Номер 727, страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.1. Чтение графиков. Глава 5. Функции - номер 727, страница 229.

Условие.

727 На рисунке 5.6 изображён график температуры воздуха в городе Весеннем 25 февраля 2012 г. По графику определите:

Ось Y: $T, \;{}^\circ\text{C}$

Ось X: $t, \;\text{ч}$

а) какая температура была в 6 ч; в 11 ч; в 18 ч;

б) в какое время дня температура была $-3\;{}^\circ\text{C}$; $2\;{}^\circ\text{C}$; $4\;{}^\circ\text{C}$;

Рис. 5.6

в) в какое время суток температура была выше $0\;{}^\circ\text{C}$; ниже $0\;{}^\circ\text{C}$;

г) в какое время суток температура повышалась; понижалась; оставалась постоянной;

д) в какое время суток температура была максимальной и в какое время — минимальной;

е) какова была максимальная температура за сутки; минимальная температура за сутки;

ж) в какое время суток температура повышалась с наибольшей скоростью; понижалась с наибольшей скоростью;

з) какова была средняя скорость изменения температуры с 8 до 10 ч; с 0 до 4 ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) какая температура была в 6 ч; в 11 ч; в 18 ч;

Для определения температуры в указанное время находим на горизонтальной оси времени ($t$, ч) нужное значение, а затем по графику определяем соответствующее значение на вертикальной оси температуры ($T$, °C).

• В 6 ч: Находим на оси $t$ значение 6. Двигаясь вертикально вверх до графика, видим, что соответствующая точка имеет координату $T = -6$. Таким образом, температура была –6 °C.
• В 11 ч: Время 11 ч находится ровно посередине между отметками 10 ч и 12 ч. Температура в 10 ч составляла –3 °C, а в 12 ч — 2 °C. Поскольку на этом участке график является прямой линией (температура изменяется равномерно), то температура в 11 ч будет равна среднему арифметическому этих значений: $T(11) = \frac{-3 \text{°C} + 2 \text{°C}}{2} = -0.5 \text{°C}$.
• В 18 ч: Находим на оси $t$ значение 18. Соответствующая точка на графике имеет координату $T = 1$. Таким образом, температура была 1 °C.

Ответ: в 6 ч температура была –6 °C; в 11 ч — –0.5 °C; в 18 ч — 1 °C.

б) в какое время дня температура была –3 °C; 2 °C; 4 °C;

Для определения времени, когда температура достигала заданного значения, находим это значение на вертикальной оси $T$ и определяем, каким моментам времени $t$ соответствуют точки пересечения горизонтальной линии с графиком.

• Температура –3 °C: Горизонтальная линия $T = -3$ пересекает график в точке, где $t = 10$ ч. Кроме того, график совпадает с этой линией на всем промежутке времени с 20 ч до 24 ч.
• Температура 2 °C: Горизонтальная линия $T = 2$ пересекает график в двух точках. Первая точка соответствует времени $t = 12$ ч. Вторая точка находится на отрезке между 16 ч ($T=3$ °C) и 18 ч ($T=1$ °C). Так как значение 2 °C является средним арифметическим между 3 °C и 1 °C, то и время будет средним арифметическим между 16 ч и 18 ч, то есть $t = \frac{16+18}{2} = 17$ ч.
• Температура 4 °C: Горизонтальная линия $T = 4$ касается графика в его наивысшей точке (вершине). Это происходит в момент времени $t = 14$ ч.

Ответ: температура была –3 °C в 10 ч и в период с 20 ч до 24 ч; 2 °C — в 12 ч и 17 ч; 4 °C — в 14 ч.

в) в какое время суток температура была выше 0 °C; ниже 0 °C;

• Температура выше 0 °C ($T > 0$): Это происходит, когда график расположен выше оси времени ($T=0$). Найдем точки пересечения графика с осью $T=0$.
  Первое пересечение находится на интервале от 10 ч ($T=-3$ °C) до 12 ч ($T=2$ °C). Найдем точное время $t$ из уравнения прямой: $\frac{t - 10}{12 - 10} = \frac{0 - (-3)}{2 - (-3)}$, что дает $\frac{t - 10}{2} = \frac{3}{5}$, откуда $t = 10 + 1.2 = 11.2$ ч (11 ч 12 мин).
  Второе пересечение — на интервале от 18 ч ($T=1$ °C) до 20 ч ($T=-3$ °C). Аналогично: $\frac{t - 18}{20 - 18} = \frac{0 - 1}{-3 - 1}$, что дает $\frac{t - 18}{2} = \frac{1}{4}$, откуда $t = 18 + 0.5 = 18.5$ ч (18 ч 30 мин).
  Следовательно, температура была выше 0 °C между этими моментами времени.
• Температура ниже 0 °C ($T < 0$): Это происходит, когда график расположен ниже оси времени. Это соответствует временным промежуткам до первого пересечения с осью $T=0$ и после второго.

