Страница 245 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Откройте фрагмент 1 текста с таблицей «Числовые промежутки». Проиллюстрируйте конкретным примером каждый из представленных в таблице числовых промежутков: изобразите его на координатной прямой, запишите соответствующее неравенство и обозначение.

Ниже представлены примеры для каждого вида числовых промежутков с изображением на координатной прямой, соответствующими неравенствами и обозначениями.

Отрезок (закрытый интервал)

Рассмотрим множество чисел $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $ -3 \le x \le 5 $. Это числовой промежуток, который представляет собой все числа от -3 до 5, включая сами числа -3 и 5. Такой промежуток называют отрезком.

Обозначение: $[-3; 5]$

Неравенство: $ -3 \le x \le 5 $

Изображение на координатной прямой:

На координатной прямой точки, соответствующие концам отрезка ($-3$ и $5$), изображаются закрашенными (сплошными) кружками.

Ответ: Пример отрезка — $[-3; 5]$, что соответствует неравенству $ -3 \le x \le 5 $. На координатной прямой он изображается как отрезок между точками -3 и 5, включая эти точки.

Интервал (открытый интервал)

Рассмотрим множество чисел $x$, удовлетворяющих строгому двойному неравенству $ -1 < x < 4 $. Это числовой промежуток, который представляет собой все числа от -1 до 4, не включая сами числа -1 и 4. Такой промежуток называют интервалом.

Обозначение: $(-1; 4)$

Неравенство: $ -1 < x < 4 $

Изображение на координатной прямой:

На координатной прямой точки, соответствующие концам интервала ($-1$ и $4$), изображаются незакрашенными (выколотыми) кружками.

Ответ: Пример интервала — $(-1; 4)$, что соответствует неравенству $ -1 < x < 4 $. На координатной прямой он изображается как отрезок между точками -1 и 4, не включая эти точки.

Полуинтервал

Полуинтервалы — это промежутки, у которых один конец включен в множество, а другой — нет. Существует два вида полуинтервалов.

Пример 1: Множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $ 0 \le x < 6 $. В это множество входит число 0, но не входит число 6.

Обозначение: $[0; 6)$

Неравенство: $ 0 \le x < 6 $

Изображение на координатной прямой:

Ответ: Пример полуинтервала — $[0; 6)$, что соответствует неравенству $ 0 \le x < 6 $.

Пример 2: Множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $ -4 < x \le 2 $. В это множество не входит число -4, но входит число 2.

Обозначение: $(-4; 2]$

Неравенство: $ -4 < x \le 2 $

Изображение на координатной прямой:

Ответ: Пример полуинтервала — $(-4; 2]$, что соответствует неравенству $ -4 < x \le 2 $.

Числовой луч

Числовые лучи — это бесконечные промежутки, ограниченные с одной стороны, причем начальная точка луча входит в множество.

Пример 1: Множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $ x \ge 2 $.

Обозначение: $[2; +\infty)$

Неравенство: $ x \ge 2 $

Изображение на координатной прямой:

Ответ: Пример луча — $[2; +\infty)$, что соответствует неравенству $ x \ge 2 $.

Открытый числовой луч

Это бесконечные промежутки, ограниченные с одной стороны, у которых начальная точка не входит в множество.

Пример 1: Множество чисел $x$, удовлетворяющих строгому неравенству $ x > -5 $.

Обозначение: $(-5; +\infty)$

Неравенство: $ x > -5 $

Изображение на координатной прямой:

Ответ: Пример открытого луча — $(-5; +\infty)$, что соответствует неравенству $ x > -5 $.

Числовая прямая

Это множество всех действительных чисел. Оно не ограничено ни слева, ни справа.

Обозначение: $(-\infty; +\infty)$

Неравенство: $x \in \mathbb{R}$ (или $ -\infty < x < +\infty $)

Изображение на координатной прямой:

На координатной прямой штриховкой покрывается вся ось.

Ответ: Вся числовая прямая обозначается как $(-\infty; +\infty)$ и соответствует множеству всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.

Прочитайте фрагмент 2 текста. Используя рисунок 5.17, расскажите:

a) как с помощью графика функции $y = f(x)$ найти значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 3, и найдите его.

б) как с помощью графика функции $y = f(x)$ найти значение $x$, при котором $f(x) = 3$, и найдите его.

а) как с помощью графика функции $y = f(x)$ найти значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 3, и найдите его.

Чтобы с помощью графика функции найти значение функции, соответствующее значению аргумента $x=3$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти на оси абсцисс (горизонтальная ось $Ox$) значение $x=3$.

