Страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

745 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Дана функция $\varphi(x) = 1 - 3x^3$. Какое из следующих утверждений верно?

1) $\varphi(2) = 23$
2) $\varphi(2) = 25$
3) $\varphi(2) = -25$
4) $\varphi(2) = -23$

Для того чтобы определить, какое из предложенных утверждений является верным, необходимо вычислить значение функции $\phi(x) = 1 - 3x^3$ при $x=2$.

Подставим $x=2$ в выражение для функции:

$\phi(2) = 1 - 3 \cdot (2)^3$

Выполним вычисления, строго соблюдая порядок математических операций:

1. Сначала возводим в степень: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

2. Затем выполняем умножение: $3 \cdot 8 = 24$.

3. В последнюю очередь выполняем вычитание: $1 - 24 = -23$.

Таким образом, мы получили, что $\phi(2) = -23$.

Теперь сравним полученный результат с каждым из утверждений:

1) $\phi(2) = 23$. Утверждение неверно.

2) $\phi(2) = 25$. Утверждение неверно.

3) $\phi(2) = -25$. Утверждение неверно.

4) $\phi(2) = -23$. Утверждение верно.

Ответ: 4)

746 Найдите значение аргумента, при котором:

а) функция $f(x) = -1.5x$ принимает значение, равное 9;

б) функция $f(x) = -5x - 20$ принимает значение, равное 15;

в) функция $f(x) = \frac{1}{2}x - 4$ принимает значение, равное 2;

г) функция $f(x) = \frac{1}{x}$ принимает значение, равное 10.

а) Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $f(x) = -1,5x$ принимает значение, равное 9, необходимо решить уравнение:

$f(x) = 9$

$-1,5x = 9$

Разделим обе части уравнения на -1,5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{9}{-1,5}$

$x = -6$

Ответ: -6

б) Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $f(x) = -5x - 20$ принимает значение, равное 15, составим и решим уравнение:

$f(x) = 15$

$-5x - 20 = 15$

Перенесем -20 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-5x = 15 + 20$

$-5x = 35$

Разделим обе части уравнения на -5:

$x = \frac{35}{-5}$

$x = -7$

Ответ: -7

в) Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $f(x) = \frac{1}{2}x - 4$ принимает значение, равное 2, решим уравнение:

$f(x) = 2$

$\frac{1}{2}x - 4 = 2$

Перенесем -4 в правую часть уравнения:

$\frac{1}{2}x = 2 + 4$

$\frac{1}{2}x = 6$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = 6 \cdot 2$

$x = 12$

Ответ: 12

г) Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $f(x) = \frac{1}{x}$ принимает значение, равное 10, решим уравнение:

$f(x) = 10$

$\frac{1}{x} = 10$

Чтобы найти $x$, можно "перевернуть" обе части уравнения (или выразить $x$ из пропорции $10 = \frac{10}{1}$):

$x = \frac{1}{10}$

$x = 0,1$

Ответ: 0,1

747 Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) $y = 5x - 12$;

б) $y = 2x^2 - 3x + 2$;

в) $y = \frac{5}{x+1}$;

г) $y = \frac{10}{4+x^2}$;

д) $y = \frac{x}{4x^2 - 9}$;

е) $y = \frac{x^2 - 25}{10}$.

а) Функция задана формулой $y = 5x - 12$. Это линейная функция, которая является многочленом. Многочлены определены для всех действительных чисел. Следовательно, ограничений на область определения нет.
Ответ: все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Функция задана формулой $y = 2x^2 - 3x + 2$. Это квадратичная функция, которая является многочленом. Многочлены определены для всех действительных чисел. Следовательно, ограничений на область определения нет.
Ответ: все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Функция задана формулой $y = \frac{5}{x+1}$. Данная функция является дробно-рациональной. Область определения такой функции состоит из всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдем эти значения, решив уравнение:
$x + 1 = 0$
$x = -1$
Значит, из области определения нужно исключить значение $x = -1$.
Ответ: все действительные числа, кроме $-1$, то есть $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

г) Функция задана формулой $y = \frac{10}{4 + x^2}$. Эта функция является дробно-рациональной. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Проверим, при каких значениях $x$ знаменатель равен нулю:
$4 + x^2 = 0$
$x^2 = -4$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Знаменатель $4 + x^2$ всегда положителен (точнее, $4 + x^2 \ge 4$). Следовательно, ограничений на область определения нет.
Ответ: все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

д) Функция задана формулой $y = \frac{x}{4x^2 - 9}$. Эта функция является дробно-рациональной. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключим их из области определения.
$4x^2 - 9 = 0$
Используем формулу разности квадратов:
$(2x - 3)(2x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$2x - 3 = 0$ или $2x + 3 = 0$
$2x = 3$ или $2x = -3$
$x = 1,5$ или $x = -1,5$
Значит, из области определения нужно исключить значения $x = 1,5$ и $x = -1,5$.
Ответ: все действительные числа, кроме $-1,5$ и $1,5$, то есть $x \in (-\infty; -1,5) \cup (-1,5; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$.

