Страница 275 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

844 Найдите область определения функции: $y = \frac{1}{x^4 - 4x^2}$; $y = \sqrt{2x}$; $y = \sqrt{-2x}$; $y = \frac{1}{|4 - x|}$.

$y = \frac{1}{x^4 - 4x^2}$
Область определения данной функции — это множество всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключим их.
$x^4 - 4x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 - 4) = 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:
$x^2(x - 2)(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три уравнения:
$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
Таким образом, значения $x = -2, x = 0, x = 2$ не входят в область определения функции.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

$y = \sqrt{2x}$
Область определения функции, содержащей квадратный корень, ограничена условием, что выражение под знаком корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$2x \ge 0$
Разделим обе части на 2:
$x \ge 0$
Следовательно, область определения функции — это все числа от 0, включая 0, до плюс бесконечности.
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

$y = \sqrt{-2x}$
Аналогично предыдущему случаю, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$-2x \ge 0$
Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le 0$
Следовательно, область определения функции — это все числа от минус бесконечности до 0, включая 0.
Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

$y = \frac{1}{|4 - x|}$
Знаменатель дроби не может быть равен нулю. В данном случае знаменатель содержит модуль.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$|4 - x| = 0$
Модуль выражения равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю.
$4 - x = 0$
$x = 4$
Таким образом, из области определения необходимо исключить только точку $x=4$.
Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

845 Есть ли на графике функции $y=x^2-4x+3$ точки, ординаты которых равны: 7; -15? Если есть, то чему равны их абсциссы?

Чтобы определить, существуют ли на графике функции $y = x^2 - 4x + 3$ точки с заданными ординатами, необходимо подставить значение ординаты (координаты $y$) в уравнение функции и найти соответствующие значения абсциссы (координаты $x$). Если получившееся квадратное уравнение имеет действительные корни, то такие точки существуют.

Для ординаты y = 7

Подставим значение $y = 7$ в уравнение функции:

$7 = x^2 - 4x + 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 4x + 3 - 7 = 0$

$x^2 - 4x - 4 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-4$, $c=-4$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что на графике существуют две точки с ординатой, равной 7.

Найдем их абсциссы по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 \cdot 2}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$

Таким образом, мы получили две абсциссы: $x_1 = 2 + 2\sqrt{2}$ и $x_2 = 2 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: Да, на графике существуют две точки с ординатой 7. Их абсциссы равны $2 + 2\sqrt{2}$ и $2 - 2\sqrt{2}$.

Для ординаты y = -15

Подставим значение $y = -15$ в уравнение функции:

$-15 = x^2 - 4x + 3$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 4x + 3 - (-15) = 0$

$x^2 - 4x + 18 = 0$

Вычислим дискриминант $D$, где $a=1$, $b=-4$, $c=18$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 16 - 72 = -56$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, на графике функции нет точек с ординатой, равной -15.

Дополнительное пояснение: График функции $y = x^2 - 4x + 3$ — это парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Ее вершина является точкой минимума. Найдем координаты вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_в = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Минимальное значение функции равно -1. Так как $-15 < -1$, ордината точки на графике не может быть равной -15.

Ответ: Нет, на графике функции нет точек с ординатой -15.

846 Пересекает ли прямая $y=12$ график данной функции и если да, то в каких точках:

а) $y = x^2 + 4$;

б) $y = 2 - x^2$?

а) Чтобы найти точки пересечения прямой $y=12$ и графика функции $y = x^2 + 4$, нужно приравнять выражения для $y$ и решить полученное уравнение относительно $x$.

$x^2 + 4 = 12$
Вычтем 4 из обеих частей уравнения:
$x^2 = 12 - 4$
$x^2 = 8$
Теперь найдем значения $x$, извлекая квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{8}$
Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Таким образом, мы получили два значения для абсциссы точек пересечения: $x_1 = 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -2\sqrt{2}$.
Ордината этих точек равна 12, так как они лежат на прямой $y=12$.
Следовательно, прямая пересекает график функции в двух точках.
Ответ: да, в точках $(-2\sqrt{2}; 12)$ и $(2\sqrt{2}; 12)$.

б) Поступим аналогично для функции $y = 2 - x^2$. Приравняем ее к $y=12$.

