Номер 814, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.6. Функция у =k/x и её график. Глава 5. Функции - номер 814, страница 268.

Условие.

814 Постройте график функции $y = \frac{8}{x}$. По графику определите:

а) возрастает или убывает функция при $x > 0$; при $x < 0$;

б) на каком промежутке значения функции отрицательны;

в) значение $y$ при $x = 2,5$; $-2,5$;

г) значение $x$, при котором $y = 5$; $-5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для построения графика функции $y = \frac{8}{x}$ необходимо сначала составить таблицу значений. Эта функция является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола, состоящая из двух ветвей. Так как коэффициент $k=8$ положителен ($k > 0$), ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Составим таблицу значений для положительных $x$ (I четверть):

$x$	1	2	4	8
$y$	8	4	2	1

Функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{8}{-x} = -\frac{8}{x} = -y(x)$. Это означает, что график симметричен относительно начала координат. Поэтому для отрицательных $x$ (III четверть) значения $y$ будут противоположны по знаку:

$x$	-1	-2	-4	-8
$y$	-8	-4	-2	-1

Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, мы получим график гиперболы. Теперь, анализируя график, ответим на поставленные вопросы.

а) возрастает или убывает функция при $x > 0$; при $x < 0$;
На промежутке $x > 0$ (ветвь в I четверти) при движении по графику слева направо (с увеличением $x$) мы видим, что график идет вниз, то есть значения $y$ уменьшаются. Следовательно, функция убывает.
На промежутке $x < 0$ (ветвь в III четверти) при движении по графику слева направо (с увеличением $x$, например, от -8 до -1) мы также видим, что график идет вниз (значения $y$ уменьшаются от -1 до -8). Следовательно, функция также убывает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.

б) на каком промежутке значения функции отрицательны;
Значения функции отрицательны ($y < 0$) там, где ее график находится ниже оси абсцисс ($Ox$). Это соответствует ветви гиперболы в III координатной четверти. Для всех точек на этой ветви абсциссы ($x$) отрицательны.
Ответ: значения функции отрицательны при $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 0)$.

в) значение $y$ при $x = 2,5$; $-2,5$;
Чтобы найти значение $y$ по графику, нужно найти на оси $Ox$ точку $x=2,5$, провести перпендикуляр до пересечения с графиком и найти ординату этой точки пересечения. Аналогично для $x=-2,5$. Для более точного ответа воспользуемся формулой.
При $x=2,5$: $y = \frac{8}{2,5} = \frac{80}{25} = \frac{16}{5} = 3,2$.
При $x=-2,5$: $y = \frac{8}{-2,5} = -3,2$.
Ответ: при $x=2,5$, $y=3,2$; при $x=-2,5$, $y=-3,2$.

г) значение $x$, при котором $y = 5$; $-5$.
Чтобы найти значение $x$ по графику, нужно найти на оси $Oy$ точку $y=5$, провести перпендикуляр до пересечения с графиком и найти абсциссу этой точки пересечения. Аналогично для $y=-5$. Для точности используем формулу, выразив из нее $x$: $x = \frac{8}{y}$.
При $y=5$: $x = \frac{8}{5} = 1,6$.
При $y=-5$: $x = \frac{8}{-5} = -1,6$.
Ответ: $y=5$ при $x=1,6$; $y=-5$ при $x=-1,6$.