Страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

791 Николай заработал в каникулы 1000 р., работая на почте. Он тратит эти деньги в среднем по 25 р. в день.

Запишите формулу

Запишите формулу, выражающую зависимость оставшейся у него суммы денег $y$ от числа прошедших дней $x$.

Объясните линейность функции

Объясните, почему эта функция является линейной.

Укажите область определения

Укажите область определения функции.

Возрастающая или убывающая функция?

Возрастающей или убывающей является функция?

Найдите значение функции

Найдите значение функции при $x = 1$; $10$; $25$. В каждом случае объясните с точки зрения условия, что вы находите.

Запишите формулу, выражающую зависимость оставшейся у него суммы денег y от числа прошедших дней x.

Пусть $y$ — это оставшаяся сумма денег в рублях, а $x$ — количество прошедших дней. Изначально у Николая было 1000 рублей. Каждый день эта сумма уменьшается на 25 рублей. Сумма, потраченная за $x$ дней, составит $25 \cdot x$ рублей. Чтобы найти оставшуюся сумму $y$, нужно из начальной суммы вычесть потраченную.

Ответ: $y = 1000 - 25x$

Объясните, почему эта функция является линейной.

Линейная функция — это функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Полученную нами формулу $y = 1000 - 25x$ можно переписать в стандартном виде как $y = -25x + 1000$. В данном случае угловой коэффициент $k = -25$, а свободный член $b = 1000$. Поскольку зависимость $y$ от $x$ выражается формулой такого вида, она является линейной.

Ответ: Функция является линейной, так как она имеет вид $y = kx + b$, где $k=-25$ и $b=1000$.

Укажите область определения функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. В контексте задачи $x$ обозначает количество дней, поэтому оно не может быть отрицательным, то есть $x \ge 0$. Также трата денег имеет смысл только до тех пор, пока они не закончатся. Найдем, при каком значении $x$ оставшаяся сумма $y$ станет равной нулю:
$1000 - 25x = 0$
$25x = 1000$
$x = \frac{1000}{25} = 40$
Значит, деньги закончатся через 40 дней. Таким образом, $x$ может принимать целые значения от 0 до 40 включительно.

Ответ: Областью определения функции являются целые числа из отрезка $[0; 40]$, то есть $x \in \{0, 1, 2, ..., 40\}$.

Возрастающей или убывающей является функция?

Для линейной функции $y = kx + b$ ее возрастание или убывание определяется знаком углового коэффициента $k$. Если $k > 0$, функция возрастает. Если $k < 0$, функция убывает. В нашей функции $y = -25x + 1000$ коэффициент $k = -25$. Поскольку $k < 0$, функция является убывающей. Смысл этого в том, что с каждым прошедшим днем (увеличением $x$) количество денег у Николая (значение $y$) уменьшается.

Ответ: Функция является убывающей.

Найдите значение функции при x = 1; 10; 25. В каждом случае объясните с точки зрения условия, что вы находите.

Для нахождения значений функции подставим соответствующие значения $x$ в формулу $y = 1000 - 25x$.

При $x = 1$:
$y(1) = 1000 - 25 \cdot 1 = 975$.
Это означает, что через 1 день у Николая останется 975 рублей.

При $x = 10$:
$y(10) = 1000 - 25 \cdot 10 = 1000 - 250 = 750$.
Это означает, что через 10 дней у Николая останется 750 рублей.

При $x = 25$:
$y(25) = 1000 - 25 \cdot 25 = 1000 - 625 = 375$.
Это означает, что через 25 дней у Николая останется 375 рублей.

Ответ: При $x=1$ значение функции равно 975; при $x=10$ — 750; при $x=25$ — 375. Каждое значение представляет собой сумму денег в рублях, которая останется у Николая по прошествии соответствующего количества дней.

792 Дана линейная функция $f(x) = 100x - 2$.

а) Найдите $f(0)$, $f(1)$, $f(-1)$, $f(0,3)$, $f(-2,4)$.

б) Найдите значение $x$, при котором $f(x) = 100$, $f(x) = -1$, $f(x) = 0$, $f(x) = -5$.

Дана линейная функция $f(x) = 100x - 2$.

а) Для нахождения значений функции $f(x)$ при заданных значениях аргумента $x$, необходимо подставить эти значения в формулу функции.