$2 - x^2 = 12$
Выразим $x^2$:
$-x^2 = 12 - 2$
$-x^2 = 10$
$x^2 = -10$
Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Это означает, что у прямой $y=12$ и графика функции $y=2-x^2$ нет общих точек, то есть они не пересекаются.
Ответ: нет, не пересекает.

847 При каких значениях x функция $y = \frac{7 - 5x}{2}$ принимает отрицательные значения? неотрицательные значения?

Дана функция $y = \frac{7 - 5x}{2}$.

отрицательные значения?

Чтобы найти значения x, при которых функция принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$.

Подставим выражение для функции в неравенство:
$ \frac{7 - 5x}{2} < 0 $

Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$ 7 - 5x < 0 $

Перенесем 7 в правую часть, изменив знак:
$ -5x < -7 $

Разделим обе части на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$ x > \frac{-7}{-5} $
$ x > \frac{7}{5} $
$ x > 1.4 $

Следовательно, функция принимает отрицательные значения при $x > 1.4$.

Ответ: при $x \in (1.4; +\infty)$.

неотрицательные значения?

Чтобы найти значения x, при которых функция принимает неотрицательные значения (то есть больше или равные нулю), необходимо решить неравенство $y \ge 0$.

Подставим выражение для функции в неравенство:
$ \frac{7 - 5x}{2} \ge 0 $

Умножим обе части на 2:
$ 7 - 5x \ge 0 $

Перенесем 7 в правую часть:
$ -5x \ge -7 $

Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный:
$ x \le \frac{-7}{-5} $
$ x \le \frac{7}{5} $
$ x \le 1.4 $

Следовательно, функция принимает неотрицательные значения при $x \le 1.4$.

Ответ: при $x \in (-\infty; 1.4]$.

848 Постройте в одной системе координат графики функций $y = 2x - 6$ и $y = 0.5x + 3$. Используя графики, определите:

a) при каких значениях $x$ значения функций равны;

б) при каких значениях $x$ значения функции $y = 2x - 6$ больше значений функции $y = 0.5x + 3$;

в) при каких значениях $x$ значения функции $y = 2x - 6$ меньше значений функции $y = 0.5x + 3$;

г) при каких значениях $x$ обе функции принимают положительные значения;

д) при каких значениях $x$ обе функции принимают отрицательные значения.

Для решения задачи сначала построим графики обеих функций в одной системе координат. Обе функции, $y = 2x - 6$ и $y = 0.5x + 3$, являются линейными, их графики — прямые. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

Для функции $y = 2x - 6$:

• Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 - 6 = -6$. Точка $(0, -6)$.
• Если $y = 0$, то $2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$. Точка $(3, 0)$.

Для функции $y = 0.5x + 3$:

• Если $x = 0$, то $y = 0.5 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• Если $y = 0$, то $0.5x + 3 = 0 \Rightarrow 0.5x = -3 \Rightarrow x = -6$. Точка $(-6, 0)$.

Построив эти две прямые на координатной плоскости, мы можем ответить на поставленные вопросы, анализируя их взаимное расположение.

Значения функций равны в точке пересечения их графиков. Чтобы найти эту точку, приравняем правые части уравнений:

$2x - 6 = 0.5x + 3$

$2x - 0.5x = 3 + 6$

$1.5x = 9$

$x = \frac{9}{1.5}$

$x = 6$

Ответ: $x = 6$.

Это условие выполняется, когда график функции $y = 2x - 6$ расположен выше графика функции $y = 0.5x + 3$. Это происходит справа от точки их пересечения. Решим соответствующее неравенство:

$2x - 6 > 0.5x + 3$

$1.5x > 9$

$x > 6$

Ответ: при $x > 6$, то есть $x \in (6; +\infty)$.

Это условие выполняется, когда график функции $y = 2x - 6$ расположен ниже графика функции $y = 0.5x + 3$. Это происходит слева от точки их пересечения. Решим неравенство:

$2x - 6 < 0.5x + 3$

$1.5x < 9$

$x < 6$

Ответ: при $x < 6$, то есть $x \in (-\infty; 6)$.

