Страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

804 Муравей ползёт по шесту для флага, воткнутому вертикально в землю. Длина шеста 4 м. Муравей начал свой путь в 20 см от земли и ползёт вверх с постоянной скоростью 40 см/мин.

а) Задайте формулой расстояние $s$, на котором находится муравей от земли, как функцию времени его движения $t$.

б) Укажите область определения этой функции.

в) Постройте график функции, выбрав удобные единицы на осях.

г) Определите по графику, на какой высоте от земли муравей будет через 3 мин и через сколько минут он доползёт до вершины шеста.

а) Расстояние $s$ (в сантиметрах), на котором находится муравей от земли, зависит от времени его движения $t$ (в минутах). Это расстояние складывается из начальной высоты и пути, который муравей прополз.
Начальная высота: 20 см.
Скорость муравья: 40 см/мин.
Путь, пройденный за время $t$: $40 \cdot t$ см.
Таким образом, функция, описывающая расстояние муравья от земли, имеет вид: $s(t) = 20 + 40t$.
Ответ: $s = 20 + 40t$, где $s$ измеряется в сантиметрах, а $t$ – в минутах.

б) Область определения функции — это все возможные значения времени $t$.
Движение начинается в момент времени $t=0$.
Движение заканчивается, когда муравей достигает вершины шеста. Длина шеста составляет 4 м, что равно $4 \cdot 100 = 400$ см.
Найдем время, когда высота $s$ станет равна 400 см:
$400 = 20 + 40t$
$40t = 400 - 20$
$40t = 380$
$t = \frac{380}{40} = \frac{38}{4} = 9,5$ минут.
Следовательно, время движения $t$ может изменяться от 0 до 9,5 минут включительно.
Ответ: Область определения функции: $t \in [0; 9,5]$.

в) Функция $s = 20 + 40t$ является линейной, её график — прямая линия. Поскольку у нас есть область определения $t \in [0; 9,5]$, графиком будет отрезок прямой.
Для построения графика выберем удобные единицы и найдем координаты двух точек (начальной и конечной):
1. Начальная точка (при $t=0$): $s = 20 + 40 \cdot 0 = 20$. Координаты точки: $(0; 20)$.
2. Конечная точка (при $t=9,5$): $s = 20 + 40 \cdot 9,5 = 20 + 380 = 400$. Координаты точки: $(9,5; 400)$.
Построим систему координат:

• Ось абсцисс (горизонтальная) — время $t$ в минутах. Удобный масштаб: 1 клетка = 1 минута.
• Ось ординат (вертикальная) — расстояние $s$ в сантиметрах. Удобный масштаб: 1 клетка = 50 см.

Отметим на координатной плоскости точки $(0; 20)$ и $(9,5; 400)$ и соединим их отрезком.
Ответ: Графиком функции является отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(0; 20)$ и $(9,5; 400)$ в системе координат, где по оси абсцисс отложено время $t$ в минутах, а по оси ординат — расстояние $s$ в сантиметрах.

г) Определим значения по графику (и проверим вычислениями).
1. Чтобы найти высоту муравья через 3 минуты, нужно на оси времени $t$ найти значение 3, подняться от него вертикально до пересечения с графиком, а затем провести горизонтальную линию до оси расстояния $s$. Эта линия укажет на значение 140.
Расчет: $s(3) = 20 + 40 \cdot 3 = 20 + 120 = 140$ см.
2. Чтобы найти, через сколько минут муравей доползёт до вершины шеста (высота 400 см), нужно на оси расстояния $s$ найти значение 400, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем опустить перпендикуляр на ось времени $t$. Этот перпендикуляр укажет на значение 9,5.
Расчет (уже выполнен в пункте б)): $t = 9,5$ минут.
Ответ: Через 3 мин муравей будет на высоте 140 см от земли, а до вершины шеста он доползёт через 9,5 минут.

ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ (805–806)

805 Скорость звука в воздухе примерно 0,3 км/с. Во время грозы вы сначала видите молнию и лишь через некоторое время слышите гром. Задайте формулой функцию $y = f(x)$, где:

a) $y$ — расстояние, на котором вы находитесь от места удара молнии, $x$ — время между вспышкой молнии и громом;

б) $y$ — время между вспышкой молнии и громом, $x$ — расстояние, на котором вы находитесь от места удара молнии. Постройте график каждой функции.

а) По условию, $y$ — это расстояние в километрах от места удара молнии, а $x$ — время в секундах между вспышкой молнии и громом. Скорость звука в воздухе дана как $v \approx 0,3$ км/с. Связь между расстоянием ($S$), скоростью ($v$) и временем ($t$) описывается формулой $S = v \cdot t$. В нашем случае вспышку молнии мы видим практически мгновенно (так как скорость света очень велика), поэтому время $x$ — это время, за которое звук (гром) преодолевает расстояние $y$ от места удара молнии до наблюдателя. Подставляя наши переменные в формулу, получаем: $y = v \cdot x$. Подставив значение скорости звука, получим искомую функцию: $y = 0,3x$ Это функция прямой пропорциональности. Графиком такой функции является прямая линия, проходящая через начало координат. Поскольку время и расстояние не могут быть отрицательными в данном контексте ($x \ge 0, y \ge 0$), график функции представляет собой луч, выходящий из точки $(0; 0)$. Для построения графика найдем координаты еще одной точки, принадлежащей этому лучу. Возьмем, к примеру, $x = 10$ с. Тогда $y = 0,3 \cdot 10 = 3$ км. Таким образом, график функции — это луч, выходящий из начала координат (точка $(0; 0)$) и проходящий через точку $(10; 3)$. По оси абсцисс откладывается время $x$ в секундах, а по оси ординат — расстояние $y$ в километрах.
Ответ: $y = 0,3x$.

