Номер 753, страница 242 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.2. Что такое функция. Глава 5. Функции - номер 753, страница 242.

Условие.

753 Найдите область определения каждой из функций:

а) $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{5}{\sqrt{x}};

б) $y = \frac{1}{|x - 2|}$ и $y = \frac{1}{|x| - 2}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Для функции $y = \sqrt{x}$. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для функции квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, должно выполняться неравенство $x \ge 0$. Таким образом, область определения этой функции — это числовой луч $[0, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

Для функции $y = \frac{5}{\sqrt{x}}$. В этом выражении переменная $x$ находится и под знаком квадратного корня, и в знаменателе дроби. Поэтому должны выполняться два условия одновременно: 1) подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$; 2) знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $\sqrt{x} \neq 0$, что равносильно $x \neq 0$. Объединяя эти два условия, получаем строгое неравенство $x > 0$. Таким образом, область определения этой функции — это открытый числовой луч $(0, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б)

Для функции $y = \frac{1}{|x-2|}$. Данная функция является дробной, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю. Запишем это условие: $|x-2| \neq 0$. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю. Следовательно, $x-2 \neq 0$, откуда получаем $x \neq 2$. Областью определения являются все действительные числа, кроме 2.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

Для функции $y = \frac{1}{|x|-2}$. Аналогично предыдущему случаю, знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $|x|-2 \neq 0$. Это равносильно условию $|x| \neq 2$. Модуль числа $x$ равен 2 в двух случаях: когда $x=2$ и когда $x=-2$. Следовательно, эти два значения необходимо исключить из области определения. Областью определения являются все действительные числа, кроме -2 и 2.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.