Страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

767 Учитель дал задание найти координаты точек, в которых график функции $y = \frac{2x - 10}{5}$ пересекает ось абсцисс. В классе

было получено четыре разных ответа:

1) (0; 5) 2) (5; 0) 3) (0; -2) 4) (-2; 0)

Есть ли среди них верный ответ? Как вы думаете, в чём состоят ошибки учащихся, получивших неверный ответ?

Чтобы найти координаты точки, в которой график функции пересекает ось абсцисс (ось Ox), необходимо найти значение $x$, при котором значение функции $y$ равно нулю.

Задана функция: $y = \frac{2x - 10}{5}$.

Приравниваем $y$ к нулю:

$0 = \frac{2x - 10}{5}$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$0 \cdot 5 = 2x - 10$

$0 = 2x - 10$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем 10 в левую часть уравнения с противоположным знаком:

$10 = 2x$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{10}{2}$

$x = 5$

Таким образом, точка пересечения графика функции с осью абсцисс имеет координаты $(5; 0)$, так как $x=5$ и $y=0$.

Есть ли среди них верный ответ?

Сравнив полученный нами результат $(5; 0)$ с предложенными вариантами, мы видим, что ответ под номером 2) является верным.

Ответ: Да, верный ответ — 2) (5; 0).

Как вы думаете, в чём состоят ошибки учащихся, получивших неверный ответ?

Проанализируем возможные ошибки для каждого неверного ответа:

1) (0; 5): Скорее всего, учащийся правильно нашел абсциссу точки пересечения $x=5$, но при записи ответа перепутал местами координаты $x$ и $y$. Вместо $(x; y)$ он записал $(y; x)$, то есть $(0; 5)$ вместо $(5; 0)$.

3) (0; -2): Эта ошибка, вероятно, связана с тем, что ученик искал точку пересечения не с осью абсцисс (где $y=0$), а с осью ординат (где $x=0$). Если подставить $x=0$ в уравнение функции, получим: $y = \frac{2 \cdot 0 - 10}{5} = \frac{-10}{5} = -2$. Координаты этой точки $(0; -2)$, что и было дано в ответе.

4) (-2; 0): Вероятно, здесь допущена комбинация ошибок. Ученик мог найти ординату точки пересечения с осью Y ($y = -2$), как в предыдущем случае, но затем ошибочно использовал это число в качестве абсциссы ($x$) для точки пересечения с осью X, правильно указав, что для этой оси $y=0$.

Ответ: Основные ошибки учащихся заключаются в путанице между осями абсцисс и ординат (подстановка $x=0$ вместо $y=0$), а также в неправильной записи координат точки (перестановка местами $x$ и $y$) или в неверном использовании результатов промежуточных вычислений.

768 Известно, что значение функции $y = f(x)$ равно 0 при значениях аргумента, равных 2 и -3. Какое из следующих высказываний верно?

1) график функции пересекает ось $y$ в точках (0; 2) и (0; -3)

2) график функции пересекает ось $x$ в точках (2; 0) и (-3; 0)

3) $f(2) = -3$

По условию задачи, значение функции $y=f(x)$ равно $0$ при значениях аргумента, равных $2$ и $-3$. В виде уравнений это можно записать как $f(2) = 0$ и $f(-3) = 0$.

Точки, в которых значение функции равно нулю ($y=0$), являются точками пересечения графика функции с осью абсцисс ($Ox$). Координаты этих точек имеют вид $(x; 0)$. Следовательно, из условия следует, что график функции проходит через точки с координатами $(2; 0)$ и $(-3; 0)$.

Проанализируем каждое из предложенных высказываний:

1) график функции пересекает ось y в точках (0; 2) и (0; -3)

Это утверждение неверно. Точки пересечения с осью $y$ (осью ординат) имеют абсциссу $x=0$. В условии же даны значения $x$, при которых $y=0$. Кроме того, график функции не может пересекать ось $y$ в двух разных точках, так как в этом случае одному значению аргумента $x$ соответствовало бы два разных значения функции $y$, что противоречит определению функции.

2) график функции пересекает ось x в точках (2; 0) и (-3; 0)

Это утверждение верно. Точки пересечения с осью $x$ (осью абсцисс) — это точки, в которых ордината $y$ равна $0$. Из условия $f(2)=0$ следует, что точка $(2; 0)$ принадлежит графику. Из условия $f(-3)=0$ следует, что точка $(-3; 0)$ также принадлежит графику. Обе эти точки лежат на оси $x$ и являются точками ее пересечения с графиком функции.

