Номер 747, страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.2. Что такое функция. Глава 5. Функции - номер 747, страница 241.

Условие.

747 Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) $y = 5x - 12$;

б) $y = 2x^2 - 3x + 2$;

в) $y = \frac{5}{x+1}$;

г) $y = \frac{10}{4+x^2}$;

д) $y = \frac{x}{4x^2 - 9}$;

е) $y = \frac{x^2 - 25}{10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Функция задана формулой $y = 5x - 12$. Это линейная функция, которая является многочленом. Многочлены определены для всех действительных чисел. Следовательно, ограничений на область определения нет.
Ответ: все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Функция задана формулой $y = 2x^2 - 3x + 2$. Это квадратичная функция, которая является многочленом. Многочлены определены для всех действительных чисел. Следовательно, ограничений на область определения нет.
Ответ: все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Функция задана формулой $y = \frac{5}{x+1}$. Данная функция является дробно-рациональной. Область определения такой функции состоит из всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдем эти значения, решив уравнение:
$x + 1 = 0$
$x = -1$
Значит, из области определения нужно исключить значение $x = -1$.
Ответ: все действительные числа, кроме $-1$, то есть $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

г) Функция задана формулой $y = \frac{10}{4 + x^2}$. Эта функция является дробно-рациональной. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Проверим, при каких значениях $x$ знаменатель равен нулю:
$4 + x^2 = 0$
$x^2 = -4$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Знаменатель $4 + x^2$ всегда положителен (точнее, $4 + x^2 \ge 4$). Следовательно, ограничений на область определения нет.
Ответ: все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

д) Функция задана формулой $y = \frac{x}{4x^2 - 9}$. Эта функция является дробно-рациональной. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключим их из области определения.
$4x^2 - 9 = 0$
Используем формулу разности квадратов:
$(2x - 3)(2x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$2x - 3 = 0$ или $2x + 3 = 0$
$2x = 3$ или $2x = -3$
$x = 1,5$ или $x = -1,5$
Значит, из области определения нужно исключить значения $x = 1,5$ и $x = -1,5$.
Ответ: все действительные числа, кроме $-1,5$ и $1,5$, то есть $x \in (-\infty; -1,5) \cup (-1,5; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$.

е) Функция задана формулой $y = \frac{x^2 - 25}{10}$. В этой дроби знаменатель является числом 10, которое не равно нулю и не зависит от $x$. Числитель $x^2 - 25$ определен для любого действительного числа $x$. Таким образом, выражение имеет смысл при любом значении $x$.
Ответ: все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.