Номер 752, страница 242 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.2. Что такое функция. Глава 5. Функции - номер 752, страница 242.

Условие.

752 Существуют ли значения аргумента, при которых:

а) функция $y = x^2 + 7x + 15$ принимает значение, равное 5;

б) функция $y = x^2 - 1$ принимает значение, равное -4;

в) функция $y = x^4 + 3x^2 - 1$ принимает значение, равное 3;

г) функция $y = \frac{1}{3}x^3 + 1$ принимает значение, равное -10?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, существуют ли значения аргумента (x), при которых функция принимает заданное значение, нужно приравнять выражение функции к этому значению и решить полученное уравнение. Если уравнение имеет хотя бы один действительный корень, то такие значения аргумента существуют.

а)

Проверим, существуют ли значения аргумента, при которых функция $y = x^2 + 7x + 15$ принимает значение, равное 5.

Для этого решим уравнение:

$x^2 + 7x + 15 = 5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 7x + 15 - 5 = 0$

$x^2 + 7x + 10 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, чтобы определить, есть ли у уравнения действительные корни. В данном случае коэффициенты $a=1$, $b=7$, $c=10$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$

Поскольку дискриминант $D = 9 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, такие значения аргумента существуют.

Ответ: Да, существуют.

б)

Проверим, существуют ли значения аргумента, при которых функция $y = x^2 - 1$ принимает значение, равное -4.

Решим уравнение:

$x^2 - 1 = -4$

Выразим $x^2$:

$x^2 = -4 + 1$

$x^2 = -3$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $x^2$ должен быть равен -3, у этого уравнения нет действительных корней.

Ответ: Нет, не существуют.

в)

Проверим, существуют ли значения аргумента, при которых функция $y = x^4 + 3x^2 - 1$ принимает значение, равное 3.

Решим уравнение:

$x^4 + 3x^2 - 1 = 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^4 + 3x^2 - 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t$ должно быть неотрицательным ($t \ge 0$). Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 3t - 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -4, а их сумма равна -3. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $x^2 = t_1 = 1$. Отсюда $x = \pm \sqrt{1}$, то есть $x = 1$ и $x = -1$. Это действительные корни.

2. $x^2 = t_2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Поскольку мы нашли действительные значения аргумента ($x=1$ и $x=-1$), при которых функция принимает заданное значение, ответ "да".

Ответ: Да, существуют.

г)

Проверим, существуют ли значения аргумента, при которых функция $y = \frac{1}{3}x^3 + 1$ принимает значение, равное -10.

Решим уравнение:

$\frac{1}{3}x^3 + 1 = -10$

Выразим $x^3$:

$\frac{1}{3}x^3 = -10 - 1$

$\frac{1}{3}x^3 = -11$

$x^3 = -11 \cdot 3$

$x^3 = -33$

Отсюда находим $x$:

$x = \sqrt[3]{-33}$

$x = -\sqrt[3]{33}$

Это значение является действительным числом. Следовательно, такое значение аргумента существует.

Ответ: Да, существуют.