3) f(2) = -3

Это утверждение неверно. Из условия задачи нам известно, что при $x=2$ значение функции равно $0$, то есть $f(2)=0$. Утверждение $f(2)=-3$ прямо противоречит исходным данным.

Таким образом, единственным верным высказыванием является второе.

Ответ: 2

769 Дана функция $y=f(x)$. Известно, что $f(5)=0$ и $f'(0)=-4$. Сформулируйте эти факты на геометрическом языке.

f(5)=0
Данное равенство означает, что значение функции $y=f(x)$ при значении аргумента $x=5$ равно $0$. С точки зрения геометрии, график любой функции представляет собой множество точек с координатами $(x, y)$ или $(x, f(x))$ в декартовой системе координат. Таким образом, равенство $f(5)=0$ означает, что график функции $y=f(x)$ проходит через точку с координатами $(5, 0)$. Точка, у которой ордината (координата $y$) равна нулю, находится на оси абсцисс ($Ox$). Следовательно, геометрический смысл факта $f(5)=0$ заключается в том, что график функции пересекает ось абсцисс в точке $(5, 0)$.
Ответ: График функции $y=f(x)$ пересекает ось абсцисс в точке $(5, 0)$.

f(0)=-4
Данное равенство означает, что значение функции $y=f(x)$ при значении аргумента $x=0$ равно $-4$. Геометрически это означает, что график функции $y=f(x)$ проходит через точку с координатами $(0, -4)$. Точка, у которой абсцисса (координата $x$) равна нулю, находится на оси ординат ($Oy$). Следовательно, геометрический смысл факта $f(0)=-4$ заключается в том, что график функции пересекает ось ординат в точке $(0, -4)$.
Ответ: График функции $y=f(x)$ пересекает ось ординат в точке $(0, -4)$.

770 Функции заданы формулами

$y = x^2 + 5$, $y = x^2 + 5x$, $y = \frac{x}{x + 1}$, $y = \frac{x + 1}{x}$.

В каждом случае определите, проходит ли график функции через начало координат. Задайте формулой ещё какую-нибудь функцию, график которой проходит через начало координат.

Для того чтобы определить, проходит ли график функции через начало координат, то есть через точку с координатами $(0; 0)$, необходимо подставить в формулу функции значение $x=0$ и проверить, будет ли полученное значение $y$ равно нулю.

$y = x^2 + 5$

Подставим значение $x=0$ в уравнение функции:

$y = 0^2 + 5 = 0 + 5 = 5$

При $x=0$ значение функции равно $5$. Так как $y \neq 0$, график функции не проходит через начало координат.

Ответ: не проходит.

$y = x^2 + 5x$

Подставим значение $x=0$ в уравнение функции:

$y = 0^2 + 5 \cdot 0 = 0 + 0 = 0$

При $x=0$ значение функции равно $0$. Следовательно, график функции проходит через начало координат.

Ответ: проходит.

$y = \frac{x}{x+1}$

Подставим значение $x=0$ в уравнение функции:

$y = \frac{0}{0+1} = \frac{0}{1} = 0$

При $x=0$ значение функции равно $0$. Следовательно, график функции проходит через начало координат.

Ответ: проходит.

$y = \frac{x+1}{x}$

Область определения этой функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. В данном случае знаменатель равен нулю при $x=0$.

Поскольку функция не определена в точке $x=0$, ее график не может проходить через начало координат.

Ответ: не проходит.

Задайте формулой ещё какую-нибудь функцию, график которой проходит через начало координат.

Чтобы график функции проходил через начало координат, необходимо, чтобы при $x=0$ значение $y$ было равно $0$. Этому условию удовлетворяет любая функция вида $y=f(x)$, для которой $f(0)=0$.

В качестве примера можно взять функцию прямой пропорциональности, например, $y = 4x$.

Проверим: при $x=0$ получаем $y = 4 \cdot 0 = 0$. Условие выполняется.

Другим примером может служить кубическая функция $y=x^3$. При $x=0$ получаем $y=0^3=0$.

Ответ: $y = 4x$.

771 Составьте таблицу значений функции и постройте её график:

а) $y = x^3 - 3x$;

б) $y = 3x^2 - x^3$.