б) В этом случае переменные поменялись ролями: $y$ — это время в секундах, а $x$ — расстояние в километрах. Скорость звука остается прежней: $v \approx 0,3$ км/с. Снова используем основную физическую формулу $S = v \cdot t$. Подставляя переменные из условия этого пункта ($S=x$, $t=y$), получаем: $x = v \cdot y$ Чтобы задать функцию $y = f(x)$, нам нужно выразить $y$ через $x$. Для этого разделим обе части равенства на $v$: $y = \frac{x}{v}$ Подставим значение скорости: $y = \frac{x}{0,3}$ Преобразуем коэффициент: $\frac{1}{0,3} = \frac{1}{3/10} = \frac{10}{3}$. Таким образом, искомая функция имеет вид: $y = \frac{10}{3}x$ Это также функция прямой пропорциональности, и её график — луч, выходящий из начала координат ($x \ge 0, y \ge 0$). Для построения графика найдем координаты еще одной точки. Возьмем, к примеру, $x = 3$ км. Тогда $y = \frac{10}{3} \cdot 3 = 10$ с. Таким образом, график функции — это луч, выходящий из начала координат (точка $(0; 0)$) и проходящий через точку $(3; 10)$. По оси абсцисс откладывается расстояние $x$ в километрах, а по оси ординат — время $y$ в секундах.
Ответ: $y = \frac{10}{3}x$.

806 АНАЛИЗИРУЕМ

Оптовый магазин продаёт тетради, устанавливая цену одной тетради таким образом: при покупке от 1 до 50 тетрадей — 2 р. за тетрадь, следующие 50—100 тетрадей — 1,5 р. за тетрадь и, наконец, каждая тетрадь сверх 100 штук — 1 р. за тетрадь. Какой из графиков (рис. 5.45) может быть использован для определения стоимости покупки $n$ тетрадей?

Цена, р.

$n$, шт.

①

Цена, р.

$n$, шт.

②

Цена, р.

$n$, шт.

③

Рис. 5.45

Для решения задачи необходимо проанализировать, как меняется общая стоимость покупки $C$ в зависимости от количества тетрадей $n$. Мы разобьем задачу на три случая в соответствии с условием.

1. При покупке от 1 до 50 тетрадей ($1 \le n \le 50$):

Стоимость каждой тетради составляет 2 рубля. Общая стоимость покупки $C(n)$ вычисляется по формуле:

$C(n) = 2 \cdot n$

Это линейная функция, график которой — отрезок прямой, проходящий через начало координат. Угловой коэффициент (скорость роста стоимости) на этом участке равен 2. При покупке 50 тетрадей стоимость составит $C(50) = 2 \cdot 50 = 100$ рублей.

2. При покупке от 51 до 100 тетрадей ($51 \le n \le 100$):

Стоимость первых 50 тетрадей фиксирована и составляет 100 рублей. Каждая следующая тетрадь (с 51-й по 100-ю) стоит 1,5 рубля. Количество таких тетрадей равно $(n - 50)$. Таким образом, общая стоимость покупки вычисляется по формуле:

$C(n) = C(50) + 1.5 \cdot (n - 50) = 100 + 1.5n - 75 = 1.5n + 25$

На этом участке график также является отрезком прямой, но с меньшим угловым коэффициентом, равным 1,5. Это означает, что стоимость продолжает расти, но медленнее, чем на первом участке. Стоимость 100 тетрадей будет равна $C(100) = 1.5 \cdot 100 + 25 = 175$ рублей.

3. При покупке свыше 100 тетрадей ($n > 100$):

Стоимость первых 100 тетрадей фиксирована и составляет 175 рублей. Каждая тетрадь сверх 100 стоит 1 рубль. Количество таких тетрадей равно $(n - 100)$. Общая стоимость покупки вычисляется по формуле:

$C(n) = C(100) + 1 \cdot (n - 100) = 175 + n - 100 = n + 75$

На этом участке график снова является отрезком прямой с еще меньшим угловым коэффициентом, равным 1. Стоимость продолжает расти, но еще медленнее.

Сводный анализ и выбор графика:

Итоговая функция стоимости $C(n)$ является непрерывной и кусочно-линейной. Она состоит из трех отрезков прямых. Угловые коэффициенты (наклоны) этих отрезков последовательно уменьшаются: $2 \rightarrow 1.5 \rightarrow 1$. Это означает, что график функции должен становиться все более пологим по мере увеличения $n$.

Теперь рассмотрим предложенные графики:

• График ①: Этот график состоит из трех соединенных отрезков прямой. Наклон первого отрезка самый большой, наклон второго меньше, а наклон третьего — самый маленький. График непрерывно возрастает, но скорость роста замедляется. Это в точности соответствует нашему анализу.
• График ②: Этот график также состоит из трех отрезков, но их наклон последовательно увеличивается. Это бы соответствовало ситуации, когда цена за тетрадь растет при увеличении количества, что противоречит условию задачи.
• График ③: Этот график является ступенчатым и показывает, как меняется цена за одну тетрадь в зависимости от общего количества. Он не показывает общую стоимость покупки. Например, при $n=50$ общая стоимость равна 100 р., а не 2 р.

Следовательно, для определения общей стоимости покупки $n$ тетрадей подходит только график ①.

Ответ: График ①.