Страница 242 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

752 Существуют ли значения аргумента, при которых:

а) функция $y = x^2 + 7x + 15$ принимает значение, равное 5;

б) функция $y = x^2 - 1$ принимает значение, равное -4;

в) функция $y = x^4 + 3x^2 - 1$ принимает значение, равное 3;

г) функция $y = \frac{1}{3}x^3 + 1$ принимает значение, равное -10?

Чтобы определить, существуют ли значения аргумента (x), при которых функция принимает заданное значение, нужно приравнять выражение функции к этому значению и решить полученное уравнение. Если уравнение имеет хотя бы один действительный корень, то такие значения аргумента существуют.

а)

Проверим, существуют ли значения аргумента, при которых функция $y = x^2 + 7x + 15$ принимает значение, равное 5.

Для этого решим уравнение:

$x^2 + 7x + 15 = 5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 7x + 15 - 5 = 0$

$x^2 + 7x + 10 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, чтобы определить, есть ли у уравнения действительные корни. В данном случае коэффициенты $a=1$, $b=7$, $c=10$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$

Поскольку дискриминант $D = 9 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, такие значения аргумента существуют.

Ответ: Да, существуют.

б)

Проверим, существуют ли значения аргумента, при которых функция $y = x^2 - 1$ принимает значение, равное -4.

Решим уравнение:

$x^2 - 1 = -4$

Выразим $x^2$:

$x^2 = -4 + 1$

$x^2 = -3$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $x^2$ должен быть равен -3, у этого уравнения нет действительных корней.

Ответ: Нет, не существуют.

в)

Проверим, существуют ли значения аргумента, при которых функция $y = x^4 + 3x^2 - 1$ принимает значение, равное 3.

Решим уравнение:

$x^4 + 3x^2 - 1 = 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^4 + 3x^2 - 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t$ должно быть неотрицательным ($t \ge 0$). Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 3t - 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -4, а их сумма равна -3. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $x^2 = t_1 = 1$. Отсюда $x = \pm \sqrt{1}$, то есть $x = 1$ и $x = -1$. Это действительные корни.

2. $x^2 = t_2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Поскольку мы нашли действительные значения аргумента ($x=1$ и $x=-1$), при которых функция принимает заданное значение, ответ "да".

Ответ: Да, существуют.

г)

Проверим, существуют ли значения аргумента, при которых функция $y = \frac{1}{3}x^3 + 1$ принимает значение, равное -10.

Решим уравнение:

$\frac{1}{3}x^3 + 1 = -10$

Выразим $x^3$:

$\frac{1}{3}x^3 = -10 - 1$

$\frac{1}{3}x^3 = -11$

$x^3 = -11 \cdot 3$

$x^3 = -33$

Отсюда находим $x$:

$x = \sqrt[3]{-33}$

$x = -\sqrt[3]{33}$

Это значение является действительным числом. Следовательно, такое значение аргумента существует.

Ответ: Да, существуют.

753 Найдите область определения каждой из функций:

а) $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{5}{\sqrt{x}};

б) $y = \frac{1}{|x - 2|}$ и $y = \frac{1}{|x| - 2}.

a)

Для функции $y = \sqrt{x}$. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для функции квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, должно выполняться неравенство $x \ge 0$. Таким образом, область определения этой функции — это числовой луч $[0, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

Для функции $y = \frac{5}{\sqrt{x}}$. В этом выражении переменная $x$ находится и под знаком квадратного корня, и в знаменателе дроби. Поэтому должны выполняться два условия одновременно: 1) подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$; 2) знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $\sqrt{x} \neq 0$, что равносильно $x \neq 0$. Объединяя эти два условия, получаем строгое неравенство $x > 0$. Таким образом, область определения этой функции — это открытый числовой луч $(0, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б)

Для функции $y = \frac{1}{|x-2|}$. Данная функция является дробной, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю. Запишем это условие: $|x-2| \neq 0$. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю. Следовательно, $x-2 \neq 0$, откуда получаем $x \neq 2$. Областью определения являются все действительные числа, кроме 2.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

Для функции $y = \frac{1}{|x|-2}$. Аналогично предыдущему случаю, знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $|x|-2 \neq 0$. Это равносильно условию $|x| \neq 2$. Модуль числа $x$ равен 2 в двух случаях: когда $x=2$ и когда $x=-2$. Следовательно, эти два значения необходимо исключить из области определения. Областью определения являются все действительные числа, кроме -2 и 2.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

РАССУЖДАЕМ (754–755)

754 1) Пусть символом $a(x)$ обозначено количество сестёр человека по имени $x$, а символом $b(x)$ — количество его братьев.

а) Найдите $a(x)$, $b(x)$, если $x$ — это вы.

б) Что означает запись $a(x) + b(x) + 1$? ($x$ — это вы.)

в) Найдите $a(x)$, $b(x)$ и $a(x) + b(x) + 1$, если $x$ — это ваш сосед по парте.

2) Пусть $m(x)$ — мать человека $x$, $o(x)$ — отец человека $x$. Как называют человека, который закодирован символом:

а) $o(m(x))$;

б) $m(o(x))$;

в) $m(m(x))$;

г) $o(o(x))$?

