Номер 819, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.6. Функция у =k/x и её график. Глава 5. Функции - номер 819, страница 268.

Условие.

819 В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:

a) $y = -\frac{1}{x}$ и $y = -x$;

б) $y = \frac{2}{x}$ и $y = x+1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Требуется построить графики функций $y = -\frac{1}{x}$ и $y = -x$ и найти их точки пересечения.

1. Построение графиков.

График функции $y = -\frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат ($x=0$ и $y=0$). Для построения найдем несколько точек:

• при $x=1$, $y=-1$;
• при $x=2$, $y=-0.5$;
• при $x=0.5$, $y=-2$;
• при $x=-1$, $y=1$;
• при $x=-2$, $y=0.5$;
• при $x=-0.5$, $y=2$.

График функции $y = -x$ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей. Для построения достаточно двух точек, например, $(0, 0)$ и $(1, -1)$.

2. Нахождение координат точек пересечения.

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений функций:

$-\frac{1}{x} = -x$

Умножим обе части уравнения на $-x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$1 = x^2$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из уравнений. Используем $y = -x$:

• Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -1$.
• Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -(-1) = 1$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках с координатами $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.

б)

Требуется построить графики функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = x + 1$ и найти их точки пересечения.

1. Построение графиков.

График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Для построения найдем несколько точек:

• при $x=1$, $y=2$;
• при $x=2$, $y=1$;
• при $x=-1$, $y=-2$;
• при $x=-2$, $y=-1$.

График функции $y = x + 1$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y=1$;
• при $x=1$, $y=2$.

Прямая пересекает ось OY в точке $(0, 1)$ и ось OX в точке $(-1, 0)$.

2. Нахождение координат точек пересечения.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{2}{x} = x + 1$

Умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$2 = x(x+1)$

$2 = x^2 + x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-2$, а сумма равна $-1$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1+3}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1-3}{2} = -2$

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = x + 1$:

• Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 + 1 = 2$.
• Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 + 1 = -1$.

Следовательно, точки пересечения графиков: $(1, 2)$ и $(-2, -1)$.

Ответ: $(1, 2)$ и $(-2, -1)$.