Страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

814 Постройте график функции $y = \frac{8}{x}$. По графику определите:

а) возрастает или убывает функция при $x > 0$; при $x < 0$;

б) на каком промежутке значения функции отрицательны;

в) значение $y$ при $x = 2,5$; $-2,5$;

г) значение $x$, при котором $y = 5$; $-5$.

Для построения графика функции $y = \frac{8}{x}$ необходимо сначала составить таблицу значений. Эта функция является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола, состоящая из двух ветвей. Так как коэффициент $k=8$ положителен ($k > 0$), ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Составим таблицу значений для положительных $x$ (I четверть):

Функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{8}{-x} = -\frac{8}{x} = -y(x)$. Это означает, что график симметричен относительно начала координат. Поэтому для отрицательных $x$ (III четверть) значения $y$ будут противоположны по знаку:

Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, мы получим график гиперболы. Теперь, анализируя график, ответим на поставленные вопросы.

а) возрастает или убывает функция при $x > 0$; при $x < 0$;
На промежутке $x > 0$ (ветвь в I четверти) при движении по графику слева направо (с увеличением $x$) мы видим, что график идет вниз, то есть значения $y$ уменьшаются. Следовательно, функция убывает.
На промежутке $x < 0$ (ветвь в III четверти) при движении по графику слева направо (с увеличением $x$, например, от -8 до -1) мы также видим, что график идет вниз (значения $y$ уменьшаются от -1 до -8). Следовательно, функция также убывает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.

б) на каком промежутке значения функции отрицательны;
Значения функции отрицательны ($y < 0$) там, где ее график находится ниже оси абсцисс ($Ox$). Это соответствует ветви гиперболы в III координатной четверти. Для всех точек на этой ветви абсциссы ($x$) отрицательны.
Ответ: значения функции отрицательны при $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 0)$.

в) значение $y$ при $x = 2,5$; $-2,5$;
Чтобы найти значение $y$ по графику, нужно найти на оси $Ox$ точку $x=2,5$, провести перпендикуляр до пересечения с графиком и найти ординату этой точки пересечения. Аналогично для $x=-2,5$. Для более точного ответа воспользуемся формулой.
При $x=2,5$: $y = \frac{8}{2,5} = \frac{80}{25} = \frac{16}{5} = 3,2$.
При $x=-2,5$: $y = \frac{8}{-2,5} = -3,2$.
Ответ: при $x=2,5$, $y=3,2$; при $x=-2,5$, $y=-3,2$.

г) значение $x$, при котором $y = 5$; $-5$.
Чтобы найти значение $x$ по графику, нужно найти на оси $Oy$ точку $y=5$, провести перпендикуляр до пересечения с графиком и найти абсциссу этой точки пересечения. Аналогично для $y=-5$. Для точности используем формулу, выразив из нее $x$: $x = \frac{8}{y}$.
При $y=5$: $x = \frac{8}{5} = 1,6$.
При $y=-5$: $x = \frac{8}{-5} = -1,6$.
Ответ: $y=5$ при $x=1,6$; $y=-5$ при $x=-1,6$.

815 Постройте график функции $f(x) = -\frac{4}{x}$. По графику определите:

а) $f(5); f(-5); f(8); f(-8);$

б) значение $x$, при котором $f(x) = 8; f(x) = -8; f(x) = 6; f(x) = -6;$

в) возрастает или убывает функция при $x > 0$; при $x < 0$;

г) на каком промежутке значения функции положительны.

Заданная функция $f(x) = -\frac{4}{x}$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола. Так как коэффициент $k = -4$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: ось $Oy$ (прямая $x=0$) и ось $Ox$ (прямая $y=0$).

Для построения графика составим таблицу значений для каждой ветви:

Ветвь в IV четверти ($x > 0$):

Ветвь во II четверти ($x < 0$):

По этим точкам строим две ветви гиперболы. Теперь, используя график и вычисления, ответим на вопросы.