а) $y = x^3 - 3x$

Для того чтобы составить таблицу значений и построить график функции $y = x^3 - 3x$, проведем ее полное исследование.
1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность/нечетность: Проверим значение функции для $-x$:
$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат (0, 0).
3. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = 0^3 - 3(0) = 0$. Точка пересечения (0; 0).
- С осью OX (при $y=0$): $x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 3) = 0$. Отсюда $x=0$, $x=\sqrt{3}$, $x=-\sqrt{3}$. Точки пересечения: (0; 0), $(\sqrt{3}; 0)$, $(-\sqrt{3}; 0)$.
4. Точки экстремума и интервалы монотонности:
Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.
Определим знаки производной на интервалах:
- на $(-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- на $(-1; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.
- на $(1; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
Следовательно, $x=-1$ — точка максимума, $x=1$ — точка минимума.
$y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$. Точка максимума (-1; 2).
$y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$. Точка минимума (1; -2).

Составим таблицу значений, включив в нее ключевые точки:

Для построения графика наносим на координатную плоскость точки из таблицы и соединяем их плавной кривой, учитывая симметрию, точки экстремумов и интервалы монотонности. График представляет собой кубическую параболу, проходящую через начало координат, с локальным максимумом в точке (-1; 2) и локальным минимумом в точке (1; -2).

Ответ: Таблица значений и анализ для построения графика представлены выше.

б) $y = 3x^2 - x^3$

Для того чтобы составить таблицу значений и построить график функции $y = 3x^2 - x^3$, проведем ее полное исследование.
1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность/нечетность: Проверим значение функции для $-x$:
$y(-x) = 3(-x)^2 - (-x)^3 = 3x^2 + x^3$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
3. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = 3(0)^2 - 0^3 = 0$. Точка пересечения (0; 0).
- С осью OX (при $y=0$): $3x^2 - x^3 = 0 \Rightarrow x^2(3 - x) = 0$. Отсюда $x=0$ (корень кратности 2) и $x=3$. Точки пересечения: (0; 0) и (3; 0). В точке (0; 0) график касается оси OX.
4. Точки экстремума и интервалы монотонности:
Найдем первую производную: $y' = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $6x - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x(2 - x) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2$.
Определим знаки производной на интервалах:
- на $(-\infty; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- на $(0; 2)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- на $(2; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.
Следовательно, $x=0$ — точка минимума, $x=2$ — точка максимума.
$y_{min} = y(0) = 3(0)^2 - 0^3 = 0$. Точка минимума (0; 0).
$y_{max} = y(2) = 3(2)^2 - 2^3 = 12 - 8 = 4$. Точка максимума (2; 4).

Составим таблицу значений, включив в нее ключевые точки:

Для построения графика наносим на координатную плоскость точки из таблицы: $(-1; 4)$, $(0; 0)$, $(1; 2)$, $(2; 4)$, $(3; 0)$. Соединяем их плавной линией, учитывая, что в точке $(0; 0)$ находится минимум (касание оси), а в точке $(2; 4)$ — максимум. После точки $(3; 0)$ график уходит в минус бесконечность.

Ответ: Таблица значений и анализ для построения графика представлены выше.

772 РАССУЖДАЕМ

1) Постройте график функции, заданной формулой $y = x^2 + 1$.

2) Начертите кривую, симметричную этому графику относительно оси $x$. Эта кривая — график некоторой функции. Задайте эту функцию формулой.

1) Постройте график функции, заданной формулой $y = x^2 + 1$.

График функции $y = x^2 + 1$ — это парабола. Чтобы его построить, можно использовать известный график функции $y = x^2$ и выполнить его преобразование.

1. Базовый график — это парабола $y = x^2$. Ее вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$, ветви направлены вверх, и она симметрична относительно оси ординат ($Oy$).

2. Функция $y = x^2 + 1$ получается из $y = x^2$ добавлением константы 1. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) всего графика $y = x^2$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

Таким образом, все точки параболы $y = x^2$ смещаются на 1 единицу вверх. Вершина новой параболы будет находиться в точке $(0, 1)$. Ветви параболы по-прежнему будут направлены вверх.

Для точности построения можно найти координаты нескольких ключевых точек, составив таблицу значений:

Отметив на координатной плоскости точки $(-2, 5)$, $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, 5)$ и соединив их плавной линией, мы получим искомый график.

