Номер 729, страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.1. Чтение графиков. Глава 5. Функции - номер 729, страница 231.

Условие.

$V$, л

Рис. 5.7

$V$, л

Рис. 5.8

729 На рисунках 5.7 и 5.8 изображены два графика. Один из них показывает процесс наполнения бака водой, а другой — процесс вытекания воды из бака.

1) Определите, какой процесс описывает каждый из графиков.

2) По каждому графику ответьте на вопросы:

а) Сколько литров воды было в баке первоначально?

б) Сколько литров воды стало в баке через 1 мин? через 3 мин? через 5 мин?

в) Через сколько минут в баке оказалось 20 л воды?

г) На сколько литров меняется количество воды в баке за 1 мин?

3) Какой процесс протекал быстрее — наполнение бака водой или вытекание воды из бака? Вычислите скорость, с которой вода вливалась в бак; вытекала из бака.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

На графике 5.7 показано, что с течением времени (ось t) объем воды (ось V) в баке уменьшается. Это означает, что вода из бака вытекает.

На графике 5.8 показано, что с течением времени объем воды в баке увеличивается. Это означает, что бак наполняется водой.

Ответ: График 5.7 описывает процесс вытекания воды из бака. График 5.8 описывает процесс наполнения бака водой.

2)

Для графика 5.7 (вытекание воды):

а) Первоначальное количество воды — это объем в момент времени $t=0$. По графику 5.7 в этот момент времени объем $V$ составлял 50 литров.

Ответ: 50 литров.

б) График представляет собой прямую линию. Найдем её уравнение $V(t) = kt + b$. В начальный момент $t=0$, $V=50$ л, значит $b=50$. В момент $t=10$ мин, $V=0$ л. Подставим в уравнение: $0 = k \cdot 10 + 50$, откуда $10k = -50$ и $k = -5$. Уравнение имеет вид $V(t) = 50 - 5t$.

Через 1 мин ($t=1$): $V(1) = 50 - 5 \cdot 1 = 45$ л.

Через 3 мин ($t=3$): $V(3) = 50 - 5 \cdot 3 = 35$ л.

Через 5 мин ($t=5$): $V(5) = 50 - 5 \cdot 5 = 25$ л.

Ответ: Через 1 мин в баке стало 45 л, через 3 мин — 35 л, через 5 мин — 25 л.

в) Чтобы найти, через сколько минут в баке оказалось 20 л, решим уравнение $20 = 50 - 5t$.

$5t = 50 - 20$

$5t = 30$

$t = 6$ мин.

Ответ: Через 6 минут.

г) Количество воды меняется с постоянной скоростью, равной модулю коэффициента $k$ в уравнении прямой. $k = -5$, значит, каждую минуту объем воды уменьшается на 5 литров.

Ответ: Количество воды уменьшается на 5 литров за 1 минуту.

Для графика 5.8 (наполнение бака):

а) В начальный момент времени $t=0$ по графику 5.8 объем $V$ составлял 10 литров.

Ответ: 10 литров.

б) График представляет собой прямую линию. Найдем её уравнение $V(t) = kt + b$. В начальный момент $t=0$, $V=10$ л, значит $b=10$. В момент $t=4$ мин, $V=20$ л. Подставим в уравнение: $20 = k \cdot 4 + 10$, откуда $4k = 10$ и $k = 2,5$. Уравнение имеет вид $V(t) = 2,5t + 10$.

Через 1 мин ($t=1$): $V(1) = 2,5 \cdot 1 + 10 = 12,5$ л.

Через 3 мин ($t=3$): $V(3) = 2,5 \cdot 3 + 10 = 7,5 + 10 = 17,5$ л.

Через 5 мин ($t=5$): $V(5) = 2,5 \cdot 5 + 10 = 12,5 + 10 = 22,5$ л.

Ответ: Через 1 мин в баке стало 12,5 л, через 3 мин — 17,5 л, через 5 мин — 22,5 л.

в) Чтобы найти, через сколько минут в баке оказалось 20 л, решим уравнение $20 = 2,5t + 10$.

$2,5t = 20 - 10$

$2,5t = 10$

$t = 4$ мин.

Ответ: Через 4 минуты.

г) Количество воды меняется с постоянной скоростью, равной коэффициенту $k$ в уравнении прямой. $k = 2,5$, значит, каждую минуту объем воды увеличивается на 2,5 литра.

Ответ: Количество воды увеличивается на 2,5 литра за 1 минуту.

3)

Чтобы определить, какой процесс протекал быстрее, нужно сравнить скорости изменения объема воды в обоих случаях. Скорость — это величина, показывающая, на сколько литров изменяется объем воды за одну минуту.

Скорость вытекания воды (график 5.7) — это модуль скорости изменения объема. За 10 минут вытекло 50 литров.

$v_{вытекания} = \frac{50 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = 5$ л/мин.

Скорость наполнения бака (график 5.8) — это скорость изменения объема. За 10 минут объем увеличился с 10 л до 35 л, то есть на $35 - 10 = 25$ литров.

$v_{наполнения} = \frac{35 \text{ л} - 10 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = \frac{25 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = 2,5$ л/мин.

Сравниваем скорости: $5$ л/мин > $2,5$ л/мин. Следовательно, процесс вытекания воды протекал быстрее.

Ответ: Быстрее протекал процесс вытекания воды из бака. Скорость, с которой вода вливалась в бак, равна 2,5 л/мин. Скорость, с которой вода вытекала из бака, равна 5 л/мин.