а) Чтобы найти значения функции по графику, нужно найти на оси $Ox$ заданное значение аргумента, восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком и найти ординату точки пересечения. Для точности выполним вычисления:
$f(5) = -\frac{4}{5} = -0.8$
$f(-5) = -\frac{4}{-5} = \frac{4}{5} = 0.8$
$f(8) = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2} = -0.5$
$f(-8) = -\frac{4}{-8} = \frac{1}{2} = 0.5$
Ответ: $f(5) = -0.8$; $f(-5) = 0.8$; $f(8) = -0.5$; $f(-8) = 0.5$.

б) Чтобы найти значение $x$, при котором известно значение функции $f(x)$, нужно найти на оси $Oy$ заданное значение функции, провести горизонтальную линию до пересечения с графиком и найти абсциссу точки пересечения. Для точности решим уравнения:
$f(x) = 8 \implies -\frac{4}{x} = 8 \implies x = -\frac{4}{8} = -0.5$
$f(x) = -8 \implies -\frac{4}{x} = -8 \implies x = \frac{4}{8} = 0.5$
$f(x) = 6 \implies -\frac{4}{x} = 6 \implies x = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$
$f(x) = -6 \implies -\frac{4}{x} = -6 \implies x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Ответ: при $f(x) = 8$, $x = -0.5$; при $f(x) = -8$, $x = 0.5$; при $f(x) = 6$, $x = -2/3$; при $f(x) = -6$, $x = 2/3$.

в) Чтобы определить, возрастает или убывает функция, посмотрим на поведение графика при движении по нему слева направо.
При $x > 0$ (IV четверть) с увеличением $x$ (например, от 1 до 4) значение $y$ увеличивается (от -4 до -1). Значит, функция возрастает.
При $x < 0$ (II четверть) с увеличением $x$ (например, от -4 до -1) значение $y$ также увеличивается (от 1 до 4). Значит, функция возрастает.
Ответ: функция возрастает при $x > 0$ и при $x < 0$.

г) Значения функции положительны, когда её график лежит выше оси $Ox$.
Из графика видно, что это происходит для ветви, расположенной во II координатной четверти. Этой ветви соответствуют отрицательные значения аргумента $x$.
Алгебраически: $f(x) > 0 \implies -\frac{4}{x} > 0$. Так как числитель -4 отрицателен, для того чтобы дробь была положительной, знаменатель $x$ также должен быть отрицательным. То есть $x < 0$.
Ответ: значения функции положительны при $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 0)$.

АНАЛИЗИРУЕМ (816-817)

816 Графиком какой из функций: $y = \frac{1}{3}x$, $y = \frac{x}{3}$, $y = \frac{3}{x}$ является гипербола? Постройте эту гиперболу.

Для того чтобы определить, график какой из функций является гиперболой, необходимо проанализировать вид каждой функции.

Функции $y = \frac{1}{3}x$ и $y = \frac{x}{3}$ являются идентичными, так как их можно представить в виде $y=kx$, где коэффициент $k=\frac{1}{3}$. Это линейные функции, графиком которых является прямая линия, проходящая через начало координат.

Функция $y = \frac{3}{x}$ является функцией обратной пропорциональности, которая имеет общий вид $y=\frac{k}{x}$ (в данном случае $k=3$). Графиком функции обратной пропорциональности является гипербола.

Таким образом, из предложенных функций гиперболой является график функции $y = \frac{3}{x}$.

Для построения этой гиперболы составим таблицу значений. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Так как коэффициент $k=3>0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат (ось Ox и ось Oy).

Составим таблицу значений для нескольких точек:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми (ветвями), мы получим искомый график гиперболы. Ветви будут симметричны относительно начала координат и будут неограниченно приближаться к осям, не пересекая их.

Ответ: Гиперболой является график функции $y = \frac{3}{x}$. Построение графика осуществляется по точкам, например, по точкам, указанным в таблице выше.

