Страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Какие из функций, заданных формулами $y = 3x - 1$, $y = \frac{3}{x}$, $y = -\frac{x}{5}$, $y = \frac{2}{x^2}$, являются обратной пропорциональностью (обоснуйте ответ)? Что является областью определения обратной пропорциональности?

Какие из функций, заданных формулами $y = 3x - 1, y = \frac{3}{x}, y = -\frac{x}{5}, y = \frac{2}{x^2}$, являются обратной пропорциональностью (обоснуйте ответ)?

По определению, обратная пропорциональность — это функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ — не равное нулю число (коэффициент обратной пропорциональности). Проанализируем каждую из данных функций:

1. Функция $y = 3x - 1$ является линейной функцией вида $y = mx + b$. Она не соответствует определению обратной пропорциональности.

2. Функция $y = \frac{3}{x}$ полностью соответствует виду $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = 3$. Следовательно, это обратная пропорциональность.

3. Функция $y = -\frac{x}{5}$ может быть записана как $y = -\frac{1}{5}x$. Это функция прямой пропорциональности вида $y = kx$, а не обратной.

4. Функция $y = \frac{2}{x^2}$ не является обратной пропорциональностью, так как в ее формуле переменная $x$ находится в знаменателе во второй степени, а не в первой, как этого требует определение.

Таким образом, из всех перечисленных функций только $y = \frac{3}{x}$ является обратной пропорциональностью.

Ответ: $y = \frac{3}{x}$.

Что является областью определения обратной пропорциональности?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента ($x$), при которых выражение для функции имеет смысл. Функция обратной пропорциональности задается общей формулой $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$.

Единственное ограничение для данной дроби — ее знаменатель не может быть равен нулю, так как операция деления на ноль не определена. Поэтому для функции $y = \frac{k}{x}$ должно выполняться условие $x \neq 0$.

Следовательно, областью определения функции обратной пропорциональности является множество всех действительных чисел, кроме нуля. Это можно записать в виде объединения интервалов: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Ответ: все действительные числа, кроме 0, то есть $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Опираясь на график функции $y=\frac{12}{x}$, изображённый на рисунке 5.49, опишите особенности графика функции $y=\frac{k}{x}$ при $k > 0$.

Функция $y=\frac{k}{x}$ при $k > 0$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола. На основе примера графика функции $y=\frac{12}{x}$ можно выделить следующие общие особенности для всех функций вида $y=\frac{k}{x}$ при $k > 0$.

1. Область определения

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Функция определена для всех действительных чисел, кроме нуля.

Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений

Так как $k \ne 0$, то значение дроби $\frac{k}{x}$ никогда не будет равно нулю. Функция может принимать любые другие действительные значения.

Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Расположение графика

График функции состоит из двух частей, называемых ветвями. Поскольку $k > 0$, знак $y$ совпадает со знаком $x$.

• Если $x > 0$, то $y > 0$ — ветвь графика находится в I координатной четверти.
• Если $x < 0$, то $y < 0$ — ветвь графика находится в III координатной четверти.

Ответ: Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

4. Асимптоты

Ветви гиперболы неограниченно приближаются к осям координат, но никогда их не пересекают. Такие линии называются асимптотами.

• Ось $Ox$ (уравнение $y=0$) является горизонтальной асимптотой.
• Ось $Oy$ (уравнение $x=0$) является вертикальной асимптотой.

Ответ: Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами графика.

5. Симметрия

Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{k}{-x} = - \frac{k}{x} = -y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат — точки $(0; 0)$.

Ответ: График симметричен относительно начала координат.

6. Монотонность (промежутки убывания)

При $k>0$ с увеличением положительного значения $x$ значение $y$ уменьшается, и с увеличением по модулю отрицательного значения $x$ (т.е. при движении от $0$ к $-\infty$) значение $y$ также уменьшается. Функция убывает на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: Функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

7. Нули функции

Функция не обращается в ноль ни при каких значениях $x$, так как дробь $\frac{k}{x}$ равна нулю только если числитель $k=0$, что противоречит условию $k > 0$. График не пересекает ось абсцисс ($Ox$).

Ответ: Нулей у функции нет.

8. Влияние коэффициента k

Коэффициент $k$ влияет на "крутизну" и расположение ветвей гиперболы. Чем больше абсолютное значение $k$, тем дальше от осей координат располагаются ветви графика. Например, для точки с абсциссой $x=1$ ордината будет равна $y=k$. С ростом $k$ эта точка будет находиться всё выше, "оттягивая" за собой всю ветвь гиперболы от осей.

Ответ: Чем больше значение $k > 0$, тем дальше ветви гиперболы расположены от начала координат.

Чем отличается график функции $y = -\frac{12}{x}$ (см. рис. 5.50) от графика функции $y = \frac{12}{x}$?

Обе функции, $y = -\frac{12}{x}$ и $y = \frac{12}{x}$, представляют собой обратную пропорциональность, а их графиками являются гиперболы. Основное отличие между этими графиками заключается в их расположении на координатной плоскости.