Ответ: График функции $y = x^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вверх, полученная сдвигом параболы $y = x^2$ на одну единицу вверх.

2) Начертите кривую, симметричную этому графику относительно оси x. Эта кривая — график некоторой функции. Задайте эту функцию формулой.

Симметрия графика функции относительно оси $x$ означает, что для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике существует точка $(x, -y)$ на симметричном графике. То есть, при отражении относительно оси $x$ абсцисса ($x$) точки сохраняется, а ордината ($y$) меняет свой знак на противоположный.

Пусть исходная функция — это $y_{1} = x^2 + 1$. Обозначим новую, симметричную ей функцию, как $y_{2}$. Согласно правилу симметрии, для любого значения $x$ должно выполняться равенство $y_{2} = -y_{1}$.

Подставим в это равенство выражение для $y_{1}$:
$y_{2} = -(x^2 + 1)$
$y_{2} = -x^2 - 1$

Таким образом, искомая функция задается формулой $y = -x^2 - 1$.

Графиком этой функции также является парабола. Она симметрична параболе $y = x^2 + 1$ относительно оси $x$.

• Вершина исходной параболы $(0, 1)$ при симметрии переходит в точку $(0, -1)$, которая является вершиной новой параболы.
• Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1), ветви новой параболы направлены вниз.

Чтобы начертить кривую, можно отразить ключевые точки графика $y = x^2 + 1$ относительно оси $x$:
$(-2, 5) \rightarrow (-2, -5)$
$(-1, 2) \rightarrow (-1, -2)$
$(0, 1) \rightarrow (0, -1)$
$(1, 2) \rightarrow (1, -2)$
$(2, 5) \rightarrow (2, -5)$

Соединив эти точки, мы получим график параболы $y = -x^2 - 1$.

Ответ: Кривая, симметричная графику функции $y = x^2 + 1$ относительно оси $x$, является графиком функции $y = -x^2 - 1$.

773 Докажите, что график функции:

a) $y = 3x^2 + 4$ целиком расположен в верхней полуплоскости;

б) $y = \frac{x^2+5}{x-5}$ не пересекает ось $x$;

в) $y = 3-\frac{1}{x}$ не пересекает ось $y$.

а) Чтобы доказать, что график функции $y = 3x^2 + 4$ целиком расположен в верхней полуплоскости, необходимо показать, что для любого действительного значения $x$ соответствующее значение $y$ будет положительным, то есть $y > 0$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным: $x^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $3x^2$ также неотрицательно: $3x^2 \ge 0$. Если к неотрицательному выражению прибавить 4, то результат будет не меньше 4. Таким образом, $y = 3x^2 + 4 \ge 0 + 4$, что означает $y \ge 4$. Так как для любого $x$ значение функции $y$ всегда больше или равно 4, оно всегда положительно. Это доказывает, что все точки графика находятся выше оси $x$.
Ответ: Поскольку для любого значения $x$ выполняется неравенство $y \ge 4$, а значит и $y > 0$, график функции целиком расположен в верхней полуплоскости.

б) График функции пересекает ось $x$ в точках, где $y = 0$. Чтобы доказать, что график функции $y = \frac{x^2+5}{x-5}$ не пересекает ось $x$, нужно показать, что уравнение $\frac{x^2+5}{x-5} = 0$ не имеет действительных решений. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю: $x^2+5=0$. Это уравнение равносильно $x^2 = -5$. В множестве действительных чисел оно не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поскольку числитель дроби никогда не обращается в нуль, сама функция не может принимать значение, равное нулю.
Ответ: Уравнение $y=0$ не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось $x$.

в) График функции пересекает ось $y$ в точке, где $x=0$. Чтобы доказать, что график функции $y = 3 - \frac{1}{x}$ не пересекает ось $y$, необходимо рассмотреть ее область определения. Данная функция содержит выражение $\frac{1}{x}$, которое определено для всех $x$, кроме $x=0$, так как деление на ноль невозможно. Таким образом, $x=0$ не входит в область определения функции. Поскольку функция не определена при $x=0$, на графике не существует точки с абсциссой, равной нулю. Это означает, что график не может пересечь ось $y$.
Ответ: Функция не определена в точке $x=0$, поэтому её график не пересекает ось $y$.