Номер 744, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.2. Что такое функция. Глава 5. Функции - номер 744, страница 240.

Условие.

744 Известно, что $f(x) = 0.5x^2 - 4$. Сравните:

а) $f(-5)$ и $f(4)$;

б) $f(1)$ и $f(-1)$;

в) $f(\sqrt{8})$ и $f(-\sqrt{10})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи нам дана функция $f(x) = 0,5x^2 - 4$. Чтобы сравнить значения функции в различных точках, мы можем либо напрямую вычислить эти значения, либо проанализировать свойства самой функции.

Заметим, что функция $f(x) = 0,5x^2 - 4$ является четной, так как $f(-x) = 0,5(-x)^2 - 4 = 0,5x^2 - 4 = f(x)$. Это означает, что для любых противоположных значений аргумента значения функции равны, то есть $f(a) = f(-a)$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен: $0,5 > 0$). Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$. Это означает, что чем дальше аргумент $x$ находится от нуля (т.е. чем больше его модуль $|x|$), тем большее значение принимает функция.

а) Сравнить $f(-5)$ и $f(4)$.

Подставим значения аргументов в формулу функции:

1. Найдем $f(-5)$:

$f(-5) = 0,5 \cdot (-5)^2 - 4 = 0,5 \cdot 25 - 4 = 12,5 - 4 = 8,5$.

2. Найдем $f(4)$:

$f(4) = 0,5 \cdot 4^2 - 4 = 0,5 \cdot 16 - 4 = 8 - 4 = 4$.

3. Сравним полученные значения:

$8,5 > 4$, значит, $f(-5) > f(4)$.

Альтернативно, можно было сравнить модули аргументов: $|-5| = 5$ и $|4| = 4$. Так как $5 > 4$, то и значение функции в точке $-5$ будет больше, чем в точке $4$.

Ответ: $f(-5) > f(4)$.

б) Сравнить $f(1)$ и $f(-1)$.

Так как функция является четной, то по определению $f(x) = f(-x)$. Следовательно, $f(1) = f(-1)$.

Проверим это прямым вычислением:

$f(1) = 0,5 \cdot 1^2 - 4 = 0,5 \cdot 1 - 4 = 0,5 - 4 = -3,5$.

$f(-1) = 0,5 \cdot (-1)^2 - 4 = 0,5 \cdot 1 - 4 = 0,5 - 4 = -3,5$.

Значения действительно равны.

Ответ: $f(1) = f(-1)$.

в) Сравнить $f(\sqrt{8})$ и $f(-\sqrt{10})$.

Подставим значения аргументов в формулу функции:

1. Найдем $f(\sqrt{8})$:

$f(\sqrt{8}) = 0,5 \cdot (\sqrt{8})^2 - 4 = 0,5 \cdot 8 - 4 = 4 - 4 = 0$.

2. Найдем $f(-\sqrt{10})$:

$f(-\sqrt{10}) = 0,5 \cdot (-\sqrt{10})^2 - 4 = 0,5 \cdot 10 - 4 = 5 - 4 = 1$.

3. Сравним полученные значения:

$0 < 1$, значит, $f(\sqrt{8}) < f(-\sqrt{10})$.

Альтернативно, можно сравнить модули аргументов: $|\sqrt{8}| = \sqrt{8}$ и $|-\sqrt{10}| = \sqrt{10}$. Так как $8 < 10$, то $\sqrt{8} < \sqrt{10}$, следовательно, $| \sqrt{8} | < | -\sqrt{10} |$. Поскольку функция возрастает при увеличении модуля аргумента, то $f(\sqrt{8}) < f(-\sqrt{10})$.

Ответ: $f(\sqrt{8}) < f(-\sqrt{10})$.