1. Расположение ветвей гиперболы

Расположение ветвей гиперболы вида $y=\frac{k}{x}$ зависит от знака коэффициента $k$.

• Для функции $y = \frac{12}{x}$, коэффициент $k = 12 > 0$. Это означает, что ветви графика расположены в I и III координатных четвертях.
  • При $x>0$, $y>0$ (I четверть).
  • При $x<0$, $y<0$ (III четверть).
• Для функции $y = -\frac{12}{x}$, коэффициент $k = -12 < 0$. Это означает, что ветви графика расположены во II и IV координатных четвертях.
  • При $x>0$, $y<0$ (IV четверть).
  • При $x<0$, $y>0$ (II четверть).

2. Геометрическое преобразование

Если сравнить две функции, то можно заметить, что для любого значения $x$ (кроме $x=0$), значение функции $y = -\frac{12}{x}$ будет противоположно по знаку значению функции $y = \frac{12}{x}$.

Это означает, что если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = \frac{12}{x}$, то точка $(x_0, -y_0)$ будет принадлежать графику функции $y = -\frac{12}{x}$. Преобразование координат $(x, y) \rightarrow (x, -y)$ является симметрией относительно оси абсцисс (оси Ox).

Таким образом, график функции $y = -\frac{12}{x}$ можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ путем его симметричного отражения относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y = -\frac{12}{x}$ отличается от графика функции $y = \frac{12}{x}$ тем, что его ветви расположены во II и IV координатных четвертях, в отличие от ветвей графика $y = \frac{12}{x}$, которые расположены в I и III четвертях. График функции $y = -\frac{12}{x}$ является зеркальным отражением графика $y = \frac{12}{x}$ относительно оси абсцисс (Ox).

В каких координатных четвертях расположен график функции: $y = \frac{6}{x}$; $y = -\frac{3}{x}$; $y = -\frac{1,5}{x}$; $y = \frac{2,5}{x}$? Как называется график функции $y = \frac{k}{x}$?

Функция вида $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$, называется обратной пропорциональностью. Расположение ее графика, который называется гиперболой, на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$.

• Если коэффициент $k > 0$, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях (где знаки координат $x$ и $y$ совпадают).
• Если коэффициент $k < 0$, то ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях (где знаки координат $x$ и $y$ противоположны).

$y = \frac{6}{x}$
В этой функции коэффициент $k=6$. Так как $k > 0$, график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.
Ответ: I и III четверти.

$y = -\frac{3}{x}$
В этой функции коэффициент $k=-3$. Так как $k < 0$, график функции расположен во второй и четвертой координатных четвертях.
Ответ: II и IV четверти.

$y = -\frac{1,5}{x}$
В этой функции коэффициент $k=-1,5$. Так как $k < 0$, график функции расположен во второй и четвертой координатных четвертях.
Ответ: II и IV четверти.

$y = \frac{2,5}{x}$
В этой функции коэффициент $k=2,5$. Так как $k > 0$, график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.
Ответ: I и III четверти.

Как называется график функции $y = \frac{k}{x}$?
График функции обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$ (при $k \neq 0$) называется гиперболой.
Ответ: гипербола.

812 Функция задана формулой $y = \frac{6}{x}$.

а) Заполните таблицу:

x: 1, 2, 3, 4, 6, -1, -2, -3, -4, -6

y: (пусто)

б) Постройте график функции.

в) Определите промежуток, на котором значения функции положительны; отрицательны.

а) Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо подставить каждое значение $x$ из верхней строки в формулу функции $y = \frac{6}{x}$ и вычислить соответствующее значение $y$.

• При $x=1$, $y = \frac{6}{1} = 6$
• При $x=2$, $y = \frac{6}{2} = 3$
• При $x=3$, $y = \frac{6}{3} = 2$
• При $x=4$, $y = \frac{6}{4} = 1,5$
• При $x=6$, $y = \frac{6}{6} = 1$
• При $x=-1$, $y = \frac{6}{-1} = -6$
• При $x=-2$, $y = \frac{6}{-2} = -3$
• При $x=-3$, $y = \frac{6}{-3} = -2$
• При $x=-4$, $y = \frac{6}{-4} = -1,5$
• При $x=-6$, $y = \frac{6}{-6} = -1$

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: см. заполненную таблицу.

б) Графиком функции $y = \frac{6}{x}$ является гипербола. Для построения графика используем точки из таблицы, вычисленные в предыдущем пункте.

1. Построим прямоугольную систему координат $Oxy$.

2. Отметим на плоскости точки, координаты которых мы нашли: $(1; 6)$, $(2; 3)$, $(3; 2)$, $(4; 1,5)$, $(6; 1)$. Эти точки лежат в I координатной четверти.

3. Соединим эти точки плавной кривой. Эта кривая является одной из ветвей гиперболы. Она приближается к оси $Ox$ при увеличении $x$ и к оси $Oy$ при приближении $x$ к нулю справа.

