Номер 739, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.2. Что такое функция. Глава 5. Функции - номер 739, страница 239.

Условие.

739 а) Число диагоналей $p$ выпуклого многоугольника является функцией числа его вершин $n$. Задайте эту функцию формулой. Какова её область определения? Заполните таблицу, в которой даны некоторые значения аргумента $n$ и функции $p$:

$n$	5		10
$p$		14		54

Проинтерпретируйте полученные результаты на геометрическом языке.

б) Среди учащихся восьмых классов школы провели шахматную олимпиаду, в которой каждый участник сыграл с каждым другим участником по одной партии. Число сыгранных партий $r$ является функцией числа участников олимпиады $m$. Задайте эту функцию формулой. Какова область определения этой функции? Заполните таблицу:

$m$	5	6
$r$			28	55

Как можно прокомментировать данные таблицы?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Число диагоналей $p$ выпуклого многоугольника с $n$ вершинами можно найти, рассмотрев общее число отрезков, которые можно провести между $n$ вершинами, и вычтя из него число сторон многоугольника.
Общее число пар вершин, которые можно выбрать из $n$ штук, равно числу сочетаний из $n$ по 2: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.
Эти отрезки включают в себя $n$ сторон многоугольника и все его диагонали. Следовательно, чтобы найти число диагоналей $p$, нужно из общего числа отрезков вычесть число сторон $n$:
$p(n) = C_n^2 - n = \frac{n(n-1)}{2} - n = \frac{n^2 - n - 2n}{2} = \frac{n^2 - 3n}{2} = \frac{n(n-3)}{2}$.
Таким образом, функция задается формулой: $p(n) = \frac{n(n-3)}{2}$.
Область определения функции: поскольку $n$ — это число вершин многоугольника, оно должно быть целым числом, большим или равным 3 (минимальный многоугольник — треугольник). То есть, $n \in \mathbb{N}, n \ge 3$.
Заполним таблицу, используя полученную формулу:
1. Если $n=5$, то $p = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.
2. Если $p=14$, то $\frac{n(n-3)}{2} = 14 \implies n(n-3) = 28 \implies n^2 - 3n - 28 = 0$. Решая квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $n_1=7$ и $n_2=-4$. Так как $n$ должно быть положительным, подходит $n=7$.
3. Если $n=10$, то $p = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$.
4. Если $p=54$, то $\frac{n(n-3)}{2} = 54 \implies n(n-3) = 108 \implies n^2 - 3n - 108 = 0$. Решая уравнение, находим корни $n_1=12$ и $n_2=-9$. Подходит $n=12$.
Заполненная таблица:

n	5	7	10	12
p	5	14	35	54

Проинтерпретируйте полученные результаты на геометрическом языке:
Формула $p(n) = \frac{n(n-3)}{2}$ и заполненная таблица показывают, как количество диагоналей в выпуклом многоугольнике зависит от количества его вершин. Например, у пятиугольника ($n=5$) есть 5 диагоналей, у семиугольника ($n=7$) — 14 диагоналей, у десятиугольника ($n=10$) — 35 диагоналей, а у двенадцатиугольника ($n=12$) — 54 диагонали. С увеличением числа вершин число диагоналей растет нелинейно (квадратично).
Ответ: Функция: $p(n) = \frac{n(n-3)}{2}$. Область определения: $n$ — натуральное число, $n \ge 3$. Заполненная таблица приведена выше.

б) Число партий $r$ в шахматной олимпиаде, где каждый из $m$ участников играет с каждым другим по одной партии, равно числу способов выбрать пару участников из $m$ человек. Это задача на нахождение числа сочетаний из $m$ по 2.
Формула для числа сочетаний: $C_m^2 = \frac{m(m-1)}{2}$.
Следовательно, функция, связывающая число партий $r$ и число участников $m$, имеет вид: $r(m) = \frac{m(m-1)}{2}$.
Область определения функции: поскольку $m$ — это число участников, и для игры нужна хотя бы одна пара, $m$ должно быть целым числом, большим или равным 2. То есть, $m \in \mathbb{N}, m \ge 2$.
Заполним таблицу, используя полученную формулу:
1. Если $m=5$, то $r = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.
2. Если $m=6$, то $r = \frac{6(6-1)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$.
3. Если $r=28$, то $\frac{m(m-1)}{2} = 28 \implies m(m-1) = 56 \implies m^2 - m - 56 = 0$. Решая уравнение, находим корни $m_1=8$ и $m_2=-7$. Так как число участников не может быть отрицательным, $m=8$.
4. Если $r=55$, то $\frac{m(m-1)}{2} = 55 \implies m(m-1) = 110 \implies m^2 - m - 110 = 0$. Решая уравнение, находим корни $m_1=11$ и $m_2=-10$. Подходит $m=11$.
Заполненная таблица:

m	5	6	8	11
r	10	15	28	55

Ответ: Функция: $r(m) = \frac{m(m-1)}{2}$. Область определения: $m$ — натуральное число, $m \ge 2$. Заполненная таблица приведена выше.

Как можно прокомментировать данные таблицы?
Обе задачи, несмотря на разный контекст (геометрия и турнир), описываются очень похожими математическими моделями. В обоих случаях мы ищем количество пар, которые можно составить из некоторого числа объектов ($n$ вершин или $m$ участников). Это приводит к квадратичным функциям, основанным на формуле сочетаний $C_k^2 = \frac{k(k-1)}{2}$.
Функция для числа шахматных партий $r(m) = \frac{m(m-1)}{2}$ является прямым применением этой формулы.
Функция для числа диагоналей $p(n) = \frac{n(n-3)}{2}$ также основана на этой идее, но с поправкой: из общего числа пар вершин $C_n^2$ вычитаются те $n$ пар, которые образуют стороны многоугольника, а не диагонали. То есть, $p(n) = C_n^2 - n$.
Таким образом, обе таблицы демонстрируют применение одной и той же комбинаторной идеи к различным практическим ситуациям.