При $x = 0$:
$f(0) = 100 \cdot 0 - 2 = 0 - 2 = -2$

При $x = 1$:
$f(1) = 100 \cdot 1 - 2 = 100 - 2 = 98$

При $x = -1$:
$f(-1) = 100 \cdot (-1) - 2 = -100 - 2 = -102$

При $x = 0,3$:
$f(0,3) = 100 \cdot 0,3 - 2 = 30 - 2 = 28$

При $x = -2,4$:
$f(-2,4) = 100 \cdot (-2,4) - 2 = -240 - 2 = -242$

Ответ: $f(0) = -2$; $f(1) = 98$; $f(-1) = -102$; $f(0,3) = 28$; $f(-2,4) = -242$.

б) Для нахождения значений $x$, при которых функция принимает заданные значения, необходимо приравнять выражение для функции к этим значениям и решить полученные линейные уравнения.

Если $f(x) = 100$, то получаем уравнение:
$100x - 2 = 100$
$100x = 100 + 2$
$100x = 102$
$x = \frac{102}{100} = 1,02$

Если $f(x) = -1$, то получаем уравнение:
$100x - 2 = -1$
$100x = -1 + 2$
$100x = 1$
$x = \frac{1}{100} = 0,01$

Если $f(x) = 0$, то получаем уравнение:
$100x - 2 = 0$
$100x = 2$
$x = \frac{2}{100} = 0,02$

Если $f(x) = -5$, то получаем уравнение:
$100x - 2 = -5$
$100x = -5 + 2$
$100x = -3$
$x = -\frac{3}{100} = -0,03$

Ответ: при $f(x)=100$, $x=1,02$; при $f(x)=-1$, $x=0,01$; при $f(x)=0$, $x=0,02$; при $f(x)=-5$, $x=-0,03$.

793 Найдите значение линейной функции $f(x) = -3x + 0,5$ при указанных значениях аргумента и заполните таблицу:

$x$: -2,5, -1, 0, 1,5, 8, 10

$f(x)$: (пусто), (пусто), (пусто), (пусто), (пусто), (пусто)

Для нахождения значений функции $f(x) = -3x + 0,5$ необходимо подставить указанные значения аргумента $x$ в формулу функции и выполнить вычисления для каждого случая.

При x = -2,5

Подставляем значение $x = -2,5$ в уравнение функции:

$f(-2,5) = -3 \cdot (-2,5) + 0,5 = 7,5 + 0,5 = 8$.

Ответ: 8

При x = -1

Подставляем значение $x = -1$ в уравнение функции:

$f(-1) = -3 \cdot (-1) + 0,5 = 3 + 0,5 = 3,5$.

Ответ: 3,5

При x = 0

Подставляем значение $x = 0$ в уравнение функции:

$f(0) = -3 \cdot 0 + 0,5 = 0 + 0,5 = 0,5$.

Ответ: 0,5

При x = 1,5

Подставляем значение $x = 1,5$ в уравнение функции:

$f(1,5) = -3 \cdot 1,5 + 0,5 = -4,5 + 0,5 = -4$.

Ответ: -4

При x = 8

Подставляем значение $x = 8$ в уравнение функции:

$f(8) = -3 \cdot 8 + 0,5 = -24 + 0,5 = -23,5$.

Ответ: -23,5

При x = 10

Подставляем значение $x = 10$ в уравнение функции:

$f(10) = -3 \cdot 10 + 0,5 = -30 + 0,5 = -29,5$.

Ответ: -29,5

Заполненная таблица:

794 Постройте график линейной функции. В каждом случае укажите:

1) возрастающей или убывающей является функция;

2) при каких значениях x значения функции равны 0; больше 0; меньше 0.

а) $y = -0,3x + 2$;

б) $y = -2x + 1,5$;

в) $y = -0,7x$;

г) $y = 1,2x$;

д) $y = 1,5x - 2$;

е) $y = -0,5x - 1$.

а) $y = -0,3x + 2$

Для построения графика данной линейной функции, который представляет собой прямую, найдем координаты двух точек.
1. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY), подставив $x=0$:
$y = -0,3 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0; 2)$.
2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX), подставив $y=0$:
$0 = -0,3x + 2 \implies 0,3x = 2 \implies x = \frac{2}{0,3} = \frac{20}{3}$. Получаем точку $(\frac{20}{3}; 0)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(\frac{20}{3}; 0)$.

1) Угловой коэффициент функции $k = -0,3$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

2) Найдем, при каких значениях $x$ значения функции равны 0, больше 0, меньше 0.
• $y = 0$ при $-0,3x + 2 = 0$, что дает $x = \frac{20}{3}$.
• $y > 0$ при $-0,3x + 2 > 0 \implies -0,3x > -2 \implies x < \frac{20}{3}$ (знак неравенства меняется при делении на отрицательное число).
• $y < 0$ при $-0,3x + 2 < 0 \implies -0,3x < -2 \implies x > \frac{20}{3}$.

