Страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

б) Рис. 5.31

777 На рисунке 5.31 изображены графики функций, определённых на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью её графика?

а)

Проанализируем свойства функции, изображенной на графике а):

1. Область определения: График функции непрерывен и простирается на всю числовую ось по горизонтали. Следовательно, область определения — множество всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Область значений: График уходит как в положительную, так и в отрицательную бесконечность по оси ординат. Следовательно, область значений — множество всех действительных чисел. $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): Функция обращается в ноль в точках, где её график пересекает ось абсцисс. Из графика видно, что это происходит при $x \approx -0.8$, $x = 1$ и $x \approx 2.8$.
4. Промежутки знакопостоянства:
   Функция принимает положительные значения ($y>0$), когда её график находится выше оси абсцисс: при $x \in (-\infty; -0.8) \cup (1; 2.8)$.
   Функция принимает отрицательные значения ($y<0$), когда её график находится ниже оси абсцисс: при $x \in (-0.8; 1) \cup (2.8; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
   Функция возрастает на тех промежутках, где её график "идёт вверх" (слева направо): $(-\infty; \approx 0.2]$ и $[\approx 2; +\infty)$.
   Функция убывает на промежутке, где её график "идёт вниз": $[\approx 0.2; \approx 2]$.
6. Экстремумы функции:
   Точка локального максимума (вершина "холма"): $x_{max} \approx 0.2$. Значение функции в этой точке (локальный максимум): $y_{max} \approx 2.2$.
   Точка локального минимума (дно "впадины"): $x_{min} = 2$. Значение функции в этой точке (локальный минимум): $y_{min} = -2$.
7. Четность и нечетность: График функции не является симметричным ни относительно оси ординат (оси y), ни относительно начала координат. Следовательно, это функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения, так как её график представляет собой сплошную линию без разрывов.

Ответ: Область определения $D(y)=(-\infty, +\infty)$, область значений $E(y)=(-\infty, +\infty)$. Нули функции: $x \approx -0.8$, $x=1$, $x \approx 2.8$. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; -0.8) \cup (1; 2.8)$; $y<0$ при $x \in (-0.8; 1) \cup (2.8; +\infty)$. Функция возрастает на $(-\infty; \approx 0.2]$ и $[\approx 2; +\infty)$, убывает на $[\approx 0.2; \approx 2]$. Точка локального максимума $x_{max} \approx 0.2$ ($y_{max} \approx 2.2$), точка локального минимума $x_{min} = 2$ ($y_{min} = -2$). Функция общего вида, непрерывная.

б)

Проанализируем свойства функции, изображенной на графике б):

1. Область определения: График функции непрерывен и простирается на всю числовую ось по горизонтали. Область определения — множество всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Область значений: График имеет наименьшее значение и уходит в положительную бесконечность. Минимальное значение функции достигается в точке $x \approx -1$ и равно $y=-3$. Таким образом, область значений $E(y) = [-3, +\infty)$.
3. Нули функции (точки пересечения или касания оси Ox): Функция обращается в ноль при $x \approx -1.6$, $x \approx -0.4$, $x \approx 1.8$ и $x = 2.5$ (в последней точке график касается оси).
4. Промежутки знакопостоянства:
   Функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; \approx -1.6) \cup (\approx -0.4; \approx 1.8) \cup (2.5; +\infty)$.
   Функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (\approx -1.6; \approx -0.4) \cup (\approx 1.8; 2.5)$.
5. Промежутки монотонности:
   Функция возрастает на промежутках $[\approx -1; \approx 1]$ и $[\approx 2.5; +\infty)$.
   Функция убывает на промежутках $(-\infty; \approx -1]$ и $[\approx 1; \approx 2.5]$.
6. Экстремумы функции:
   Точка локального максимума: $x_{max} \approx 1$, $y_{max} \approx 2$.
   Точки локального минимума: $x_{min1} \approx -1$, $y_{min1} \approx -3$ (это также является глобальным минимумом функции), и $x_{min2} = 2.5$, $y_{min2} = 0$.
7. Четность и нечетность: График несимметричен ни относительно оси y, ни относительно начала координат. Функция является функцией общего вида.
8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Область определения $D(y)=(-\infty, +\infty)$, область значений $E(y)=[-3, +\infty)$. Нули функции: $x \approx -1.6$, $x \approx -0.4$, $x \approx 1.8$, $x = 2.5$. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; \approx -1.6) \cup (\approx -0.4; \approx 1.8) \cup (2.5; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (\approx -1.6; \approx -0.4) \cup (\approx 1.8; 2.5)$. Функция возрастает на $[\approx -1; \approx 1]$ и $[\approx 2.5; +\infty)$, убывает на $(-\infty; \approx -1]$ и $[\approx 1; \approx 2.5]$. Точка локального максимума $x_{max} \approx 1$ ($y_{max} \approx 2$), точки локального минимума $x_{min1} \approx -1$ ($y_{min1} \approx -3$) и $x_{min2} = 2.5$ ($y_{min2} = 0$). Функция общего вида, непрерывная.