817 В одной системе координат постройте графики функций: $y=\frac{1}{x}$, $y=\frac{4}{x}$, $y=-\frac{2}{x}$, $y=-\frac{8}{x}$. Как зависит расположение графика функции $y=\frac{k}{x}$ от модуля коэффициента $k$?

Все представленные функции вида $y = \frac{k}{x}$ являются обратными пропорциональностями. Их графиком является гипербола. Расположение ветвей гиперболы зависит от знака коэффициента $k$. Если $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Если $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Для построения графиков составим таблицы значений для каждой функции.

y = 1/x

Коэффициент $k=1 > 0$. Ветви расположены в I и III четвертях.

y = 4/x

Коэффициент $k=4 > 0$. Ветви расположены в I и III четвертях.

y = -2/x

Коэффициент $k=-2 < 0$. Ветви расположены во II и IV четвертях.

y = -8/x

Коэффициент $k=-8 < 0$. Ветви расположены во II и IV четвертях.

Построим графики всех четырех функций в одной системе координат.

Теперь проанализируем, как расположение графика функции $y = \frac{k}{x}$ зависит от модуля коэффициента $k$.

Сравнивая графики функций с положительным коэффициентом $k$, $y = \frac{1}{x}$ ($|k|=1$) и $y = \frac{4}{x}$ ($|k|=4$), мы видим, что ветви гиперболы $y = \frac{4}{x}$ расположены дальше от осей координат, чем ветви гиперболы $y = \frac{1}{x}$. Для любого значения $x_0 > 0$ точка на графике $y=\frac{4}{x}$ будет иметь ординату в 4 раза больше, чем точка на графике $y=\frac{1}{x}$.

Аналогично, при сравнении графиков с отрицательным $k$, $y = -\frac{2}{x}$ ($|k|=2$) и $y = -\frac{8}{x}$ ($|k|=8$), ветви гиперболы $y = -\frac{8}{x}$ также расположены дальше от осей координат, чем ветви $y = -\frac{2}{x}$.

Таким образом, можно сделать общий вывод: чем больше значение модуля коэффициента $|k|$, тем дальше от осей координат расположены ветви гиперболы. График как бы "растягивается" от начала координат при увеличении $|k|$.

Ответ: Чем больше модуль коэффициента $k$, тем дальше от осей координат расположены ветви графика функции (гиперболы) $y = \frac{k}{x}$.

818 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Какое из следующих утверждений верно?

При $k > 0$ график функции $y = \frac{k}{x}$ расположен:

1) в первой и третьей координатных четвертях

2) во второй и четвёртой координатных четвертях

3) в первой и второй координатных четвертях

Для определения расположения графика функции $y = \frac{k}{x}$ при условии $k > 0$, необходимо проанализировать знаки переменных $x$ и $y$ в разных координатных четвертях.

Функция $y = \frac{k}{x}$ — это обратная пропорциональность, график которой — гипербола.

Координатные четверти характеризуются следующими знаками координат:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

Рассмотрим два случая для нашей функции, учитывая, что по условию $k > 0$ (k — положительное число):

1. Если $x > 0$ (то есть, точка лежит в I или IV четверти), то $y = \frac{k}{x}$ будет иметь знак $\frac{+}{+}$, что даёт положительный результат. Таким образом, $y > 0$. Условиям $x > 0$ и $y > 0$ соответствует только первая координатная четверть.

2. Если $x < 0$ (то есть, точка лежит во II или III четверти), то $y = \frac{k}{x}$ будет иметь знак $\frac{+}{-}$, что даёт отрицательный результат. Таким образом, $y < 0$. Условиям $x < 0$ и $y < 0$ соответствует только третья координатная четверть.

Следовательно, при $k > 0$ график функции $y = \frac{k}{x}$ расположен в первой и третьей координатных четвертях. Это соответствует первому утверждению.

Ответ: в первой и третьей координатных четвертях.

819 В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:

a) $y = -\frac{1}{x}$ и $y = -x$;

б) $y = \frac{2}{x}$ и $y = x+1$.

а)

Требуется построить графики функций $y = -\frac{1}{x}$ и $y = -x$ и найти их точки пересечения.

