Номер 749, страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.2. Что такое функция. Глава 5. Функции - номер 749, страница 241.

Условие.

749 Дана функция

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 6, & \text{если } x \ge 3 \\ 6 - x^2, & \text{если } x < 3. \end{cases}$

Найдите значение этой функции при значении аргумента, равном:

а) $ \sqrt{3}; \sqrt{7}; \sqrt{10}; $

б) $ 2 - \sqrt{3}; \frac{1}{\sqrt{3}}; 2\sqrt{3}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения значения функции для каждого аргумента $x$ необходимо сначала определить, удовлетворяет ли $x$ условию $x \ge 3$ или $x < 3$, а затем подставить значение в соответствующую формулу.

а)

1. Найдем значение функции для $x = \sqrt{3}$.
Сравним $\sqrt{3}$ с 3. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $3 < 9$, то $\sqrt{3} < \sqrt{9}$, следовательно $\sqrt{3} < 3$.
Для этого случая используем формулу $f(x) = 6 - x^2$.
$f(\sqrt{3}) = 6 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3$.

2. Найдем значение функции для $x = \sqrt{7}$.
Сравним $\sqrt{7}$ с 3. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $7 < 9$, то $\sqrt{7} < \sqrt{9}$, следовательно $\sqrt{7} < 3$.
Используем формулу $f(x) = 6 - x^2$.
$f(\sqrt{7}) = 6 - (\sqrt{7})^2 = 6 - 7 = -1$.

3. Найдем значение функции для $x = \sqrt{10}$.
Сравним $\sqrt{10}$ с 3. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $10 > 9$, то $\sqrt{10} > \sqrt{9}$, следовательно $\sqrt{10} > 3$.
Для этого случая ($x \ge 3$) используем формулу $f(x) = x^2 - 6$.
$f(\sqrt{10}) = (\sqrt{10})^2 - 6 = 10 - 6 = 4$.

Ответ: $3; -1; 4$.

б)

1. Найдем значение функции для $x = 2 - \sqrt{3}$.
Сравним $2 - \sqrt{3}$ с 3. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $2-2 < 2 - \sqrt{3} < 2-1$, что дает $0 < 2 - \sqrt{3} < 1$. Следовательно, $2 - \sqrt{3} < 3$.
Используем формулу $f(x) = 6 - x^2$.
$f(2 - \sqrt{3}) = 6 - (2 - \sqrt{3})^2 = 6 - (2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = 6 - (4 - 4\sqrt{3} + 3) = 6 - (7 - 4\sqrt{3}) = 6 - 7 + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 1$.

2. Найдем значение функции для $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Сравним $\frac{1}{\sqrt{3}}$ с 3. Так как $\sqrt{3} > 1$, то $0 < \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$. Следовательно, $\frac{1}{\sqrt{3}} < 3$.
Используем формулу $f(x) = 6 - x^2$.
$f(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 6 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 6 - \frac{1}{3} = \frac{18}{3} - \frac{1}{3} = \frac{17}{3}$.

3. Найдем значение функции для $x = 2\sqrt{3}$.
Сравним $2\sqrt{3}$ с 3. Возведем оба положительных числа в квадрат: $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$ и $3^2 = 9$. Так как $12 > 9$, то $2\sqrt{3} > 3$.
Для этого случая ($x \ge 3$) используем формулу $f(x) = x^2 - 6$.
$f(2\sqrt{3}) = (2\sqrt{3})^2 - 6 = 12 - 6 = 6$.

Ответ: $4\sqrt{3} - 1; \frac{17}{3}; 6$.