Номер 771, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 5. Функции. 5.3. График функции. Упражнения - номер 771, страница 248.

Условие.

771 Составьте таблицу значений функции и постройте её график:

а) $y = x^3 - 3x$;

б) $y = 3x^2 - x^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = x^3 - 3x$

Для того чтобы составить таблицу значений и построить график функции $y = x^3 - 3x$, проведем ее полное исследование.
1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность/нечетность: Проверим значение функции для $-x$:
$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат (0, 0).
3. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = 0^3 - 3(0) = 0$. Точка пересечения (0; 0).
- С осью OX (при $y=0$): $x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 3) = 0$. Отсюда $x=0$, $x=\sqrt{3}$, $x=-\sqrt{3}$. Точки пересечения: (0; 0), $(\sqrt{3}; 0)$, $(-\sqrt{3}; 0)$.
4. Точки экстремума и интервалы монотонности:
Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.
Определим знаки производной на интервалах:
- на $(-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- на $(-1; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.
- на $(1; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
Следовательно, $x=-1$ — точка максимума, $x=1$ — точка минимума.
$y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$. Точка максимума (-1; 2).
$y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$. Точка минимума (1; -2).

Составим таблицу значений, включив в нее ключевые точки:

x	-2	$-\sqrt{3}$	-1	0	1	$\sqrt{3}$	2
y	-2	0	2	0	-2	0	2

Для построения графика наносим на координатную плоскость точки из таблицы и соединяем их плавной кривой, учитывая симметрию, точки экстремумов и интервалы монотонности. График представляет собой кубическую параболу, проходящую через начало координат, с локальным максимумом в точке (-1; 2) и локальным минимумом в точке (1; -2).

Ответ: Таблица значений и анализ для построения графика представлены выше.

б) $y = 3x^2 - x^3$

Для того чтобы составить таблицу значений и построить график функции $y = 3x^2 - x^3$, проведем ее полное исследование.
1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность/нечетность: Проверим значение функции для $-x$:
$y(-x) = 3(-x)^2 - (-x)^3 = 3x^2 + x^3$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
3. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = 3(0)^2 - 0^3 = 0$. Точка пересечения (0; 0).
- С осью OX (при $y=0$): $3x^2 - x^3 = 0 \Rightarrow x^2(3 - x) = 0$. Отсюда $x=0$ (корень кратности 2) и $x=3$. Точки пересечения: (0; 0) и (3; 0). В точке (0; 0) график касается оси OX.
4. Точки экстремума и интервалы монотонности:
Найдем первую производную: $y' = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $6x - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x(2 - x) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2$.
Определим знаки производной на интервалах:
- на $(-\infty; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- на $(0; 2)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- на $(2; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.
Следовательно, $x=0$ — точка минимума, $x=2$ — точка максимума.
$y_{min} = y(0) = 3(0)^2 - 0^3 = 0$. Точка минимума (0; 0).
$y_{max} = y(2) = 3(2)^2 - 2^3 = 12 - 8 = 4$. Точка максимума (2; 4).

Составим таблицу значений, включив в нее ключевые точки:

x	-1	0	1	2	3	4
y	4	0	2	4	0	-16

Для построения графика наносим на координатную плоскость точки из таблицы: $(-1; 4)$, $(0; 0)$, $(1; 2)$, $(2; 4)$, $(3; 0)$. Соединяем их плавной линией, учитывая, что в точке $(0; 0)$ находится минимум (касание оси), а в точке $(2; 4)$ — максимум. После точки $(3; 0)$ график уходит в минус бесконечность.

Ответ: Таблица значений и анализ для построения графика представлены выше.