Номер 777, страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.4. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 777, страница 252.

Условие.

a)

б) Рис. 5.31

777 На рисунке 5.31 изображены графики функций, определённых на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью её графика?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Проанализируем свойства функции, изображенной на графике а):

1. Область определения: График функции непрерывен и простирается на всю числовую ось по горизонтали. Следовательно, область определения — множество всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Область значений: График уходит как в положительную, так и в отрицательную бесконечность по оси ординат. Следовательно, область значений — множество всех действительных чисел. $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): Функция обращается в ноль в точках, где её график пересекает ось абсцисс. Из графика видно, что это происходит при $x \approx -0.8$, $x = 1$ и $x \approx 2.8$.
4. Промежутки знакопостоянства:
   Функция принимает положительные значения ($y>0$), когда её график находится выше оси абсцисс: при $x \in (-\infty; -0.8) \cup (1; 2.8)$.
   Функция принимает отрицательные значения ($y<0$), когда её график находится ниже оси абсцисс: при $x \in (-0.8; 1) \cup (2.8; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
   Функция возрастает на тех промежутках, где её график "идёт вверх" (слева направо): $(-\infty; \approx 0.2]$ и $[\approx 2; +\infty)$.
   Функция убывает на промежутке, где её график "идёт вниз": $[\approx 0.2; \approx 2]$.
6. Экстремумы функции:
   Точка локального максимума (вершина "холма"): $x_{max} \approx 0.2$. Значение функции в этой точке (локальный максимум): $y_{max} \approx 2.2$.
   Точка локального минимума (дно "впадины"): $x_{min} = 2$. Значение функции в этой точке (локальный минимум): $y_{min} = -2$.
7. Четность и нечетность: График функции не является симметричным ни относительно оси ординат (оси y), ни относительно начала координат. Следовательно, это функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения, так как её график представляет собой сплошную линию без разрывов.

Ответ: Область определения $D(y)=(-\infty, +\infty)$, область значений $E(y)=(-\infty, +\infty)$. Нули функции: $x \approx -0.8$, $x=1$, $x \approx 2.8$. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; -0.8) \cup (1; 2.8)$; $y<0$ при $x \in (-0.8; 1) \cup (2.8; +\infty)$. Функция возрастает на $(-\infty; \approx 0.2]$ и $[\approx 2; +\infty)$, убывает на $[\approx 0.2; \approx 2]$. Точка локального максимума $x_{max} \approx 0.2$ ($y_{max} \approx 2.2$), точка локального минимума $x_{min} = 2$ ($y_{min} = -2$). Функция общего вида, непрерывная.

б)

Проанализируем свойства функции, изображенной на графике б):

1. Область определения: График функции непрерывен и простирается на всю числовую ось по горизонтали. Область определения — множество всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Область значений: График имеет наименьшее значение и уходит в положительную бесконечность. Минимальное значение функции достигается в точке $x \approx -1$ и равно $y=-3$. Таким образом, область значений $E(y) = [-3, +\infty)$.
3. Нули функции (точки пересечения или касания оси Ox): Функция обращается в ноль при $x \approx -1.6$, $x \approx -0.4$, $x \approx 1.8$ и $x = 2.5$ (в последней точке график касается оси).
4. Промежутки знакопостоянства:
   Функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; \approx -1.6) \cup (\approx -0.4; \approx 1.8) \cup (2.5; +\infty)$.
   Функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (\approx -1.6; \approx -0.4) \cup (\approx 1.8; 2.5)$.
5. Промежутки монотонности:
   Функция возрастает на промежутках $[\approx -1; \approx 1]$ и $[\approx 2.5; +\infty)$.
   Функция убывает на промежутках $(-\infty; \approx -1]$ и $[\approx 1; \approx 2.5]$.
6. Экстремумы функции:
   Точка локального максимума: $x_{max} \approx 1$, $y_{max} \approx 2$.
   Точки локального минимума: $x_{min1} \approx -1$, $y_{min1} \approx -3$ (это также является глобальным минимумом функции), и $x_{min2} = 2.5$, $y_{min2} = 0$.
7. Четность и нечетность: График несимметричен ни относительно оси y, ни относительно начала координат. Функция является функцией общего вида.
8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Область определения $D(y)=(-\infty, +\infty)$, область значений $E(y)=[-3, +\infty)$. Нули функции: $x \approx -1.6$, $x \approx -0.4$, $x \approx 1.8$, $x = 2.5$. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; \approx -1.6) \cup (\approx -0.4; \approx 1.8) \cup (2.5; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (\approx -1.6; \approx -0.4) \cup (\approx 1.8; 2.5)$. Функция возрастает на $[\approx -1; \approx 1]$ и $[\approx 2.5; +\infty)$, убывает на $(-\infty; \approx -1]$ и $[\approx 1; \approx 2.5]$. Точка локального максимума $x_{max} \approx 1$ ($y_{max} \approx 2$), точки локального минимума $x_{min1} \approx -1$ ($y_{min1} \approx -3$) и $x_{min2} = 2.5$ ($y_{min2} = 0$). Функция общего вида, непрерывная.