Страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

787 График какой из функций изображён на рисунке 5.34:

$f(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - 3);$

$g(x) = 2(x + 2)(1 - x)\left(x - \frac{7}{2}\right);$

$h(x) = 2(x + 2)(x - 1)\left(x - \frac{7}{2}\right);$

$p(x) = (x + 2)(x - 1)\left(x - \frac{7}{2}\right)?$

788 Задайте формулой какую-нибудь функ-

Чтобы определить, график какой из функций изображен на рисунке, необходимо проанализировать его ключевые свойства и сопоставить их со свойствами каждой из предложенных функций.

1. Анализ графика функции

Сначала определим основные характеристики функции по ее графику:

• Корни функции (точки пересечения с осью $Ox$): График пересекает ось абсцисс в трех точках. Видно, что это точки $x = -2$, $x = 1$ и $x = 3.5$. Представим $3.5$ в виде обыкновенной дроби: $3.5 = \frac{7}{2}$. Таким образом, функция имеет три корня: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = \frac{7}{2}$. Это означает, что формула функции должна содержать множители $(x - (-2))$, $(x-1)$ и $(x - \frac{7}{2})$, то есть $(x+2)(x-1)(x-\frac{7}{2})$.
• Поведение функции на бесконечности: Когда значение $x$ стремится к положительной бесконечности ($x \to +\infty$), график функции уходит вверх, то есть значение $y$ также стремится к положительной бесконечности ($y \to +\infty$). Это указывает на то, что коэффициент при старшей степени $x$ (в данном случае при $x^3$) является положительным числом.
• Точка пересечения с осью $Oy$: Найдем значение функции при $x=0$. По графику видно, что точка пересечения с осью ординат находится выше 10, примерно на уровне $y=14$.

2. Проверка предложенных функций

Теперь поочередно проверим каждую функцию на соответствие найденным характеристикам.

f(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - 3)
Корни этой функции: $x=-2$, $x=1$, $x=3$. Третий корень ($x=3$) не совпадает с корнем, определенным по графику ($x=3.5$). Следовательно, эта функция не подходит.

g(x) = 2(x + 2)(1 - x)(x - 7/2)
Преобразуем выражение: $g(x) = 2(x+2)(-(x-1))(x-\frac{7}{2}) = -2(x+2)(x-1)(x-\frac{7}{2})$.
Корни этой функции ($x=-2, x=1, x=\frac{7}{2}$) совпадают с корнями на графике. Однако коэффициент при старшей степени $x^3$ равен $-2$, он отрицательный. Это означает, что при $x \to +\infty$ функция должна стремиться к $-\infty$, что противоречит поведению графика. Следовательно, эта функция не подходит.

h(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - 7/2)
Корни этой функции ($x=-2, x=1, x=\frac{7}{2}$) полностью совпадают с корнями на графике. Коэффициент при старшей степени $x^3$ равен $2$, он положительный, что соответствует поведению графика ($y \to +\infty$ при $x \to +\infty$).
Теперь проверим точку пересечения с осью $Oy$, вычислив значение функции при $x=0$:
$h(0) = 2(0+2)(0-1)(0-\frac{7}{2}) = 2 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-\frac{7}{2}) = -4 \cdot (-\frac{7}{2}) = \frac{28}{2} = 14$.
Полученное значение $y=14$ совпадает с точкой пересечения на графике. Все характеристики совпадают. Следовательно, это искомая функция.

p(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 7/2)
Корни и поведение на бесконечности (коэффициент при $x^3$ равен 1, что является положительным числом) соответствуют графику. Проверим точку пересечения с осью $Oy$ при $x=0$:
$p(0) = (0+2)(0-1)(0-\frac{7}{2}) = 2 \cdot (-1) \cdot (-\frac{7}{2}) = 7$.
Значение $y=7$ не совпадает со значением на графике ($y=14$). Следовательно, эта функция не подходит.

