и $y > 0$, точка лежит во II координатной четверти, а не в IV.

Ответ: не подходит.

Подставим значение $x$ в уравнение гиперболы:

$y = -\frac{10}{0,1} = -100$

Прямая и гипербола имеют единственную общую точку с координатами $(0,1; -100)$.

Проверим, в какой четверти находится эта точка. Так как $x = 0,1 > 0$ и $y = -100 < 0$, точка расположена в IV координатной четверти. Это полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: подходит.