2. Провести через эту точку вертикальную прямую (перпендикулярно оси $Ox$) до пересечения с графиком функции $y=f(x)$.

3. Из полученной точки на графике провести горизонтальную прямую (перпендикулярно оси $Oy$) до пересечения с осью ординат (вертикальная ось $Oy$).

4. Точка пересечения этой горизонтальной прямой с осью $Oy$ и будет искомым значением функции. Это значение является ординатой точки графика, абсцисса которой равна 3.

Поскольку в задании отсутствует рисунок 5.17 с графиком функции, найти конкретное численное значение $f(3)$ не представляется возможным.

Ответ: Чтобы найти значение функции при $x=3$, нужно на оси $x$ найти точку со значением 3, от нее двигаться вертикально до пересечения с графиком, а от точки пересечения — горизонтально до оси $y$. Полученное на оси $y$ значение и будет искомым.

б) как с помощью графика функции $y = f(x)$ найти значение $x$, при котором $f(x) = 3$, и найдите его.

Чтобы с помощью графика функции найти значение аргумента $x$, при котором значение функции равно 3 (т.е. $f(x) = 3$), необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти на оси ординат (вертикальная ось $Oy$) значение $y=3$.

2. Провести через эту точку горизонтальную прямую (параллельно оси $Ox$) до пересечения с графиком функции $y=f(x)$. Следует учесть, что таких точек пересечения может быть одна, несколько или не быть совсем.

3. Из каждой полученной точки пересечения опустить вертикальную прямую (перпендикулярно оси $Ox$) на ось абсцисс.

4. Точки пересечения этих вертикальных прямых с осью $Ox$ и будут искомыми значениями аргумента $x$.

Поскольку в задании отсутствует рисунок 5.17 с графиком функции, найти конкретное численное значение (или значения) $x$ не представляется возможным.

Ответ: Чтобы найти значение $x$, при котором $f(x)=3$, нужно на оси $y$ найти точку со значением 3, от нее двигаться горизонтально до пересечения с графиком (может быть несколько таких точек), а от каждой точки пересечения — вертикально до оси $x$. Полученные на оси $x$ значения и будут искомыми.

Какие из графиков (рис. 5.20) могут служить графиками функций?

Рис. 5.20

Согласно определению функции, каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) должно соответствовать единственное значение зависимой переменной (функции $y$). Графически это можно проверить с помощью теста вертикальной прямой: если любая вертикальная прямая пересекает график не более чем в одной точке, то этот график является графиком функции.

Проанализируем каждый график:

На этом графике можно провести вертикальную прямую (например, при $x = 0.5$), которая пересечет кривую в двух точках. Это означает, что одному значению $x$ соответствуют два разных значения $y$. Следовательно, это не график функции.

Ответ: не является графиком функции.

Любая вертикальная прямая, проведенная в пределах области определения (от $x = -1$ до $x = 1$), пересекает этот график ровно в одной точке. Это удовлетворяет определению функции. Данный график представляет собой функцию $y = \sqrt{1 - x^2}$.

Ответ: является графиком функции.

Для этого графика любая вертикальная прямая также пересекает кривую не более чем в одной точке. Каждому значению $x$ из области определения (в данном случае, $x \le 0$) соответствует ровно одно значение $y$. Таким образом, этот график задает функцию.

Ответ: является графиком функции.

756 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Изобразите указанный промежуток на координатной прямой и запишите его обозначение:

а) $ -3 \le x \le 2; $

б) $ -8 < x < 0; $

в) $ -5 \le x < 5; $

г) $ x \ge 4; $

д) $ x \le 5; $

е) $ x < 0. $

а) $ -3 \le x \le 2 $

Это двойное неравенство определяет числовой промежуток, который включает все числа от -3 до 2, а также сами числа -3 и 2. Такой промежуток называется числовым отрезком.
На координатной прямой необходимо отметить точки -3 и 2. Поскольку знаки неравенства нестрогие ($\le$), обе точки включаются в промежуток и изображаются закрашенными (сплошными) кружками. После этого заштриховывается область на прямой между этими двумя точками.
Обозначение этого промежутка записывается с использованием квадратных скобок, которые указывают на включение конечных точек.
Ответ: $[-3; 2]$.

б) $ -8 < x < 0 $

Данное двойное неравенство задает промежуток, включающий все числа строго между -8 и 0. Конечные точки -8 и 0 не входят в этот промежуток. Такой промежуток называется интервалом.
На координатной прямой отмечаем точки -8 и 0. Так как неравенство строгое (со знаками $ < $), обе точки не включаются в промежуток и изображаются выколотыми (пустыми) кружками. Заштриховывается область между этими точками.
Для обозначения интервала используются круглые скобки.
Ответ: $(-8; 0)$.