Ответ: На рисунке изображен график функции $h(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - \frac{7}{2})$.

788 Задайте формулой какую-нибудь функцию, нулями которой являются числа:

а) $-3$; $1$; $7$;

б) $-4$; $\frac{5}{2}$; $\frac{1}{3}$.

а) Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Если числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ являются нулями функции, то её можно задать формулой в виде произведения $y = (x - x_1)(x - x_2)\dots(x - x_n)$. В данном случае нулями являются числа -3, 1 и 7. Подставим их в эту формулу:

$y = (x - (-3))(x - 1)(x - 7)$

Упрощая выражение, получаем:

$y = (x + 3)(x - 1)(x - 7)$

Это и есть формула одной из функций, удовлетворяющих условию. При подстановке любого из чисел -3, 1 или 7 в эту формулу один из множителей обратится в ноль, и, следовательно, вся функция будет равна нулю.

Ответ: $y = (x + 3)(x - 1)(x - 7)$.

б) Аналогично, используем заданные нули -4, $\frac{5}{2}$ и $\frac{1}{3}$ для построения функции:

$y = (x - (-4))(x - \frac{5}{2})(x - \frac{1}{3})$

$y = (x + 4)(x - \frac{5}{2})(x - \frac{1}{3})$

Хотя эта формула является верным ответом, её можно представить в виде, не содержащем дробей. Для этого домножим множитель $(x - \frac{5}{2})$ на 2, а множитель $(x - \frac{1}{3})$ на 3. При этом нули функции не изменятся, так как это равносильно умножению всей функции на ненулевую константу $2 \cdot 3 = 6$.

$y = (x + 4) \cdot 2(x - \frac{5}{2}) \cdot 3(x - \frac{1}{3}) = (x+4)(2x - 5)(3x - 1)$

Эта форма записи с целыми коэффициентами в множителях часто является более удобной.

Ответ: $y = (x + 4)(2x - 5)(3x - 1)$.

789 Постройте график функции и перечислите её свойства:

а) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } |x| \le 1 \\ 1, & \text{если } |x| > 1; \end{cases}$ б) $y = \begin{cases} -8, & \text{если } x < -2 \\ x^3, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ 8, & \text{если } x > 2. \end{cases}$

a) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } |x| \le 1 \\ 1, & \text{если } |x| > 1 \end{cases}$

Для построения графика и анализа функции раскроем модуль в условиях. Неравенство $|x| \le 1$ эквивалентно двойному неравенству $-1 \le x \le 1$. Неравенство $|x| > 1$ эквивалентно совокупности $x < -1$ или $x > 1$. Таким образом, функцию можно переписать в виде:

$y = \begin{cases} 1, & \text{если } x < -1 \\ x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Построение графика:

1. На отрезке $[-1, 1]$ строим график функции $y=x^2$. Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$, проходящая через точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

2. На промежутке $(-\infty, -1)$ строим график функции $y=1$. Это горизонтальный луч, идущий из точки $(-1, 1)$ влево.

3. На промежутке $(1, \infty)$ строим график функции $y=1$. Это горизонтальный луч, идущий из точки $(1, 1)$ вправо.

Так как в точках $x=-1$ и $x=1$ значения всех частей функции совпадают ($y(-1) = (-1)^2 = 1$ и $y(1) = 1^2 = 1$), график является непрерывной линией.

Свойства функции:

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: на отрезке $[-1, 1]$ функция принимает значения от $0$ (в точке $x=0$) до $1$. Вне этого отрезка значение функции равно $1$. Следовательно, область значений функции – отрезок $[0, 1]$. $E(y) = [0, 1]$.

3. Четность: $y(-x) = \begin{cases} (-x)^2, & \text{если } |-x| \le 1 \\ 1, & \text{если } |-x| > 1 \end{cases} = \begin{cases} x^2, & \text{если } |x| \le 1 \\ 1, & \text{если } |x| > 1 \end{cases} = y(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

4. Нули функции: $y=0$ при $x^2=0$, что выполняется только при $x=0$. Это единственный нуль функции.

