Номер 4, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 5.2. Что такое функция. Глава 5. Функции - номер 4, страница 238.

Условие.

a) Что называют областью определения функции (фрагмент 4)?

б) Что принято считать областью определения функции, если она задана формулой и область определения специальным образом не указана? Найдите область определения функции: $f(x) = x^2 + 3x$; $f(x)=\frac{10}{x-1}$.

в) Укажите область определения функции, заданной формулой $S = a^2$, где $S$ – площадь квадрата, $a$ – длина стороны квадрата.

Решение 3.

Решение 4.

а) Областью определения функции называют множество всех допустимых значений независимой переменной (аргумента), при которых значение функции может быть вычислено. Иными словами, это все значения $x$, для которых выражение $f(x)$ имеет смысл. Область определения функции $y=f(x)$ принято обозначать как $D(f)$ или $D(y)$.

Ответ: Областью определения функции называют множество всех допустимых значений независимой переменной, при которых функция определена.

б) Если функция задана аналитически (формулой) и её область определения не указана явно, то принято считать, что область определения состоит из всех тех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Такая область определения называется естественной областью определения функции.

Для функции $f(x) = x^2 + 3x$:
Это выражение является многочленом (в данном случае, квадратичным). Вычисление значения этого выражения требует операций умножения, возведения в степень и сложения. Все эти операции определены для любых действительных чисел. Следовательно, никаких ограничений на значения $x$ нет.

Для функции $f(x) = \frac{10}{x-1}$:
Это выражение является дробью. Основное ограничение для дробей — знаменатель не должен равняться нулю, так как деление на ноль является неопределенной операцией. Найдем значение $x$, при котором знаменатель $x-1$ равен нулю:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$.
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=1$.

Ответ: для функции $f(x) = x^2 + 3x$ область определения — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$; для функции $f(x) = \frac{10}{x-1}$ область определения — все действительные числа, кроме 1, то есть $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) Функция задана формулой $S = a^2$, где $a$ — это длина стороны квадрата, а $S$ — его площадь. В этом контексте независимая переменная $a$ представляет собой физическую величину — длину. Длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательной. Значение $a = 0$ соответствует вырожденному случаю, когда квадрат сжимается в точку. Для существования невырожденного квадрата его сторона должна иметь строго положительную длину. Поэтому область определения для переменной $a$ — это множество всех положительных действительных чисел.

Ответ: Область определения функции $S = a^2$ в заданном контексте — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $a \in (0; +\infty)$.