Номер 822, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.6. Функция у =k/x и её график. Глава 5. Функции - номер 822, страница 268.

Условие.

822 1) Найдите координаты точек с равными абсциссой и ординатой, через которые проходит график функции:

а) $y = \frac{16}{x}$;

б) $y = \frac{3}{x}$.

2) Определите координаты точек, в которых:

а) биссектриса I и III координатных углов пересекает график функции $y = \frac{6}{x}$;

б) биссектриса II и IV координатных углов пересекает график функции $y = -\frac{15}{x}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы найти координаты точек с равными абсциссой и ординатой, необходимо приравнять $x$ и $y$ в уравнении функции. То есть, мы ищем точки, для которых выполняется условие $y = x$.

а) Дана функция $y = \frac{16}{x}$. Подставим в это уравнение условие $y = x$: $x = \frac{16}{x}$ Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что выполняется для данной функции): $x^2 = 16$ Из этого уравнения находим два значения для $x$: $x_1 = \sqrt{16} = 4$ $x_2 = -\sqrt{16} = -4$ Поскольку $y = x$, то соответствующие значения $y$ будут: $y_1 = 4$ $y_2 = -4$ Таким образом, мы получили две точки с равными абсциссой и ординатой.
Ответ: $(4, 4)$ и $(-4, -4)$.

б) Дана функция $y = \frac{3}{x}$. Подставим в это уравнение условие $y = x$: $x = \frac{3}{x}$ Умножим обе части на $x$ ($x \neq 0$): $x^2 = 3$ Находим значения $x$: $x_1 = \sqrt{3}$ $x_2 = -\sqrt{3}$ Соответствующие значения $y$ ($y = x$): $y_1 = \sqrt{3}$ $y_2 = -\sqrt{3}$ Координаты искомых точек.
Ответ: $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ и $(-\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

2) Для определения координат точек пересечения графика функции с биссектрисами координатных углов, нужно составить и решить систему уравнений.

а) Биссектриса I и III координатных углов задается уравнением $y = x$. Чтобы найти точки ее пересечения с графиком функции $y = \frac{6}{x}$, нужно решить систему уравнений: $\left\{ \begin{array}{l} y = x \\ y = \frac{6}{x} \end{array} \right.$ Приравниваем правые части уравнений: $x = \frac{6}{x}$ $x^2 = 6$ $x_1 = \sqrt{6}$, $x_2 = -\sqrt{6}$ Поскольку $y = x$, находим соответствующие ординаты: $y_1 = \sqrt{6}$, $y_2 = -\sqrt{6}$ Координаты точек пересечения.
Ответ: $(\sqrt{6}, \sqrt{6})$ и $(-\sqrt{6}, -\sqrt{6})$.

б) Биссектриса II и IV координатных углов задается уравнением $y = -x$. Чтобы найти точки ее пересечения с графиком функции $y = -\frac{15}{x}$, решаем систему: $\left\{ \begin{array}{l} y = -x \\ y = -\frac{15}{x} \end{array} \right.$ Приравниваем правые части уравнений: $-x = -\frac{15}{x}$ Умножим обе части на $-1$: $x = \frac{15}{x}$ $x^2 = 15$ $x_1 = \sqrt{15}$, $x_2 = -\sqrt{15}$ Теперь находим соответствующие ординаты из уравнения $y = -x$: При $x_1 = \sqrt{15}$, $y_1 = -\sqrt{15}$ При $x_2 = -\sqrt{15}$, $y_2 = -(-\sqrt{15}) = \sqrt{15}$ Координаты точек пересечения.
Ответ: $(\sqrt{15}, -\sqrt{15})$ и $(-\sqrt{15}, \sqrt{15})$.