1)

а) Значения $a(x)$ и $b(x)$ являются персональными, так как $x$ — это вы. Символ $a(x)$ обозначает количество ваших сестёр, а $b(x)$ — количество ваших братьев. Например, если у вас есть одна сестра и два брата, то $a(x)=1$, а $b(x)=2$. Если вы единственный ребёнок в семье, то $a(x)=0$ и $b(x)=0$.
Ответ: Чтобы найти $a(x)$ и $b(x)$, необходимо посчитать количество ваших сестёр и братьев.

б) Поскольку $a(x)$ — это количество сестёр, а $b(x)$ — количество братьев человека $x$, то их сумма $a(x)+b(x)$ — это общее количество его братьев и сестёр (сиблингов). Добавляя к этой сумме 1, мы учитываем самого человека $x$. Следовательно, вся запись означает общее количество детей в семье.
Ответ: Общее количество детей в семье человека $x$.

в) Аналогично пункту а), чтобы найти значения для вашего соседа по парте ($x$), нужно узнать, сколько у него сестёр и братьев. Например, если у вашего соседа две сестры и нет братьев, то $a(x)=2$, $b(x)=0$. Тогда выражение $a(x) + b(x) + 1$ будет равно $2 + 0 + 1 = 3$. Это означает, что в семье вашего соседа трое детей.
Ответ: Значения $a(x)$ и $b(x)$ зависят от количества сестёр и братьев у вашего соседа по парте. Выражение $a(x) + b(x) + 1$ означает общее количество детей в его семье.

2)

а) Разберём выражение $o(m(x))$ по частям. Внутренняя часть, $m(x)$, означает «мать человека $x$». Внешняя функция $o()$ применяется к результату, то есть $o(\text{мать } x)$, что означает «отец матери $x$». Отец матери — это дедушка по материнской линии.
Ответ: Дедушка со стороны матери (отец матери).

б) Рассмотрим выражение $m(o(x))$. Сначала находим $o(x)$ — «отец человека $x$». Затем применяем к результату функцию $m()$: $m(\text{отец } x)$, что означает «мать отца $x$». Мать отца — это бабушка по отцовской линии.
Ответ: Бабушка со стороны отца (мать отца).

в) Рассмотрим выражение $m(m(x))$. Сначала находим $m(x)$ — «мать человека $x$». Затем применяем функцию $m()$ ещё раз: $m(\text{мать } x)$, что означает «мать матери $x$». Мать матери — это бабушка по материнской линии.
Ответ: Бабушка со стороны матери (мать матери).

г) Рассмотрим выражение $o(o(x))$. Сначала находим $o(x)$ — «отец человека $x$». Затем применяем функцию $o()$ ещё раз: $o(\text{отец } x)$, что означает «отец отца $x$». Отец отца — это дедушка по отцовской линии.
Ответ: Дедушка со стороны отца (отец отца).

755 Пусть $f(x) = x - 3$, $g(x) = \sqrt{x}$. Найдите:

а) $f(4) - g(4)$;

б) $f(1) + g(1) + 1$;

в) $f(g(100));$

г) $g(f(19)).$

Даны функции $f(x) = x - 3$ и $g(x) = \sqrt{x}$.

а) Чтобы найти значение выражения $f(4) - g(4)$, сначала вычислим значения функций $f(x)$ и $g(x)$ при $x = 4$.

1. Найдем $f(4)$. Подставим $x = 4$ в формулу для функции $f(x) = x - 3$:

$f(4) = 4 - 3 = 1$

2. Найдем $g(4)$. Подставим $x = 4$ в формулу для функции $g(x) = \sqrt{x}$:

$g(4) = \sqrt{4} = 2$

3. Теперь вычтем второе значение из первого:

$f(4) - g(4) = 1 - 2 = -1$

Ответ: -1

б) Чтобы найти значение выражения $f(1) + g(1) + 1$, вычислим значения функций $f(x)$ и $g(x)$ при $x = 1$.

1. Найдем $f(1)$. Подставим $x = 1$ в формулу $f(x) = x - 3$:

$f(1) = 1 - 3 = -2$

2. Найдем $g(1)$. Подставим $x = 1$ в формулу $g(x) = \sqrt{x}$:

$g(1) = \sqrt{1} = 1$

3. Теперь сложим полученные значения и добавим 1:

$f(1) + g(1) + 1 = -2 + 1 + 1 = 0$

Ответ: 0

в) Выражение $f(g(100))$ представляет собой композицию функций. Сначала нужно найти значение внутренней функции $g(100)$, а затем подставить результат в качестве аргумента во внешнюю функцию $f(x)$.

1. Найдем значение $g(100)$:

$g(100) = \sqrt{100} = 10$

2. Теперь подставим полученное значение (10) в функцию $f(x)$:

$f(g(100)) = f(10) = 10 - 3 = 7$

Ответ: 7

г) Выражение $g(f(19))$ также является композицией функций. Сначала вычисляем значение внутренней функции $f(19)$, а затем подставляем результат в функцию $g(x)$.

1. Найдем значение $f(19)$:

$f(19) = 19 - 3 = 16$

2. Теперь подставим полученное значение (16) в функцию $g(x)$:

$g(f(19)) = g(16) = \sqrt{16} = 4$

Ответ: 4