Это происходит, когда оба графика находятся выше оси абсцисс (оси x), то есть $y > 0$ для обеих функций. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 6 > 0 \\ 0.5x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

$2x > 6 \Rightarrow x > 3$

$0.5x > -3 \Rightarrow x > -6$

Оба неравенства должны выполняться одновременно, поэтому ищем пересечение решений: $x > 3$ и $x > -6$. Общее решение: $x > 3$.

Ответ: при $x > 3$, то есть $x \in (3; +\infty)$.

Это происходит, когда оба графика находятся ниже оси абсцисс, то есть $y < 0$ для обеих функций. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 6 < 0 \\ 0.5x + 3 < 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

$2x < 6 \Rightarrow x < 3$

$0.5x < -3 \Rightarrow x < -6$

Ищем пересечение решений: $x < 3$ и $x < -6$. Общее решение: $x < -6$.

Ответ: при $x < -6$, то есть $x \in (-\infty; -6)$.

849 Выбрав удобные единицы на осях, постройте график функции:

а) $y = 0,05x - 0,01;$

б) $y = -50x + 100.$

a) Для построения графика линейной функции $y = 0,05x - 0,01$ необходимо найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Удобнее всего найти точки пересечения графика с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy). Для этого значение абсциссы должно быть равно нулю: $x = 0$.
$y = 0,05 \cdot 0 - 0,01 = -0,01$.
Таким образом, первая точка имеет координаты $(0; -0,01)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox). Для этого значение ординаты должно быть равно нулю: $y = 0$.
$0 = 0,05x - 0,01$
$0,05x = 0,01$
$x = \frac{0,01}{0,05} = \frac{1}{5} = 0,2$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты $(0,2; 0)$.

Поскольку полученные значения координат очень малы, для наглядности графика необходимо выбрать удобные единичные отрезки на осях. Например, по оси Ox можно взять 1 клетку за 0,1 единицы, а по оси Oy — 1 клетку за 0,01 единицы. В этом случае точка $(0; -0,01)$ будет расположена на одну клетку ниже начала координат по оси Oy, а точка $(0,2; 0)$ — на две клетки правее начала координат по оси Ox. Отметив эти две точки, проводим через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; -0,01)$ и $(0,2; 0)$. Удобный масштаб для построения: по оси Ox 1 клетка = 0,1, по оси Oy 1 клетка = 0,01.

б) Функция $y = -50x + 100$ также является линейной, ее график — прямая. Найдем точки пересечения с осями координат для ее построения.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy), приняв $x = 0$.
$y = -50 \cdot 0 + 100 = 100$.
Первая точка имеет координаты $(0; 100)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox), приняв $y = 0$.
$0 = -50x + 100$
$50x = 100$
$x = \frac{100}{50} = 2$.
Вторая точка имеет координаты $(2; 0)$.

В этом случае значения по оси Ox относительно малы, а по оси Oy — велики. Поэтому для осей следует выбрать разный масштаб. По оси Ox можно выбрать стандартный масштаб: 1 клетка = 1 единица. По оси Oy следует выбрать более крупный масштаб, например: 1 клетка = 50 единиц. При таком масштабе точка $(0; 100)$ будет расположена на 2 клетки выше начала координат по оси Oy, а точка $(2; 0)$ — на 2 клетки правее начала координат по оси Ox. Отметив эти две точки, проводим через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; 100)$ и $(2; 0)$. Удобный масштаб для построения: по оси Ox 1 клетка = 1, по оси Oy 1 клетка = 50.

850 Изучая зависимость между высотой сосны и диаметром её ствола, учёные выявили тенденцию увеличения диаметра ствола с увеличением высоты сосны. Некоторые данные приведены в таблице:

Отметьте соответствующие точки в координатной плоскости. Проведите прямую, аппроксимирующую эти данные. Определите, чему примерно равна высота сосны, если её диаметр равен 35 см; 50 см.

Для решения задачи выполним следующие шаги: построим точки по данным из таблицы в координатной плоскости, проведем аппроксимирующую прямую и с её помощью найдем примерные значения высоты для заданных диаметров.

1. Построение графика и аппроксимирующей прямой

Введем координатную систему. Пусть ось абсцисс $Ox$ — это диаметр ствола сосны в сантиметрах (см), а ось ординат $Oy$ — это высота сосны в метрах (м).

