Номер 817, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.6. Функция у =k/x и её график. Глава 5. Функции - номер 817, страница 268.

Условие.

817 В одной системе координат постройте графики функций: $y=\frac{1}{x}$, $y=\frac{4}{x}$, $y=-\frac{2}{x}$, $y=-\frac{8}{x}$. Как зависит расположение графика функции $y=\frac{k}{x}$ от модуля коэффициента $k$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Все представленные функции вида $y = \frac{k}{x}$ являются обратными пропорциональностями. Их графиком является гипербола. Расположение ветвей гиперболы зависит от знака коэффициента $k$. Если $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Если $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Для построения графиков составим таблицы значений для каждой функции.

y = 1/x

Коэффициент $k=1 > 0$. Ветви расположены в I и III четвертях.

x	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
y	-0.25	-0.5	-1	-2	2	1	0.5	0.25

y = 4/x

Коэффициент $k=4 > 0$. Ветви расположены в I и III четвертях.

x	-8	-4	-2	-1	1	2	4	8
y	-0.5	-1	-2	-4	4	2	1	0.5

y = -2/x

Коэффициент $k=-2 < 0$. Ветви расположены во II и IV четвертях.

x	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
y	0.5	1	2	4	-4	-2	-1	-0.5

y = -8/x

Коэффициент $k=-8 < 0$. Ветви расположены во II и IV четвертях.

x	-8	-4	-2	-1	1	2	4	8
y	1	2	4	8	-8	-4	-2	-1

Построим графики всех четырех функций в одной системе координат.

Теперь проанализируем, как расположение графика функции $y = \frac{k}{x}$ зависит от модуля коэффициента $k$.

Сравнивая графики функций с положительным коэффициентом $k$, $y = \frac{1}{x}$ ($|k|=1$) и $y = \frac{4}{x}$ ($|k|=4$), мы видим, что ветви гиперболы $y = \frac{4}{x}$ расположены дальше от осей координат, чем ветви гиперболы $y = \frac{1}{x}$. Для любого значения $x_0 > 0$ точка на графике $y=\frac{4}{x}$ будет иметь ординату в 4 раза больше, чем точка на графике $y=\frac{1}{x}$.

Аналогично, при сравнении графиков с отрицательным $k$, $y = -\frac{2}{x}$ ($|k|=2$) и $y = -\frac{8}{x}$ ($|k|=8$), ветви гиперболы $y = -\frac{8}{x}$ также расположены дальше от осей координат, чем ветви $y = -\frac{2}{x}$.

Таким образом, можно сделать общий вывод: чем больше значение модуля коэффициента $|k|$, тем дальше от осей координат расположены ветви гиперболы. График как бы "растягивается" от начала координат при увеличении $|k|$.

Ответ: Чем больше модуль коэффициента $k$, тем дальше от осей координат расположены ветви графика функции (гиперболы) $y = \frac{k}{x}$.