Номер 15, страница 281 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 5. Функции - номер 15, страница 281.

Условие.

15 Какая из данных прямых имеет с гиперболой $y = -\frac{10}{x}$ единственную общую точку, расположенную в IV координатной четверти?

1) $y = -100x$

2) $y = 0,1x$

3) $y = 100$

4) $x = 0,1$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи необходимо найти, какая из предложенных прямых имеет ровно одну общую точку с гиперболой $y = -\frac{10}{x}$, и при этом данная точка пересечения должна лежать в IV координатной четверти. Координаты точки в IV четверти удовлетворяют условиям $x > 0$ и $y < 0$.

Ветви заданной гиперболы $y = -\frac{10}{x}$ находятся во II и IV координатных четвертях. Мы ищем точку пересечения на ветви, расположенной в IV четверти.

Проверим каждую из предложенных прямых.

1) $y = -100x$

Для нахождения точек пересечения решим систему уравнений, подставив выражение для $y$ из уравнения прямой в уравнение гиперболы:

$-100x = -\frac{10}{x}$

Умножим обе части на $x$ (поскольку $x \neq 0$ на гиперболе):

$-100x^2 = -10$

$x^2 = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$

Данное уравнение имеет два решения: $x = \sqrt{\frac{1}{10}}$ и $x = -\sqrt{\frac{1}{10}}$. Это означает, что прямая пересекает гиперболу в двух точках, что не соответствует условию о единственной общей точке.

Ответ: не подходит.

2) $y = 0,1x$

Аналогично, решаем систему уравнений:

$0,1x = -\frac{10}{x}$

$0,1x^2 = -10$

$x^2 = -\frac{10}{0,1} = -100$

Уравнение $x^2 = -100$ не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, эта прямая и гипербола не имеют общих точек.

Ответ: не подходит.

3) $y = 100$

Решаем систему уравнений:

$100 = -\frac{10}{x}$

Отсюда находим $x$: $x = -\frac{10}{100} = -0,1$.

Прямая и гипербола имеют одну общую точку с координатами $(-0,1; 100)$. Проверим, в какой четверти она находится. Так как $x < 0$ и $y > 0$, точка лежит во II координатной четверти, а не в IV.

Ответ: не подходит.

4) $x = 0,1$

Подставим значение $x$ в уравнение гиперболы:

$y = -\frac{10}{0,1} = -100$

Прямая и гипербола имеют единственную общую точку с координатами $(0,1; -100)$.

Проверим, в какой четверти находится эта точка. Так как $x = 0,1 > 0$ и $y = -100 < 0$, точка расположена в IV координатной четверти. Это полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: подходит.