в) $ -5 \le x < 5 $

Это двойное неравенство описывает промежуток, в который входят все числа от -5 включительно до 5, не включая само число 5. Такой промежуток называется полуинтервалом.
На координатной прямой точка -5 отмечается закрашенным кружком (знак $\le$), а точка 5 — выколотым кружком (знак $ < $). Штрихуется область между ними.
В обозначении используется квадратная скобка для включенной границы и круглая для исключенной.
Ответ: $[-5; 5)$.

г) $ x \ge 4 $

Это неравенство задает промежуток, который включает число 4 и все числа, большие 4. Такой промежуток называется лучом.
На координатной прямой точка 4 отмечается закрашенным кружком (знак $\ge$), и вся область справа от этой точки штрихуется до бесконечности.
Обозначение включает число 4 (квадратная скобка) и простирается до плюс бесконечности ($+\infty$), которая всегда обозначается круглой скобкой.
Ответ: $[4; +\infty)$.

д) $ x \le 5 $

Неравенство описывает промежуток, включающий число 5 и все числа, меньшие 5. Это также луч.
На координатной прямой точка 5 отмечается закрашенным кружком (знак $\le$), и штрихуется вся область слева от этой точки.
Промежуток начинается от минус бесконечности ($-\infty$) и доходит до 5 включительно.
Ответ: $(-\infty; 5]$.

е) $ x < 0 $

Данное неравенство означает, что x принимает все значения, строго меньшие 0. Такой промежуток называется открытым лучом.
На координатной прямой точка 0 отмечается выколотым кружком (знак $ < $), и штрихуется вся область слева от нее.
Промежуток простирается от минус бесконечности до 0, не включая 0.
Ответ: $(-\infty; 0)$.

б) $-8 < x < 0$; д) $x \le 5$;

в) $-5 \le x < 5$; е) $x < 0$.

757 На рисунке 5.21 изображён график некоторой функции. Найдите по этому графику:

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному $-2$; $-1$; $0$; $1$; $2$; $4$;

б) значение аргумента, при котором значение функции равно $-3$; $-1$; $0$; $1$; $1,5$.

Рис. 5.21

а) Для того чтобы найти значение функции, соответствующее заданному значению аргумента, необходимо найти на оси абсцисс (ось $x$) указанное значение, затем найти точку на графике с этой абсциссой и определить ее ординату (значение по оси $y$).

- При $x = -2$: график имеет вертикальную асимптоту. Это означает, что при приближении $x$ к $-2$ справа, значение функции $y$ стремится к минус бесконечности. Таким образом, функция в точке $x = -2$ не определена.
- При $x = -1$: график пересекает ось $x$ в этой точке. Следовательно, значение функции $y = 0$.
- При $x = 0$: график пересекает ось $y$ в точке $y=1$. Следовательно, значение функции $y = 1$.
- При $x = 1$: находим на графике точку с абсциссой $1$. Ее ордината равна $1.5$. Следовательно, $y = 1.5$.
- При $x = 2$: график проходит через точку с координатами $(2, 2)$. Следовательно, значение функции $y = 2$.
- При $x = 4$: находим на графике точку с абсциссой $4$. Ее ордината приблизительно равна $2.5$. Следовательно, $y \approx 2.5$.

Ответ: при $x=-2$ функция не определена; при $x=-1$ значение функции равно $0$; при $x=0$ значение функции равно $1$; при $x=1$ значение функции равно $1.5$; при $x=2$ значение функции равно $2$; при $x=4$ значение функции примерно равно $2.5$.

б) Для того чтобы найти значение аргумента, при котором функция равна заданному значению, необходимо найти на оси ординат (ось $y$) указанное значение, затем найти точку на графике с этой ординатой и определить ее абсциссу (значение по оси $x$).

- При $y = -3$: находим на оси $y$ значение $-3$ и проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком. Абсцисса точки пересечения примерно равна $x \approx -1.875$.
- При $y = -1$: находим на графике точку с ординатой $-1$. Ее абсцисса равна $x = -1.5$.
- При $y = 0$: это точка пересечения графика с осью $x$. В этой точке $x = -1$.
- При $y = 1$: это точка пересечения графика с осью $y$. В этой точке $x = 0$.
- При $y = 1.5$: находим на графике точку с ординатой $1.5$. Ее абсцисса равна $x = 1$.

Ответ: значение функции равно $-3$ при $x \approx -1.875$; значение функции равно $-1$ при $x = -1.5$; значение функции равно $0$ при $x = -1$; значение функции равно $1$ при $x = 0$; значение функции равно $1.5$ при $x = 1$.