Ответ: функция убывающая; $y=0$ при $x=\frac{20}{3}$; $y>0$ при $x < \frac{20}{3}$; $y<0$ при $x > \frac{20}{3}$.

б) $y = -2x + 1,5$

Для построения прямой найдем координаты двух точек.
1. При $x=0$: $y = -2 \cdot 0 + 1,5 = 1,5$. Точка $(0; 1,5)$.
2. При $y=0$: $0 = -2x + 1,5 \implies 2x = 1,5 \implies x = 0,75$. Точка $(0,75; 0)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; 1,5)$ и $(0,75; 0)$.

1) Угловой коэффициент $k = -2$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

2)
• $y = 0$ при $-2x + 1,5 = 0$, что дает $x = 0,75$.
• $y > 0$ при $-2x + 1,5 > 0 \implies -2x > -1,5 \implies x < 0,75$.
• $y < 0$ при $-2x + 1,5 < 0 \implies -2x < -1,5 \implies x > 0,75$.

Ответ: функция убывающая; $y=0$ при $x=0,75$; $y>0$ при $x < 0,75$; $y<0$ при $x > 0,75$.

в) $y = -0,7x$

Это функция прямой пропорциональности, её график — прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$.
Для построения найдем еще одну точку. Возьмем, например, $x=10$:
$y = -0,7 \cdot 10 = -7$. Получаем точку $(10; -7)$.
График — прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(10; -7)$.

1) Угловой коэффициент $k = -0,7$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

2)
• $y = 0$ при $-0,7x = 0$, что дает $x=0$.
• $y > 0$ при $-0,7x > 0 \implies x < 0$.
• $y < 0$ при $-0,7x < 0 \implies x > 0$.

Ответ: функция убывающая; $y=0$ при $x=0$; $y>0$ при $x < 0$; $y<0$ при $x > 0$.

г) $y = 1,2x$

Это функция прямой пропорциональности, её график — прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$.
Для построения найдем еще одну точку. Возьмем, например, $x=5$:
$y = 1,2 \cdot 5 = 6$. Получаем точку $(5; 6)$.
График — прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(5; 6)$.

1) Угловой коэффициент $k = 1,2$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

2)
• $y = 0$ при $1,2x = 0$, что дает $x=0$.
• $y > 0$ при $1,2x > 0 \implies x > 0$.
• $y < 0$ при $1,2x < 0 \implies x < 0$.

Ответ: функция возрастающая; $y=0$ при $x=0$; $y>0$ при $x > 0$; $y<0$ при $x < 0$.

д) $y = 1,5x - 2$

Для построения прямой найдем координаты двух точек.
1. При $x=0$: $y = 1,5 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0; -2)$.
2. При $y=0$: $0 = 1,5x - 2 \implies 1,5x = 2 \implies x = \frac{2}{1,5} = \frac{4}{3}$. Точка $(\frac{4}{3}; 0)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; -2)$ и $(\frac{4}{3}; 0)$.

1) Угловой коэффициент $k = 1,5$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

2)
• $y = 0$ при $1,5x - 2 = 0$, что дает $x = \frac{4}{3}$.
• $y > 0$ при $1,5x - 2 > 0 \implies 1,5x > 2 \implies x > \frac{4}{3}$.
• $y < 0$ при $1,5x - 2 < 0 \implies 1,5x < 2 \implies x < \frac{4}{3}$.

Ответ: функция возрастающая; $y=0$ при $x=\frac{4}{3}$; $y>0$ при $x > \frac{4}{3}$; $y<0$ при $x < \frac{4}{3}$.

е) $y = -0,5x - 1$

Для построения прямой найдем координаты двух точек.
1. При $x=0$: $y = -0,5 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
2. При $y=0$: $0 = -0,5x - 1 \implies -0,5x = 1 \implies x = -2$. Точка $(-2; 0)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; -1)$ и $(-2; 0)$.

1) Угловой коэффициент $k = -0,5$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

2)
• $y = 0$ при $-0,5x - 1 = 0$, что дает $x = -2$.
• $y > 0$ при $-0,5x - 1 > 0 \implies -0,5x > 1 \implies x < -2$.
• $y < 0$ при $-0,5x - 1 < 0 \implies -0,5x < 1 \implies x > -2$.

Ответ: функция убывающая; $y=0$ при $x=-2$; $y>0$ при $x < -2$; $y<0$ при $x > -2$.

795 Постройте график функции:

а) $y = 3x - 1$, где $-3 \le x \le 3$;

б) $y = -2x + 4$, где $x \ge 0$;

в) $y = 0.5x + 3$, где $-6 \le x \le 2$;

г) $y = -3x - 2$, где $x \le -\frac{2}{3}$.

