Номер 826, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.6. Функция у =k/x и её график. Глава 5. Функции - номер 826, страница 269.

Условие.

826 Пользуясь графиком на рисунке 5.49, определите, при каких значениях x:

a) $y > 4$

б) $y \ge -6$

в) $y < 3$

г) $y \le -3$

д) $-1 \le y \le 1$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи необходимо проанализировать предоставленный график функции. График является параболой с ветвями, направленными вниз. Из графика можно определить ключевые точки, например, вершину параболы. Вершина находится в точке $(2, 5)$. Также видно, что парабола проходит через точки $(0, 1)$ и $(4, 1)$. Это позволяет установить точное уравнение функции как $y = -(x - 2)^2 + 5$. Используя это уравнение, мы можем точно найти значения $x$ для заданных условий.

а)

Чтобы определить, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $y > 4$, найдём на графике горизонтальную прямую $y = 4$. Нас интересуют те части параболы, которые лежат выше этой прямой. Точки пересечения графика с прямой $y = 4$ являются границами искомого интервала. Найдём их, решив уравнение:

$4 = -(x - 2)^2 + 5$

$(x - 2)^2 = 1$

$x - 2 = 1$ или $x - 2 = -1$

Отсюда получаем $x_1 = 3$ и $x_2 = 1$.

График функции находится выше прямой $y=4$ между этими точками. Поскольку неравенство строгое ($>$), сами точки не включаются в решение.

Ответ: $x \in (1; 3)$.

б)

Найдём значения $x$, при которых $y \ge -6$. Проведём на графике горизонтальную прямую $y = -6$. Нас интересуют части параболы, лежащие на этой прямой или выше неё. Найдём точки пересечения:

$-6 = -(x - 2)^2 + 5$

$(x - 2)^2 = 11$

$x - 2 = \sqrt{11}$ или $x - 2 = -\sqrt{11}$

Отсюда $x_1 = 2 + \sqrt{11}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{11}$.

График функции находится выше или на прямой $y = -6$ на отрезке между этими точками. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому граничные точки включаются.

Ответ: $x \in [2 - \sqrt{11}; 2 + \sqrt{11}]$.

в)

Найдём значения $x$, при которых $y < 3$. Проведём прямую $y = 3$ и найдём точки пересечения с параболой:

$3 = -(x - 2)^2 + 5$

$(x - 2)^2 = 2$

$x - 2 = \sqrt{2}$ или $x - 2 = -\sqrt{2}$

Отсюда $x_1 = 2 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{2}$.

График функции находится ниже прямой $y=3$ слева от точки $x = 2 - \sqrt{2}$ и справа от точки $x = 2 + \sqrt{2}$. Неравенство строгое (<), поэтому точки не включаются.

Ответ: $x \in (-\infty; 2 - \sqrt{2}) \cup (2 + \sqrt{2}; \infty)$.

г)

Найдём значения $x$, при которых $y \le -3$. Проведём прямую $y = -3$ и найдём точки пересечения с графиком:

$-3 = -(x - 2)^2 + 5$

$(x - 2)^2 = 8$

$x - 2 = \sqrt{8}$ или $x - 2 = -\sqrt{8}$

Отсюда $x_1 = 2 + 2\sqrt{2}$ и $x_2 = 2 - 2\sqrt{2}$.

График функции находится на прямой $y=-3$ или ниже неё левее точки $x = 2 - 2\sqrt{2}$ и правее точки $x = 2 + 2\sqrt{2}$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки включаются.

Ответ: $x \in (-\infty; 2 - 2\sqrt{2}] \cup [2 + 2\sqrt{2}; \infty)$.

д)

Найдём значения $x$, при которых $-1 \le y \le 1$. Это соответствует участкам графика, заключённым между горизонтальными прямыми $y = -1$ и $y = 1$, включая сами прямые. Найдём точки пересечения графика с этими прямыми.

Для $y = 1$:

$1 = -(x - 2)^2 + 5 \implies (x - 2)^2 = 4 \implies x - 2 = \pm 2$. Получаем $x_1 = 4$ и $x_2 = 0$.

Для $y = -1$:

$-1 = -(x - 2)^2 + 5 \implies (x - 2)^2 = 6 \implies x - 2 = \pm \sqrt{6}$. Получаем $x_3 = 2 + \sqrt{6}$ и $x_4 = 2 - \sqrt{6}$.

Интересующие нас участки графика находятся между $y=-1$ и $y=1$. Это два отдельных промежутка для $x$. Первый промежуток — от точки пересечения с $y=-1$ ($x = 2 - \sqrt{6}$) до точки пересечения с $y=1$ ($x=0$). Второй промежуток — от точки пересечения с $y=1$ ($x=4$) до точки пересечения с $y=-1$ ($x = 2 + \sqrt{6}$).

Ответ: $x \in [2 - \sqrt{6}; 0] \cup [4; 2 + \sqrt{6}]$.