Номер 734, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.1. Чтение графиков. Глава 5. Функции - номер 734, страница 233.

Условие.

734 Яхта отошла от причала на берегу озера и в течение часа курсировала по озеру. Через час она вернулась к причалу. Максимальное удаление от причала составило 3 км.

а) Начертите график, показывающий, как в течение этого часа могло меняться расстояние $s$ (км) от яхты до причала, и прокомментируйте этот график.

б) Используя свой график, постройте график движения яхты, отложив по горизонтальной оси время движения, а по вертикальной — пройденный яхтой путь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для построения графика зависимости расстояния $s$ (в км) от времени $t$ (в часах) проанализируем условия задачи. По оси абсцисс отложим время $t$ в часах (от 0 до 1), а по оси ординат — расстояние $s$ от причала в километрах (от 0 до 3).

Основные точки и условия для графика:

• В начальный момент времени ($t=0$) яхта отошла от причала, значит, расстояние до него равно нулю. График начинается в точке с координатами (0; 0).
• Через час ($t=1$) яхта вернулась к причалу, значит, расстояние до него снова стало равно нулю. График заканчивается в точке с координатами (1; 0).
• Максимальное удаление от причала составило 3 км. Это означает, что в какой-то момент времени между 0 и 1 часом, расстояние $s$ достигло своего максимального значения, равного 3 км.

Существует множество возможных графиков, удовлетворяющих этим условиям. Мы выберем самый простой случай: яхта движется с постоянной скоростью от причала, достигает максимального удаления, а затем с такой же постоянной скоростью возвращается обратно. Логично предположить, что время на путь туда и обратно было одинаковым.

Комментарий к графику:

В этом случае график будет представлять собой ломаную линию, состоящую из двух отрезков.

1. Удаление от причала: В течение первой половины времени, то есть за 0.5 часа (30 минут), яхта равномерно удаляется от причала. Расстояние до него линейно возрастает от 0 до 3 км. Этот участок графика — отрезок, соединяющий точки (0; 0) и (0.5; 3).
2. Возвращение к причалу: В течение второй половины времени, с 0.5 часа до 1 часа, яхта равномерно возвращается к причалу. Расстояние до него линейно уменьшается от 3 до 0 км. Этот участок графика — отрезок, соединяющий точки (0.5; 3) и (1; 0).

Таким образом, в момент времени $t = 0.5$ часа яхта достигла максимального удаления в 3 км и начала движение обратно.

Ответ: Возможный график зависимости расстояния от времени $s(t)$ — это ломаная линия, проходящая через точки (0; 0), (0.5; 3) и (1; 0). Первый отрезок (от $t=0$ до $t=0.5$) соответствует движению от причала, а второй (от $t=0.5$ до $t=1$) — движению к причалу.

б)

Используя график из пункта (а), построим график зависимости пройденного яхтой пути (обозначим его $P$) от времени $t$. Пройденный путь — это общая дистанция, которую преодолела яхта, и эта величина не может уменьшаться.

По оси абсцисс отложим время $t$ в часах (от 0 до 1), а по оси ординат — пройденный путь $P$ в километрах.

• На первом участке (от $t=0$ до $t=0.5$): Яхта движется в одном направлении, удаляясь от причала. В этом случае пройденный путь равен расстоянию от причала. Таким образом, за первые 0.5 часа яхта прошла 3 км. График на этом участке — это отрезок, соединяющий точки (0; 0) и (0.5; 3).
• На втором участке (от $t=0.5$ до $t=1$): Яхта движется обратно к причалу. Пройденный путь продолжает увеличиваться. К моменту $t=0.5$ было пройдено 3 км. За следующие 0.5 часа яхта проходит еще 3 км, чтобы вернуться к причалу. Общий пройденный путь к моменту $t=1$ составит $3 \text{ км} + 3 \text{ км} = 6 \text{ км}$. График на этом участке — это отрезок, соединяющий точки (0.5; 3) и (1; 6).

Комментарий к графику:

График пройденного пути $P(t)$ представляет собой ломаную линию, состоящую из двух отрезков с положительным наклоном.

1. Первый отрезок соединяет точки (0; 0) и (0.5; 3).
2. Второй отрезок соединяет точки (0.5; 3) и (1; 6).

Весь график является неубывающей функцией, так как пройденный путь со временем только накапливается. Наклон графика на каждом участке соответствует скорости яхты. В нашем примере скорость на обоих участках одинакова и равна $6 \text{ км/ч}$, так как за каждые полчаса яхта проходила 3 км.

Ответ: График зависимости пройденного пути от времени $P(t)$ — это ломаная линия, проходящая через точки (0; 0), (0.5; 3) и (1; 6). Общий путь, пройденный яхтой за час, составляет 6 км.