4. Аналогично отметим точки с отрицательными координатами: $(-1; -6)$, $(-2; -3)$, $(-3; -2)$, $(-4; -1,5)$, $(-6; -1)$. Эти точки лежат в III координатной четверти.

5. Соединим их плавной кривой, чтобы получить вторую ветвь гиперболы. Эта ветвь приближается к оси $Ox$ при уменьшении $x$ (когда $x$ стремится к $-\infty$) и к оси $Oy$ при приближении $x$ к нулю слева.

Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами для графика данной функции, то есть график бесконечно к ним приближается, но никогда не пересекает.

Ответ: графиком функции является гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Оси координат служат асимптотами графика.

в) Чтобы определить, на каких промежутках значения функции положительны или отрицательны, проанализируем выражение $y = \frac{6}{x}$.

Значения функции положительны ($y > 0$), если числитель и знаменатель дроби имеют одинаковый знак. Числитель 6 всегда положителен. Следовательно, для того чтобы $y$ был положителен, знаменатель $x$ также должен быть положителен. Таким образом, $y > 0$ при $x > 0$.

Значения функции отрицательны ($y < 0$), если числитель и знаменатель дроби имеют разные знаки. Так как числитель 6 положителен, знаменатель $x$ должен быть отрицателен. Таким образом, $y < 0$ при $x < 0$.

Это также видно из графика: ветвь в I четверти (где $x > 0$) лежит выше оси $Ox$ (то есть $y > 0$), а ветвь в III четверти (где $x < 0$) лежит ниже оси $Ox$ (то есть $y < 0$).

Ответ: значения функции положительны на промежутке $(0; +\infty)$; значения функции отрицательны на промежутке $(-\infty; 0)$.

813 Функция задана формулой $f(x) = -\frac{6}{x}$.

a) Заполните таблицу:

x 1 2 3 4 6 -1 -2 -3 -4 -6

f(x)

б) Постройте график функции.

в) Определите промежуток, на котором $f(x) > 0$; $f(x) < 0$.

а) Заполните таблицу:

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо вычислить значение функции $f(x) = -\frac{6}{x}$ для каждого заданного значения аргумента $x$.

При $x = 1$: $f(1) = -\frac{6}{1} = -6$
При $x = 2$: $f(2) = -\frac{6}{2} = -3$
При $x = 3$: $f(3) = -\frac{6}{3} = -2$
При $x = 4$: $f(4) = -\frac{6}{4} = -1.5$
При $x = 6$: $f(6) = -\frac{6}{6} = -1$
При $x = -1$: $f(-1) = -\frac{6}{-1} = 6$
При $x = -2$: $f(-2) = -\frac{6}{-2} = 3$
При $x = -3$: $f(-3) = -\frac{6}{-3} = 2$
При $x = -4$: $f(-4) = -\frac{6}{-4} = 1.5$
При $x = -6$: $f(-6) = -\frac{6}{-6} = 1$

Ответ:

б) Постройте график функции.

График функции $f(x) = -\frac{6}{x}$ является гиперболой. Это частный случай обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = -6$.

Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во второй (II) и четвертой (IV) координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: ось Ox ($y=0$) и ось Oy ($x=0$), к которым ветви графика приближаются, но не пересекают.

Для построения графика на координатной плоскости отметим точки, вычисленные в пункте а):

• Точки для ветви в IV четверти ($x > 0$): (1, -6), (2, -3), (3, -2), (4, -1.5), (6, -1).
• Точки для ветви во II четверти ($x < 0$): (-1, 6), (-2, 3), (-3, 2), (-4, 1.5), (-6, 1).

Соединив точки в каждой четверти плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: График функции $f(x) = -\frac{6}{x}$ — это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях, с осями координат в качестве асимптот. График строится по точкам, например: (1, -6), (2, -3), (6, -1), (-1, 6), (-2, 3), (-6, 1).

в) Определите промежуток, на котором $f(x) > 0$; $f(x) < 0$.

Для определения промежутков знакопостоянства функции решим соответствующие неравенства.

1. Найдем, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x) > 0$:
$-\frac{6}{x} > 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{6}{x} < 0$
Так как числитель дроби (6) — положительное число, дробь будет отрицательной только в том случае, если ее знаменатель отрицателен:
$x < 0$
Следовательно, функция принимает положительные значения на промежутке $(-\infty, 0)$.

2. Найдем, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x) < 0$:
$-\frac{6}{x} < 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{6}{x} > 0$
Так как числитель дроби (6) — положительное число, дробь будет положительной только в том случае, если ее знаменатель также положителен:
$x > 0$
Следовательно, функция принимает отрицательные значения на промежутке $(0, \infty)$.

Этот результат также можно увидеть на графике: при $x < 0$ (II четверть) график расположен выше оси Ox, а при $x > 0$ (IV четверть) — ниже оси Ox.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 0)$; $f(x) < 0$ при $x \in (0, \infty)$.