Номер 815, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.6. Функция у =k/x и её график. Глава 5. Функции - номер 815, страница 268.

Условие.

815 Постройте график функции $f(x) = -\frac{4}{x}$. По графику определите:

а) $f(5); f(-5); f(8); f(-8);$

б) значение $x$, при котором $f(x) = 8; f(x) = -8; f(x) = 6; f(x) = -6;$

в) возрастает или убывает функция при $x > 0$; при $x < 0$;

г) на каком промежутке значения функции положительны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Заданная функция $f(x) = -\frac{4}{x}$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола. Так как коэффициент $k = -4$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: ось $Oy$ (прямая $x=0$) и ось $Ox$ (прямая $y=0$).

Для построения графика составим таблицу значений для каждой ветви:

Ветвь в IV четверти ($x > 0$):

$x$	1	2	4	8	0.5
$f(x)$	-4	-2	-1	-0.5	-8

Ветвь во II четверти ($x < 0$):

$x$	-1	-2	-4	-8	-0.5
$f(x)$	4	2	1	0.5	8

По этим точкам строим две ветви гиперболы. Теперь, используя график и вычисления, ответим на вопросы.

а) Чтобы найти значения функции по графику, нужно найти на оси $Ox$ заданное значение аргумента, восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком и найти ординату точки пересечения. Для точности выполним вычисления:
$f(5) = -\frac{4}{5} = -0.8$
$f(-5) = -\frac{4}{-5} = \frac{4}{5} = 0.8$
$f(8) = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2} = -0.5$
$f(-8) = -\frac{4}{-8} = \frac{1}{2} = 0.5$
Ответ: $f(5) = -0.8$; $f(-5) = 0.8$; $f(8) = -0.5$; $f(-8) = 0.5$.

б) Чтобы найти значение $x$, при котором известно значение функции $f(x)$, нужно найти на оси $Oy$ заданное значение функции, провести горизонтальную линию до пересечения с графиком и найти абсциссу точки пересечения. Для точности решим уравнения:
$f(x) = 8 \implies -\frac{4}{x} = 8 \implies x = -\frac{4}{8} = -0.5$
$f(x) = -8 \implies -\frac{4}{x} = -8 \implies x = \frac{4}{8} = 0.5$
$f(x) = 6 \implies -\frac{4}{x} = 6 \implies x = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$
$f(x) = -6 \implies -\frac{4}{x} = -6 \implies x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Ответ: при $f(x) = 8$, $x = -0.5$; при $f(x) = -8$, $x = 0.5$; при $f(x) = 6$, $x = -2/3$; при $f(x) = -6$, $x = 2/3$.

в) Чтобы определить, возрастает или убывает функция, посмотрим на поведение графика при движении по нему слева направо.
При $x > 0$ (IV четверть) с увеличением $x$ (например, от 1 до 4) значение $y$ увеличивается (от -4 до -1). Значит, функция возрастает.
При $x < 0$ (II четверть) с увеличением $x$ (например, от -4 до -1) значение $y$ также увеличивается (от 1 до 4). Значит, функция возрастает.
Ответ: функция возрастает при $x > 0$ и при $x < 0$.

г) Значения функции положительны, когда её график лежит выше оси $Ox$.
Из графика видно, что это происходит для ветви, расположенной во II координатной четверти. Этой ветви соответствуют отрицательные значения аргумента $x$.
Алгебраически: $f(x) > 0 \implies -\frac{4}{x} > 0$. Так как числитель -4 отрицателен, для того чтобы дробь была положительной, знаменатель $x$ также должен быть отрицательным. То есть $x < 0$.
Ответ: значения функции положительны при $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 0)$.