а) $y=3x-1$, где $-3 \le x \le 3$

Данная функция является линейной, ее график — прямая линия. Поскольку на переменную $x$ наложено ограничение $-3 \le x \le 3$, то графиком функции будет отрезок прямой. Для построения отрезка найдем координаты его концов.

1. Найдем значение $y$ на левой границе интервала, при $x = -3$:
$y = 3 \cdot (-3) - 1 = -9 - 1 = -10$.
Получили точку с координатами $(-3, -10)$.

2. Найдем значение $y$ на правой границе интервала, при $x = 3$:
$y = 3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8$.
Получили точку с координатами $(3, 8)$.

Соединив эти две точки, получим график заданной функции. Так как неравенство строгое ($\le$), обе точки на концах отрезка включаются в график.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(-3, -10)$ и $(3, 8)$.

б) $y=-2x+4$, где $x \ge 0$

Функция является линейной, ее график — прямая. Ограничение $x \ge 0$ означает, что графиком будет луч, начинающийся на оси $Oy$ и идущий вправо.

1. Найдем начальную точку луча, подставив $x = 0$ в уравнение функции:
$y = -2 \cdot 0 + 4 = 4$.
Начальная точка луча имеет координаты $(0, 4)$.

2. Для определения направления луча найдем еще одну точку, взяв любое значение $x > 0$. Например, $x = 2$:
$y = -2 \cdot 2 + 4 = -4 + 4 = 0$.
Получили вторую точку с координатами $(2, 0)$.

Проведя луч из точки $(0, 4)$ через точку $(2, 0)$, получим график заданной функции.

Ответ: Графиком функции является луч, выходящий из точки $(0, 4)$ и проходящий через точку $(2, 0)$.

в) $y=0,5x+3$, где $-6 \le x \le 2$

Это линейная функция, графиком которой является отрезок прямой, так как переменная $x$ ограничена интервалом $[-6, 2]$. Найдем координаты концов этого отрезка.

1. Вычислим значение $y$ при $x = -6$:
$y = 0,5 \cdot (-6) + 3 = -3 + 3 = 0$.
Координаты первого конца отрезка: $(-6, 0)$.

2. Вычислим значение $y$ при $x = 2$:
$y = 0,5 \cdot 2 + 3 = 1 + 3 = 4$.
Координаты второго конца отрезка: $(2, 4)$.

График функции — это отрезок, соединяющий точки $(-6, 0)$ и $(2, 4)$.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой с концами в точках $(-6, 0)$ и $(2, 4)$.

г) $y=-3x-2$, где $x \le -\frac{2}{3}$

Функция является линейной, ее график — прямая. Условие $x \le -\frac{2}{3}$ означает, что графиком будет луч.

1. Найдем начальную точку луча, подставив в уравнение граничное значение $x = -\frac{2}{3}$:
$y = -3 \cdot (-\frac{2}{3}) - 2 = 2 - 2 = 0$.
Начальная точка луча имеет координаты $(-\frac{2}{3}, 0)$.

2. Чтобы построить луч, найдем еще одну точку, удовлетворяющую условию $x < -\frac{2}{3}$. Возьмем, например, $x = -2$:
$y = -3 \cdot (-2) - 2 = 6 - 2 = 4$.
Получили вторую точку с координатами $(-2, 4)$.

Проведя луч из точки $(-\frac{2}{3}, 0)$ через точку $(-2, 4)$, получим искомый график.

Ответ: Графиком функции является луч, который начинается в точке $(-\frac{2}{3}, 0)$ и проходит через точку $(-2, 4)$.

795 Постройте график функции:

a) $y = 3x - 1$, где $-3 \le x \le 3$;

б) $y = -2x + 4$, где $x \ge 0$;

в) $y = 0.5x + 3$, где $-6 \le x \le 2$;

г) $y = -3x - 2$, где $x \le -\frac{2}{3}$.

АНАЛИЗИРУЕМ (796–797)

796 На рисунке 5.41 изображены графики линейных функций. Соотнесите каждую из них с одной из формул:

$y = 2x + 3$; $y = -2x$; $y = \frac{1}{2}x + 3$; $y = -2x + 3$.

Рис. 5.41

795. Постройте график функции:

а) $y = 3x - 1$, где $-3 \le x \le 3$

Графиком данной функции является отрезок прямой. Для его построения найдем координаты двух его крайних точек.
При $x = -3$: $y = 3 \cdot (-3) - 1 = -9 - 1 = -10$. Первая точка: $(-3, -10)$.
При $x = 3$: $y = 3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8$. Вторая точка: $(3, 8)$.
Соединив эти две точки на координатной плоскости, получим искомый график.