Согласно таблице, у нас есть следующие точки для построения (Диаметр; Высота):

• (12; 19)
• (15; 20)
• (20; 18)
• (24; 24)
• (26; 25)
• (30; 23)
• (32; 26)
• (34; 25)
• (40; 25)
• (45; 27)

Отметим эти точки на координатной плоскости. Затем проведем прямую, которая наилучшим образом описывает общую тенденцию расположения этих точек (аппроксимирующую прямую или линию тренда). Эта прямая должна проходить как можно ближе ко всем точкам, так чтобы примерно равное количество точек находилось по обе стороны от неё.

Ниже представлен график с нанесенными точками и аппроксимирующей прямой.

2. Определение высоты сосны при диаметре 35 см

Чтобы найти примерную высоту сосны с диаметром ствола 35 см, найдем на горизонтальной оси (оси диаметров) значение 35. Из этой точки проведем вертикальную линию до пересечения с аппроксимирующей прямой (на графике показано зеленой пунктирной линией). От точки пересечения проведем горизонтальную линию до пересечения с вертикальной осью (осью высот). Точка пересечения с осью $Oy$ даст нам искомое значение высоты.

По графику видно, что при диаметре 35 см высота сосны будет примерно равна 25 м.

Ответ: Примерно 25 м.

3. Определение высоты сосны при диаметре 50 см

Для определения высоты сосны с диаметром 50 см мы используем тот же метод, но в данном случае мы выходим за пределы имеющихся данных — это называется экстраполяцией. Мысленно продлеваем нашу аппроксимирующую прямую.

Находим на оси $Ox$ значение 50. Проводим вертикальную линию до пересечения с продолжением нашей прямой (на графике показано фиолетовой пунктирной линией). От этой точки проводим горизонтальную линию до оси $Oy$ и считываем значение высоты.

По графику видно, что при диаметре 50 см высота сосны будет примерно равна 29 м.

Ответ: Примерно 29 м.

851 Имеют ли общие точки графики данных функций? Если имеют, то сколько?

а) $y = \frac{10}{x}$ и $y = 10x$;

б) $y = \frac{10}{x}$ и $y = -10x$;

в) $y = -\frac{10}{x}$ и $y = 0,1x$;

г) $y = -\frac{10}{x}$ и $y = -0,1x$.

Чтобы определить, имеют ли графики функций общие точки, нужно найти решения системы уравнений, состоящей из этих функций. Общие точки — это точки, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют обоим уравнениям. Это эквивалентно нахождению числа действительных корней уравнения, полученного приравниванием правых частей функций.

а) $y = \frac{10}{x}$ и $y = 10x$

Приравниваем правые части уравнений:

$\frac{10}{x} = 10x$

Область допустимых значений: $x \neq 0$. Умножим обе части на $x$:

$10 = 10x^2$

Разделим обе части на 10:

$x^2 = 1$

Уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Следовательно, графики функций имеют две общие точки.

Ответ: да, 2 общие точки.

б) $y = \frac{10}{x}$ и $y = -10x$

Приравниваем правые части уравнений:

$\frac{10}{x} = -10x$

При $x \neq 0$ умножим обе части на $x$:

$10 = -10x^2$

Разделим обе части на -10:

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, графики функций не имеют общих точек.

Ответ: нет общих точек.

в) $y = -\frac{10}{x}$ и $y = 0,1x$

Приравниваем правые части уравнений:

$-\frac{10}{x} = 0,1x$

При $x \neq 0$ умножим обе части на $x$:

$-10 = 0,1x^2$

Разделим обе части на 0,1:

$x^2 = -\frac{10}{0,1}$

$x^2 = -100$

Уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: нет общих точек.

г) $y = -\frac{10}{x}$ и $y = -0,1x$

Приравниваем правые части уравнений:

$-\frac{10}{x} = -0,1x$

Умножим обе части на -1:

$\frac{10}{x} = 0,1x$

При $x \neq 0$ умножим обе части на $x$:

$10 = 0,1x^2$

Разделим обе части на 0,1:

$x^2 = \frac{10}{0,1}$

$x^2 = 100$

Уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.

Следовательно, графики функций имеют две общие точки.

Ответ: да, 2 общие точки.