1. Построение графиков.

График функции $y = -\frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат ($x=0$ и $y=0$). Для построения найдем несколько точек:

• при $x=1$, $y=-1$;
• при $x=2$, $y=-0.5$;
• при $x=0.5$, $y=-2$;
• при $x=-1$, $y=1$;
• при $x=-2$, $y=0.5$;
• при $x=-0.5$, $y=2$.

График функции $y = -x$ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей. Для построения достаточно двух точек, например, $(0, 0)$ и $(1, -1)$.

2. Нахождение координат точек пересечения.

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений функций:

$-\frac{1}{x} = -x$

Умножим обе части уравнения на $-x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$1 = x^2$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из уравнений. Используем $y = -x$:

• Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -1$.
• Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -(-1) = 1$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках с координатами $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.

б)

Требуется построить графики функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = x + 1$ и найти их точки пересечения.

1. Построение графиков.

График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Для построения найдем несколько точек:

• при $x=1$, $y=2$;
• при $x=2$, $y=1$;
• при $x=-1$, $y=-2$;
• при $x=-2$, $y=-1$.

График функции $y = x + 1$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y=1$;
• при $x=1$, $y=2$.

Прямая пересекает ось OY в точке $(0, 1)$ и ось OX в точке $(-1, 0)$.

2. Нахождение координат точек пересечения.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{2}{x} = x + 1$

Умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$2 = x(x+1)$

$2 = x^2 + x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-2$, а сумма равна $-1$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1+3}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1-3}{2} = -2$

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = x + 1$:

• Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 + 1 = 2$.
• Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 + 1 = -1$.

Следовательно, точки пересечения графиков: $(1, 2)$ и $(-2, -1)$.

Ответ: $(1, 2)$ и $(-2, -1)$.

820 Не выполняя построения, определите, какие из точек (5; 3), (10; -2), (-0,3; -50), (-0,4; 50) принадлежат графику функции:

а) $y = \frac{15}{x}$;

б) $y = -\frac{20}{x}$.

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, не выполняя построения, нужно подставить координаты точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции $y = f(x)$. Если равенство $y_0 = f(x_0)$ окажется верным, то точка принадлежит графику, если неверным — не принадлежит. Проверим каждую точку для каждой из функций.

а) $y = \frac{15}{x}$

• Проверка точки (5; 3):
  Подставляем $x = 5$ и $y = 3$ в уравнение: $3 = \frac{15}{5}$.
  Вычисляем правую часть: $\frac{15}{5} = 3$.
  Получаем верное равенство $3 = 3$.
  Следовательно, точка (5; 3) принадлежит графику функции.

• Проверка точки (10; –2):
  Подставляем $x = 10$ и $y = -2$ в уравнение: $-2 = \frac{15}{10}$.
  Вычисляем правую часть: $\frac{15}{10} = 1,5$.
  Получаем неверное равенство $-2 \neq 1,5$.
  Следовательно, точка (10; –2) не принадлежит графику функции.

• Проверка точки (–0,3; –50):
  Подставляем $x = -0,3$ и $y = -50$ в уравнение: $-50 = \frac{15}{-0,3}$.
  Вычисляем правую часть: $\frac{15}{-0,3} = -\frac{15}{3/10} = -15 \cdot \frac{10}{3} = -5 \cdot 10 = -50$.
  Получаем верное равенство $-50 = -50$.
  Следовательно, точка (–0,3; –50) принадлежит графику функции.

• Проверка точки (–0,4; 50):
  Подставляем $x = -0,4$ и $y = 50$ в уравнение: $50 = \frac{15}{-0,4}$.
  Вычисляем правую часть: $\frac{15}{-0,4} = -\frac{15}{4/10} = -15 \cdot \frac{10}{4} = -\frac{150}{4} = -37,5$.
  Получаем неверное равенство $50 \neq -37,5$.
  Следовательно, точка (–0,4; 50) не принадлежит графику функции.