е) Функция задана формулой $y = \frac{x^2 - 25}{10}$. В этой дроби знаменатель является числом 10, которое не равно нулю и не зависит от $x$. Числитель $x^2 - 25$ определен для любого действительного числа $x$. Таким образом, выражение имеет смысл при любом значении $x$.
Ответ: все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

748 Дана функция

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x > 0 \\ 5, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$

Найдите значение этой функции при значении аргумента, равном -3; -2; 0; 0,1; 5.

Данная функция является кусочно-заданной. Это означает, что для вычисления ее значения используются разные формулы в зависимости от того, в какой области находится аргумент $x$.

Определение функции:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x > 0 \\ 5, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$

Чтобы найти значение функции для каждого из заданных аргументов, необходимо определить, какому из условий ($x > 0$ или $x \le 0$) он удовлетворяет, и применить соответствующую формулу.

-3
Значение аргумента $x = -3$ удовлетворяет условию $x \le 0$. Согласно определению функции, для таких значений $x$ значение функции постоянно и равно 5.
$f(-3) = 5$.
Ответ: 5

-2
Значение аргумента $x = -2$ удовлетворяет условию $x \le 0$. Следовательно, для этого значения аргумента функция также равна 5.
$f(-2) = 5$.
Ответ: 5

0
Значение аргумента $x = 0$ удовлетворяет условию $x \le 0$ (поскольку $0 = 0$). Таким образом, мы используем вторую ветвь определения функции.
$f(0) = 5$.
Ответ: 5

0,1
Значение аргумента $x = 0,1$ удовлетворяет условию $x > 0$. В этом случае используется формула $f(x) = x^2 - 1$.
Подставим $x = 0,1$ в эту формулу:
$f(0,1) = (0,1)^2 - 1 = 0,01 - 1 = -0,99$.
Ответ: -0,99

5
Значение аргумента $x = 5$ удовлетворяет условию $x > 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = x^2 - 1$.
Подставим $x = 5$ в эту формулу:
$f(5) = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$.
Ответ: 24

749 Дана функция

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 6, & \text{если } x \ge 3 \\ 6 - x^2, & \text{если } x < 3. \end{cases}$

Найдите значение этой функции при значении аргумента, равном:

а) $ \sqrt{3}; \sqrt{7}; \sqrt{10}; $

б) $ 2 - \sqrt{3}; \frac{1}{\sqrt{3}}; 2\sqrt{3}. $

Для нахождения значения функции для каждого аргумента $x$ необходимо сначала определить, удовлетворяет ли $x$ условию $x \ge 3$ или $x < 3$, а затем подставить значение в соответствующую формулу.

а)

1. Найдем значение функции для $x = \sqrt{3}$.
Сравним $\sqrt{3}$ с 3. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $3 < 9$, то $\sqrt{3} < \sqrt{9}$, следовательно $\sqrt{3} < 3$.
Для этого случая используем формулу $f(x) = 6 - x^2$.
$f(\sqrt{3}) = 6 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3$.

2. Найдем значение функции для $x = \sqrt{7}$.
Сравним $\sqrt{7}$ с 3. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $7 < 9$, то $\sqrt{7} < \sqrt{9}$, следовательно $\sqrt{7} < 3$.
Используем формулу $f(x) = 6 - x^2$.
$f(\sqrt{7}) = 6 - (\sqrt{7})^2 = 6 - 7 = -1$.

3. Найдем значение функции для $x = \sqrt{10}$.
Сравним $\sqrt{10}$ с 3. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $10 > 9$, то $\sqrt{10} > \sqrt{9}$, следовательно $\sqrt{10} > 3$.
Для этого случая ($x \ge 3$) используем формулу $f(x) = x^2 - 6$.
$f(\sqrt{10}) = (\sqrt{10})^2 - 6 = 10 - 6 = 4$.

Ответ: $3; -1; 4$.

б)

1. Найдем значение функции для $x = 2 - \sqrt{3}$.
Сравним $2 - \sqrt{3}$ с 3. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $2-2 < 2 - \sqrt{3} < 2-1$, что дает $0 < 2 - \sqrt{3} < 1$. Следовательно, $2 - \sqrt{3} < 3$.
Используем формулу $f(x) = 6 - x^2$.
$f(2 - \sqrt{3}) = 6 - (2 - \sqrt{3})^2 = 6 - (2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = 6 - (4 - 4\sqrt{3} + 3) = 6 - (7 - 4\sqrt{3}) = 6 - 7 + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 1$.