Ответ: График — отрезок прямой, соединяющий точки $(-3, -10)$ и $(3, 8)$.

б) $y = -2x + 4$, где $x \ge 0$

Графиком данной функции является луч. Для его построения найдем координаты начальной точки и еще одной точки, принадлежащей лучу.
Начальная точка при $x = 0$: $y = -2 \cdot 0 + 4 = 4$. Начало луча в точке $(0, 4)$.
Возьмем еще одно значение $x$, например $x = 2$: $y = -2 \cdot 2 + 4 = -4 + 4 = 0$. Вторая точка: $(2, 0)$.
Проведем луч из точки $(0, 4)$ через точку $(2, 0)$.

Ответ: График — луч с началом в точке $(0, 4)$, проходящий через точку $(2, 0)$.

в) $y = 0,5x + 3$, где $-6 \le x \le 2$

Графиком данной функции является отрезок прямой. Для его построения найдем координаты двух его крайних точек.
При $x = -6$: $y = 0,5 \cdot (-6) + 3 = -3 + 3 = 0$. Первая точка: $(-6, 0)$.
При $x = 2$: $y = 0,5 \cdot 2 + 3 = 1 + 3 = 4$. Вторая точка: $(2, 4)$.
Соединив эти две точки на координатной плоскости, получим искомый график.

Ответ: График — отрезок прямой, соединяющий точки $(-6, 0)$ и $(2, 4)$.

г) $y = -3x - 2$, где $x \le -\frac{2}{3}$

Графиком данной функции является луч. Для его построения найдем координаты начальной точки и еще одной точки, принадлежащей лучу.
Начальная точка при $x = -\frac{2}{3}$: $y = -3 \cdot (-\frac{2}{3}) - 2 = 2 - 2 = 0$. Начало луча в точке $(-\frac{2}{3}, 0)$.
Возьмем еще одно значение $x$, например $x = -2$: $y = -3 \cdot (-2) - 2 = 6 - 2 = 4$. Вторая точка: $(-2, 4)$.
Проведем луч из точки $(-\frac{2}{3}, 0)$ через точку $(-2, 4)$.

Ответ: График — луч с началом в точке $(-\frac{2}{3}, 0)$, проходящий через точку $(-2, 4)$.

796. На рисунке 5.41 изображены графики линейных функций. Соотнесите каждую из них с одной из формул:

Для соотнесения графиков с формулами вида $y = kx + b$ проанализируем их коэффициенты. Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) отвечает за наклон прямой: если $k > 0$, функция возрастает (график идет вверх слева направо), если $k < 0$ — убывает (график идет вниз). Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $y$.

Проанализируем предложенные формулы:

• $y = 2x + 3$: $k=2 > 0$ (возрастает), $b=3$.
• $y = -2x$: $k=-2 < 0$ (убывает), $b=0$.
• $y = \frac{1}{2}x + 3$: $k=\frac{1}{2} > 0$ (возрастает), $b=3$.
• $y = -2x + 3$: $k=-2 < 0$ (убывает), $b=3$.

Проанализируем графики на рисунке:

• Графики ① и ② убывающие, значит, их угловые коэффициенты отрицательны ($k < 0$). Они соответствуют формулам $y = -2x$ и $y = -2x + 3$. График ② пересекает ось $y$ в точке $(0, 3)$, что соответствует $b=3$. Следовательно, график ② — это $y = -2x + 3$. График ① расположен ниже графика ② и должен соответствовать формуле с меньшим $b$. Следовательно, график ① — это $y = -2x$.
• Графики ③ и ④ возрастающие, значит, их угловые коэффициенты положительны ($k > 0$). Они соответствуют формулам $y = 2x + 3$ и $y = \frac{1}{2}x + 3$. График ③ имеет больший угол наклона к оси $x$, чем график ④, значит, его угловой коэффициент больше ($2 > \frac{1}{2}$). Следовательно, график ③ — это $y = 2x + 3$, а график ④ — это $y = \frac{1}{2}x + 3$.

Примечание: На рисунке есть неточности. Например, графики ①, ③, ④ не пересекают ось $y$ в точках, которые соответствуют их формулам ($b=0$ для ①, $b=3$ для ③ и ④). Однако соотнесение можно однозначно провести по знаку и величине углового коэффициента, а также по взаимному расположению графиков.

Ответ:
График ① соответствует формуле $y = -2x$.
График ② соответствует формуле $y = -2x + 3$.
График ③ соответствует формуле $y = 2x + 3$.
График ④ соответствует формуле $y = \frac{1}{2}x + 3$.