Номер 813, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.6. Функция у =k/x и её график. Глава 5. Функции - номер 813, страница 267.

Условие.

813 Функция задана формулой $f(x) = -\frac{6}{x}$.

a) Заполните таблицу:

x 1 2 3 4 6 -1 -2 -3 -4 -6

f(x)

б) Постройте график функции.

в) Определите промежуток, на котором $f(x) > 0$; $f(x) < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Заполните таблицу:

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо вычислить значение функции $f(x) = -\frac{6}{x}$ для каждого заданного значения аргумента $x$.

При $x = 1$: $f(1) = -\frac{6}{1} = -6$
При $x = 2$: $f(2) = -\frac{6}{2} = -3$
При $x = 3$: $f(3) = -\frac{6}{3} = -2$
При $x = 4$: $f(4) = -\frac{6}{4} = -1.5$
При $x = 6$: $f(6) = -\frac{6}{6} = -1$
При $x = -1$: $f(-1) = -\frac{6}{-1} = 6$
При $x = -2$: $f(-2) = -\frac{6}{-2} = 3$
При $x = -3$: $f(-3) = -\frac{6}{-3} = 2$
При $x = -4$: $f(-4) = -\frac{6}{-4} = 1.5$
При $x = -6$: $f(-6) = -\frac{6}{-6} = 1$

Ответ:

$x$	1	2	3	4	6	-1	-2	-3	-4	-6
$f(x)$	-6	-3	-2	-1.5	-1	6	3	2	1.5	1

б) Постройте график функции.

График функции $f(x) = -\frac{6}{x}$ является гиперболой. Это частный случай обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = -6$.

Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во второй (II) и четвертой (IV) координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: ось Ox ($y=0$) и ось Oy ($x=0$), к которым ветви графика приближаются, но не пересекают.

Для построения графика на координатной плоскости отметим точки, вычисленные в пункте а):

• Точки для ветви в IV четверти ($x > 0$): (1, -6), (2, -3), (3, -2), (4, -1.5), (6, -1).
• Точки для ветви во II четверти ($x < 0$): (-1, 6), (-2, 3), (-3, 2), (-4, 1.5), (-6, 1).

Соединив точки в каждой четверти плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: График функции $f(x) = -\frac{6}{x}$ — это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях, с осями координат в качестве асимптот. График строится по точкам, например: (1, -6), (2, -3), (6, -1), (-1, 6), (-2, 3), (-6, 1).

в) Определите промежуток, на котором $f(x) > 0$; $f(x) < 0$.

Для определения промежутков знакопостоянства функции решим соответствующие неравенства.

1. Найдем, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x) > 0$:
$-\frac{6}{x} > 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{6}{x} < 0$
Так как числитель дроби (6) — положительное число, дробь будет отрицательной только в том случае, если ее знаменатель отрицателен:
$x < 0$
Следовательно, функция принимает положительные значения на промежутке $(-\infty, 0)$.

2. Найдем, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x) < 0$:
$-\frac{6}{x} < 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{6}{x} > 0$
Так как числитель дроби (6) — положительное число, дробь будет положительной только в том случае, если ее знаменатель также положителен:
$x > 0$
Следовательно, функция принимает отрицательные значения на промежутке $(0, \infty)$.

Этот результат также можно увидеть на графике: при $x < 0$ (II четверть) график расположен выше оси Ox, а при $x > 0$ (IV четверть) — ниже оси Ox.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 0)$; $f(x) < 0$ при $x \in (0, \infty)$.