Ответ: графику функции $y = \frac{15}{x}$ принадлежат точки (5; 3) и (–0,3; –50).

б) $y = -\frac{20}{x}$

• Проверка точки (5; 3):
  Подставляем $x = 5$ и $y = 3$ в уравнение: $3 = -\frac{20}{5}$.
  Вычисляем правую часть: $-\frac{20}{5} = -4$.
  Получаем неверное равенство $3 \neq -4$.
  Следовательно, точка (5; 3) не принадлежит графику функции.

• Проверка точки (10; –2):
  Подставляем $x = 10$ и $y = -2$ в уравнение: $-2 = -\frac{20}{10}$.
  Вычисляем правую часть: $-\frac{20}{10} = -2$.
  Получаем верное равенство $-2 = -2$.
  Следовательно, точка (10; –2) принадлежит графику функции.

• Проверка точки (–0,3; –50):
  Подставляем $x = -0,3$ и $y = -50$ в уравнение: $-50 = -\frac{20}{-0,3}$.
  Вычисляем правую часть: $-\frac{20}{-0,3} = \frac{20}{0,3} = \frac{20}{3/10} = 20 \cdot \frac{10}{3} = \frac{200}{3} = 66\frac{2}{3}$.
  Получаем неверное равенство $-50 \neq 66\frac{2}{3}$.
  Следовательно, точка (–0,3; –50) не принадлежит графику функции.

• Проверка точки (–0,4; 50):
  Подставляем $x = -0,4$ и $y = 50$ в уравнение: $50 = -\frac{20}{-0,4}$.
  Вычисляем правую часть: $-\frac{20}{-0,4} = \frac{20}{0,4} = \frac{20}{4/10} = 20 \cdot \frac{10}{4} = 5 \cdot 10 = 50$.
  Получаем верное равенство $50 = 50$.
  Следовательно, точка (–0,4; 50) принадлежит графику функции.

Ответ: графику функции $y = -\frac{20}{x}$ принадлежат точки (10; –2) и (–0,4; 50).

821 Пусть $a$ и $b$—стороны прямоугольника, площадь которого равна $10 \text{ см}^2$. Задайте формулой зависимость стороны $a$ от стороны $b$. Постройте график зависимости $a$ от $b$.

Задайте формулой зависимость стороны a от стороны b.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — его стороны. По условию задачи, площадь равна $10 \, \text{см}^2$, то есть $S = 10$. Подставим это значение в формулу площади: $a \cdot b = 10$. Чтобы выразить зависимость стороны $a$ от стороны $b$, необходимо решить это уравнение относительно $a$. Разделим обе части уравнения на $b$. Так как $b$ — это длина стороны, ее значение не может быть равно нулю ($b > 0$). Получаем искомую формулу: $a = \frac{10}{b}$. Эта формула показывает, что стороны $a$ и $b$ находятся в обратно пропорциональной зависимости: при увеличении одной стороны другая уменьшается, и наоборот, так чтобы их произведение оставалось постоянным и равным $10$.

Ответ: $a = \frac{10}{b}$.

Постройте график зависимости a от b.

Графиком функции $a(b) = \frac{10}{b}$ является гипербола. Поскольку $a$ и $b$ представляют собой длины сторон прямоугольника, они могут принимать только положительные значения ($a > 0$ и $b > 0$). Следовательно, нас интересует только та часть графика (ветвь гиперболы), которая расположена в первой координатной четверти. Для построения графика составим таблицу значений, выбрав несколько удобных значений для стороны $b$ и вычислив соответствующие значения для стороны $a$.

Теперь построим координатную плоскость, где по горизонтальной оси отложим значения стороны $b$, а по вертикальной — значения стороны $a$. Отметим на плоскости точки с координатами из таблицы: $(1, 10)$, $(2, 5)$, $(4, 2.5)$, $(5, 2)$, $(8, 1.25)$, $(10, 1)$. Соединим эти точки плавной кривой линией. Эта кривая и будет являться графиком зависимости $a$ от $b$. Оси координат являются асимптотами для этого графика, то есть кривая будет бесконечно приближаться к ним, но никогда их не пересечет.