5. Промежутки знакопостоянства: $y(x) \ge 0$ для всех $x$ из области определения. $y(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

6. Монотонность:

• функция постоянна на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$, где $y=1$;
• функция убывает на отрезке $[-1, 0]$;
• функция возрастает на отрезке $[0, 1]$.

7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$. Максимальное значение $y_{max}=1$ достигается при всех $x$ таких, что $|x| \ge 1$.

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График функции представляет собой часть параболы $y=x^2$ на отрезке $[-1, 1]$, соединенную с двумя горизонтальными лучами $y=1$ при $x \le -1$ и $x \ge 1$. Свойства функции: 1) $D(y)=(-\infty, +\infty)$; 2) $E(y)=[0, 1]$; 3) четная; 4) нуль $x=0$; 5) $y>0$ при $x \ne 0$; 6) убывает на $[-1, 0]$, возрастает на $[0, 1]$, постоянна на $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$; 7) $y_{min}=y(0)=0$, $y_{max}=1$ при $|x| \ge 1$; 8) непрерывна.

б) $y = \begin{cases} -8, & \text{если } x < -2 \\ x^3, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ 8, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Построение графика:

1. На отрезке $[-2, 2]$ строим график функции $y=x^3$. Это часть кубической параболы, проходящая через точки $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.

2. На промежутке $(-\infty, -2)$ строим график функции $y=-8$. Это горизонтальный луч, который заканчивается в точке $(-2, -8)$, так как $y(-2) = (-2)^3 = -8$.

3. На промежутке $(2, \infty)$ строим график функции $y=8$. Это горизонтальный луч, который начинается из точки $(2, 8)$, так как $y(2) = 2^3 = 8$.

График является непрерывной линией, так как на границах промежутков значения функций совпадают.

Свойства функции:

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: на отрезке $[-2, 2]$ функция $y=x^3$ принимает все значения от $-8$ до $8$. Вне этого отрезка значения функции равны $-8$ и $8$. Следовательно, область значений функции – отрезок $[-8, 8]$. $E(y) = [-8, 8]$.

3. Четность: проверим значение $y(-x)$. Если $-2 \le x \le 2$, то $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. Если $x > 2$, то $-x < -2$, и $y(-x) = -8$, а $y(x) = 8$, то есть $y(-x) = -y(x)$. Если $x < -2$, то $-x > 2$, и $y(-x) = 8$, а $y(x) = -8$, то есть $y(-x) = -y(x)$. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

4. Нули функции: $y=0$ при $x^3=0$, что выполняется только при $x=0$. Это единственный нуль функции.

5. Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0)$; $y > 0$ при $x \in (0, +\infty)$.

6. Монотонность:

• функция постоянна на промежутке $(-\infty, -2]$, где $y=-8$;
• функция возрастает на отрезке $[-2, 2]$;
• функция постоянна на промежутке $[2, \infty)$, где $y=8$.

В целом, функция является неубывающей на всей области определения.

7. Экстремумы: функция не имеет точек локального максимума или минимума. Глобальный минимум $y_{min}=-8$ достигается при всех $x \le -2$. Глобальный максимум $y_{max}=8$ достигается при всех $x \ge 2$.

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График функции представляет собой часть кубической параболы $y=x^3$ на отрезке $[-2, 2]$, соединенную с двумя горизонтальными лучами: $y=-8$ при $x \le -2$ и $y=8$ при $x \ge 2$. Свойства функции: 1) $D(y)=(-\infty, +\infty)$; 2) $E(y)=[-8, 8]$; 3) нечетная; 4) нуль $x=0$; 5) $y>0$ при $x>0$, $y<0$ при $x<0$; 6) неубывающая; возрастает на $[-2, 2]$; 7) $y_{min}=-8$ при $x \le -2$, $y_{max}=8$ при $x \ge 2$; 8) непрерывна.