778 Среди графиков, изображённых на рисунке 5.32, найдите график функции, которая возрастает при $x \le 2$ и убывает при $x \ge 2$.

Рис. 5.32

В задаче требуется найти график функции, которая возрастает на промежутке $(-\infty, 2]$ (то есть при $x \le 2$) и убывает на промежутке $[2, +\infty)$ (то есть при $x \ge 2$). Это означает, что в точке $x=2$ функция должна менять характер монотонности с возрастания на убывание, то есть в этой точке должен быть локальный максимум.

Рассмотрим каждый из предложенных графиков:

График ①
На этом графике изображена парабола с вершиной в точке $x=2$. Слева от вершины, при $x \le 2$, функция убывает (значения $y$ уменьшаются при увеличении $x$). Справа от вершины, при $x \ge 2$, функция возрастает (значения $y$ увеличиваются при увеличении $x$). Это противоположно требуемому условию.

График ②
На этом графике также изображена парабола с вершиной в точке $x=2$. Слева от вершины, при $x \le 2$, функция возрастает (значения $y$ увеличиваются при увеличении $x$). Справа от вершины, при $x \ge 2$, функция убывает (значения $y$ уменьшаются при увеличении $x$). В точке $x=2$ находится максимум функции. Это полностью соответствует условию задачи.

График ③
На этом графике функция убывает на всей своей области определения. Она не имеет промежутков возрастания. Следовательно, этот график не удовлетворяет условию.

Таким образом, единственным графиком, который удовлетворяет заданным условиям, является график под номером 2.

Ответ: 2

779 Нулями функции $f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 28x + 15$ являются числа -3; 5; 0,5. Убедитесь в справедливости этого утверждения. Сформулируйте этот факт другими способами, используя слова «график», «значение функции», «уравнение».

Чтобы убедиться, что числа -3, 5 и 0,5 являются нулями функции $f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 28x + 15$, нужно подставить эти значения в функцию и проверить, будет ли результат равен нулю.

• Проверка для $x = -3$:

  $f(-3) = 2(-3)^3 - 5(-3)^2 - 28(-3) + 15 = 2(-27) - 5(9) + 84 + 15 = -54 - 45 + 84 + 15 = -99 + 99 = 0$.

• Проверка для $x = 5$:

  $f(5) = 2(5)^3 - 5(5)^2 - 28(5) + 15 = 2(125) - 5(25) - 140 + 15 = 250 - 125 - 140 + 15 = 125 - 140 + 15 = -15 + 15 = 0$.

• Проверка для $x = 0,5$:

  $f(0,5) = 2(0,5)^3 - 5(0,5)^2 - 28(0,5) + 15 = 2(0,125) - 5(0,25) - 14 + 15 = 0,25 - 1,25 - 14 + 15 = -1 + 1 = 0$.

Все три значения обращают функцию в ноль, следовательно, утверждение справедливо.

Теперь сформулируем этот факт другими способами.

«график»

Нули функции – это абсциссы точек, в которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ox). Следовательно, тот факт, что числа -3, 5 и 0,5 являются нулями функции $f(x)$, означает, что график этой функции пересекает ось Ox в точках с координатами $(-3; 0)$, $(5; 0)$ и $(0,5; 0)$.

Ответ: График функции $f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 28x + 15$ пересекает ось абсцисс в точках $(-3; 0)$, $(5; 0)$ и $(0,5; 0)$.