Ответ: Графиком является ветвь гиперболы в первой координатной четверти, проходящая через точки $(1, 10)$, $(2, 5)$, $(5, 2)$, $(10, 1)$ и другие, удовлетворяющие уравнению $a \cdot b = 10$.

822 1) Найдите координаты точек с равными абсциссой и ординатой, через которые проходит график функции:

а) $y = \frac{16}{x}$;

б) $y = \frac{3}{x}$.

2) Определите координаты точек, в которых:

а) биссектриса I и III координатных углов пересекает график функции $y = \frac{6}{x}$;

б) биссектриса II и IV координатных углов пересекает график функции $y = -\frac{15}{x}$.

1) Чтобы найти координаты точек с равными абсциссой и ординатой, необходимо приравнять $x$ и $y$ в уравнении функции. То есть, мы ищем точки, для которых выполняется условие $y = x$.

а) Дана функция $y = \frac{16}{x}$. Подставим в это уравнение условие $y = x$: $x = \frac{16}{x}$ Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что выполняется для данной функции): $x^2 = 16$ Из этого уравнения находим два значения для $x$: $x_1 = \sqrt{16} = 4$ $x_2 = -\sqrt{16} = -4$ Поскольку $y = x$, то соответствующие значения $y$ будут: $y_1 = 4$ $y_2 = -4$ Таким образом, мы получили две точки с равными абсциссой и ординатой.
Ответ: $(4, 4)$ и $(-4, -4)$.

б) Дана функция $y = \frac{3}{x}$. Подставим в это уравнение условие $y = x$: $x = \frac{3}{x}$ Умножим обе части на $x$ ($x \neq 0$): $x^2 = 3$ Находим значения $x$: $x_1 = \sqrt{3}$ $x_2 = -\sqrt{3}$ Соответствующие значения $y$ ($y = x$): $y_1 = \sqrt{3}$ $y_2 = -\sqrt{3}$ Координаты искомых точек.
Ответ: $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ и $(-\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

2) Для определения координат точек пересечения графика функции с биссектрисами координатных углов, нужно составить и решить систему уравнений.

а) Биссектриса I и III координатных углов задается уравнением $y = x$. Чтобы найти точки ее пересечения с графиком функции $y = \frac{6}{x}$, нужно решить систему уравнений: $\left\{ \begin{array}{l} y = x \\ y = \frac{6}{x} \end{array} \right.$ Приравниваем правые части уравнений: $x = \frac{6}{x}$ $x^2 = 6$ $x_1 = \sqrt{6}$, $x_2 = -\sqrt{6}$ Поскольку $y = x$, находим соответствующие ординаты: $y_1 = \sqrt{6}$, $y_2 = -\sqrt{6}$ Координаты точек пересечения.
Ответ: $(\sqrt{6}, \sqrt{6})$ и $(-\sqrt{6}, -\sqrt{6})$.

б) Биссектриса II и IV координатных углов задается уравнением $y = -x$. Чтобы найти точки ее пересечения с графиком функции $y = -\frac{15}{x}$, решаем систему: $\left\{ \begin{array}{l} y = -x \\ y = -\frac{15}{x} \end{array} \right.$ Приравниваем правые части уравнений: $-x = -\frac{15}{x}$ Умножим обе части на $-1$: $x = \frac{15}{x}$ $x^2 = 15$ $x_1 = \sqrt{15}$, $x_2 = -\sqrt{15}$ Теперь находим соответствующие ординаты из уравнения $y = -x$: При $x_1 = \sqrt{15}$, $y_1 = -\sqrt{15}$ При $x_2 = -\sqrt{15}$, $y_2 = -(-\sqrt{15}) = \sqrt{15}$ Координаты точек пересечения.
Ответ: $(\sqrt{15}, -\sqrt{15})$ и $(-\sqrt{15}, \sqrt{15})$.