Номер 776, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.4. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 776, страница 251.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ (776–778)

776 На рисунке 5.30 изображён график функции $y = f(x)$, областью определения которой является отрезок $[-2; 2]$. Используя график, ответьте на вопросы:

1) Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение?

2) Укажите нули функции.

3) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

4) Укажите промежутки, где функция возрастает; убывает.

Рис. 5.30

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение?

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 2]$, проанализируем предоставленный график.
Наибольшее значение функция достигает в своей вершине, так как ветви параболы направлены вниз. По графику, вершина находится в точке с координатами приблизительно $(-0.5; 4)$. Следовательно, наибольшее значение функции $y_{max} = 4$, и оно достигается при $x = -0.5$.
Наименьшее значение функции на отрезке находится либо в точке минимума (которой нет), либо на концах отрезка. Сравним значения функции на концах области определения:

• При $x = -2$, значение функции $y = f(-2) = 2$.
• При $x = 2$, значение функции $y = f(2) = -3$.

Сравнивая значения на концах отрезка ($2$ и $-3$) с наибольшим значением ($4$), видим, что наименьшим является значение $-3$. Оно достигается на правом конце отрезка, при $x = 2$.
Ответ: Наибольшее значение функции равно 4, достигается при $x = -0.5$. Наименьшее значение функции равно -3, достигается при $x = 2$.

2) Укажите нули функции.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). Графически это соответствует точкам пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$).
На графике видно, что в пределах области определения $[-2; 2]$ кривая пересекает ось $x$ только один раз. Эта точка находится между значениями $x=1$ и $x=2$. По клеткам сетки можно определить, что её координата приблизительно равна $1.4$.
Ответ: Нуль функции: $x \approx 1.4$.

3) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

Промежутки знакопостоянства определяются тем, где график функции расположен выше или ниже оси абсцисс.
Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси $Ox$. Учитывая область определения $[-2; 2]$ и единственный нуль функции $x \approx 1.4$, это происходит на промежутке от $x=-2$ до $x \approx 1.4$. В точке $x=-2$ значение функции $f(-2)=2$, что является положительным.
Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутке от нуля функции $x \approx 1.4$ до конца области определения $x=2$. В точке $x=2$ значение функции $f(2)=-3$, что является отрицательным.
Ответ: Функция принимает положительные значения на промежутке $[-2; 1.4)$ и отрицательные значения на промежутке $(1.4; 2]$.

4) Укажите промежутки, где функция возрастает; убывает.

Промежутки возрастания и убывания (монотонности) функции определяются по направлению графика при движении по оси $x$ слева направо.
Функция возрастает, когда её график поднимается вверх. Это происходит на участке от левой границы области определения $x=-2$ до вершины параболы, абсцисса которой $x = -0.5$.
Функция убывает, когда её график опускается вниз. Это происходит на участке от вершины параболы ($x = -0.5$) до правой границы области определения $x=2$.
Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-2; -0.5]$ и убывает на промежутке $[-0.5; 2]$.