«значение функции»

По определению, нуль функции – это такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Таким образом, утверждение можно сформулировать следующим образом: значение функции $f(x)$ равно нулю при $x$, равном -3, 5 и 0,5.

Ответ: Значение функции $f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 28x + 15$ равно нулю при значениях аргумента $x = -3$, $x = 5$ и $x = 0,5$.

«уравнение»

Нахождение нулей функции $f(x)$ эквивалентно решению уравнения $f(x) = 0$. Корни этого уравнения и являются нулями функции. Поэтому данный факт можно сформулировать так: числа -3, 5 и 0,5 являются решениями (корнями) уравнения $2x^3 - 5x^2 - 28x + 15 = 0$.

Ответ: Числа -3, 5 и 0,5 являются корнями уравнения $2x^3 - 5x^2 - 28x + 15 = 0$.

Найдите нули функции (780–781).

780 а) $y = x^2 - 2x - 8;$

б) $y = x^2 - 9x;$

в) $y = 3x^2 + x - 2;$

г) $f(x) = 10 - x^2.$

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ (или $f(x)$) равно нулю. Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять ее выражение к нулю и решить полученное уравнение.

а) $y = x^2 - 2x - 8$

Приравняем функцию к нулю:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Для его решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-2$, $c=-8$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые мы найдем по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Следовательно, нули функции: -2 и 4.

Ответ: -2; 4.

б) $y = x^2 - 9x$

Приравняем функцию к нулю:

$x^2 - 9x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 9) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x - 9 = 0$

Из второго уравнения получаем $x_2 = 9$.

Следовательно, нули функции: 0 и 9.

Ответ: 0; 9.

в) $y = 3x^2 + x - 2$

Приравняем функцию к нулю:

$3x^2 + x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=3$, $b=1$, $c=-2$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Следовательно, нули функции: -1 и $\frac{2}{3}$.

Ответ: -1; $\frac{2}{3}$.

г) $f(x) = 10 - x^2$

Приравняем функцию к нулю:

$10 - x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем $x^2$ в правую часть уравнения:

$x^2 = 10$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{10}$

Следовательно, нули функции: $-\sqrt{10}$ и $\sqrt{10}$.

Ответ: $-\sqrt{10}$; $\sqrt{10}$.

781 a) $f(x)=(x-1)(x+\frac{3}{2})(x-\frac{1}{3})$;

б) $f(x)=x^2(x+0.5)(2x-3)$;

В) $f(x)=10x^4-250x^2$;

Г) $y=3x^3-108x^2$.

а) Для нахождения нулей функции $f(x) = (x - 1)(x + \frac{3}{2})(x - \frac{1}{3})$ необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.
$(x - 1)(x + \frac{3}{2})(x - \frac{1}{3}) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждую скобку к нулю:
1) $x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$
2) $x + \frac{3}{2} = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{3}{2}$
3) $x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x_3 = \frac{1}{3}$
Ответ: нули функции: $1, -\frac{3}{2}, \frac{1}{3}$.

б) Для нахождения нулей функции $f(x) = x^2(x + 0,5)(2x - 3)$ необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.
$x^2(x + 0,5)(2x - 3) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$ (корень кратности 2)
2) $x + 0,5 = 0 \Rightarrow x_2 = -0,5$
3) $2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x_3 = \frac{3}{2} = 1,5$
Ответ: нули функции: $0, -0,5, 1,5$.

в) Для нахождения нулей функции $f(x) = 10x^4 - 250x^2$ необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.
$10x^4 - 250x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $10x^2$ за скобки:
$10x^2(x^2 - 25) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.
$10x^2(x - 5)(x + 5) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $10x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$ (корень кратности 2)
2) $x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$
3) $x + 5 = 0 \Rightarrow x_3 = -5$
Ответ: нули функции: $0, 5, -5$.

г) Для нахождения нулей функции $y = 3x^3 - 108x^2$ необходимо решить уравнение $y = 0$.
$3x^3 - 108x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $3x^2$ за скобки:
$3x^2(x - 36) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$ (корень кратности 2)
2) $x - 36 = 0 \Rightarrow x_2 = 36$
Ответ: нули функции: $0, 36$.