2. Найдем значение функции для $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Сравним $\frac{1}{\sqrt{3}}$ с 3. Так как $\sqrt{3} > 1$, то $0 < \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$. Следовательно, $\frac{1}{\sqrt{3}} < 3$.
Используем формулу $f(x) = 6 - x^2$.
$f(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 6 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 6 - \frac{1}{3} = \frac{18}{3} - \frac{1}{3} = \frac{17}{3}$.

3. Найдем значение функции для $x = 2\sqrt{3}$.
Сравним $2\sqrt{3}$ с 3. Возведем оба положительных числа в квадрат: $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$ и $3^2 = 9$. Так как $12 > 9$, то $2\sqrt{3} > 3$.
Для этого случая ($x \ge 3$) используем формулу $f(x) = x^2 - 6$.
$f(2\sqrt{3}) = (2\sqrt{3})^2 - 6 = 12 - 6 = 6$.

Ответ: $4\sqrt{3} - 1; \frac{17}{3}; 6$.

РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ (750–751)

750 Дана функция $f(x) = x^2 + 4$. Найдите: $f(a)$; $f(-a)$; $f(a + 1)$.

Для решения данной задачи необходимо поочередно подставить заданные выражения в качестве аргумента в функцию $f(x) = x^2 + 4$.

f(a)
Чтобы найти значение функции $f(a)$, нужно подставить $a$ вместо переменной $x$ в формулу функции:
$f(a) = a^2 + 4$
Это и есть окончательное выражение.
Ответ: $a^2 + 4$

f(-a)
Чтобы найти значение функции $f(-a)$, подставляем $-a$ вместо переменной $x$:
$f(-a) = (-a)^2 + 4$
Возводим $-a$ в квадрат. Квадрат любого числа (положительного или отрицательного) является неотрицательным числом, поэтому $(-a)^2 = a^2$.
$f(-a) = a^2 + 4$
Ответ: $a^2 + 4$

f(a + 1)
Чтобы найти значение функции $f(a+1)$, подставляем выражение $a+1$ вместо переменной $x$:
$f(a + 1) = (a + 1)^2 + 4$
Для упрощения выражения раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$(a + 1)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 + 2a + 1$
Теперь подставим результат раскрытия скобок обратно в выражение для функции:
$f(a + 1) = (a^2 + 2a + 1) + 4$
Сложим числовые слагаемые:
$f(a + 1) = a^2 + 2a + 5$
Ответ: $a^2 + 2a + 5$

751 Даны функции $f(x) = \frac{x-5}{x+4}$ и $g(x) = 8 + \frac{1}{x}$. Покажите, что:

a) $f(-5) = g\left(\frac{1}{2}\right)$;

б) $f(-2) < g(-0,1)$.

Даны функции $f(x)=\frac{x-5}{x+4}$ и $g(x)=8+\frac{1}{x}$.

а) f(-5)=g(1/2);

Для того чтобы показать, что данное равенство верно, необходимо вычислить значения каждой из функций в указанных точках и сравнить их.

1. Вычислим значение функции $f(x)$ при $x = -5$:

$f(-5) = \frac{-5-5}{-5+4} = \frac{-10}{-1} = 10$.

2. Вычислим значение функции $g(x)$ при $x = \frac{1}{2}$:

$g(\frac{1}{2}) = 8 + \frac{1}{1/2} = 8 + 2 = 10$.

3. Сравним полученные результаты:

$f(-5) = 10$ и $g(\frac{1}{2}) = 10$.

Поскольку $10 = 10$, равенство $f(-5) = g(\frac{1}{2})$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано, так как $f(-5) = 10$ и $g(\frac{1}{2}) = 10$.

б) f(-2) < g(-0,1).

Чтобы показать, что данное неравенство верно, вычислим значения каждой из функций в указанных точках и сравним их.

1. Вычислим значение функции $f(x)$ при $x = -2$:

$f(-2) = \frac{-2-5}{-2+4} = \frac{-7}{2} = -3,5$.

2. Вычислим значение функции $g(x)$ при $x = -0,1$:

$g(-0,1) = 8 + \frac{1}{-0,1} = 8 - 10 = -2$.

3. Теперь сравним полученные значения, подставив их в исходное неравенство:

$-3,5 < -2$.

Данное неравенство является верным, так как на числовой оси точка $-3,5$ расположена левее точки $-2$. Следовательно, неравенство $f(-2) < g(-0,1)$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как $f(-2) = -3,5$, $g(-0,1) = -2$ и $-3,5 < -2$.