Ответ: температура была выше 0 °C в интервале времени с 11 ч 12 мин до 18 ч 30 мин; ниже 0 °C — в интервалах с 0 ч до 11 ч 12 мин и с 18 ч 30 мин до 24 ч.

г) в какое время суток температура повышалась; понижалась; оставалась постоянной;

Анализируем направление движения графика по оси времени.

• Повышалась: График идет вверх, что соответствует увеличению температуры. Это происходит на временном интервале с 8 ч до 14 ч.
• Понижалась: График идет вниз, что соответствует уменьшению температуры. Это происходит на интервалах с 0 ч до 4 ч и с 14 ч до 20 ч.
• Оставалась постоянной: График представляет собой горизонтальную линию, температура не меняется. Это происходит на интервалах с 4 ч до 8 ч (при $T=-6$ °C) и с 20 ч до 24 ч (при $T=-3$ °C).

Ответ: температура повышалась с 8 ч до 14 ч; понижалась с 0 ч до 4 ч и с 14 ч до 20 ч; оставалась постоянной с 4 ч до 8 ч и с 20 ч до 24 ч.

д) в какое время суток температура была максимальной и в какое время — минимальной;

• Максимальная температура: Находим самую высокую точку на графике. Это точка $(14, 4)$. Следовательно, максимальная температура наблюдалась в 14 ч.
• Минимальная температура: Находим самую низкую часть графика. Это горизонтальный отрезок на уровне $T=-6$ °C, который длится с 4 ч до 8 ч.

Ответ: максимальной температура была в 14 ч; минимальной — в период с 4 ч до 8 ч.

е) какова была максимальная температура за сутки; минимальная температура за сутки;

• Максимальная температура: Это значение координаты $T$ в самой высокой точке графика. Максимальное значение равно 4 °C.
• Минимальная температура: Это значение координаты $T$ в самой низкой точке графика. Минимальное значение равно –6 °C.

Ответ: максимальная температура за сутки была 4 °C; минимальная — –6 °C.

ж) в какое время суток температура повышалась с наибольшей скоростью; понижалась с наибольшей скоростью;

Скорость изменения температуры соответствует крутизне (наклону) графика. Нам нужно найти самый крутой участок подъема и самый крутой участок спуска.

• Наибольшая скорость повышения: Рассчитаем скорость (наклон) на участках роста (с 8 до 14 ч).
  • С 8 ч до 10 ч: скорость = $\frac{-3 - (-6)}{10 - 8} = 1.5$ °C/ч.
  • С 10 ч до 12 ч: скорость = $\frac{2 - (-3)}{12 - 10} = 2.5$ °C/ч.
  • С 12 ч до 14 ч: скорость = $\frac{4 - 2}{14 - 12} = 1$ °C/ч.
  Наибольшая скорость повышения равна 2.5 °C/ч.
• Наибольшая скорость понижения: Рассчитаем модуль скорости (модуль наклона) на участках убывания (с 0 до 4 ч и с 14 до 20 ч).
  • С 0 ч до 4 ч: скорость = $|\frac{-6 - (-4)}{4 - 0}| = 0.5$ °C/ч.
  • С 14 ч до 16 ч: скорость = $|\frac{3 - 4}{16 - 14}| = 0.5$ °C/ч.
  • С 16 ч до 18 ч: скорость = $|\frac{1 - 3}{18 - 16}| = 1$ °C/ч.
  • С 18 ч до 20 ч: скорость = $|\frac{-3 - 1}{20 - 18}| = 2$ °C/ч.
  Наибольшая скорость понижения равна 2 °C/ч.

Ответ: температура повышалась с наибольшей скоростью (2.5 °C/ч) в период с 10 ч до 12 ч; понижалась с наибольшей скоростью (2 °C/ч) в период с 18 ч до 20 ч.

з) какова была средняя скорость изменения температуры с 8 до 10 ч; с 0 до 4 ч.

Средняя скорость изменения температуры на промежутке от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле $v_{ср} = \frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{T(t_2) - T(t_1)}{t_2 - t_1}$.

• С 8 до 10 ч: $t_1 = 8$ ч, $T(8) = -6$ °C; $t_2 = 10$ ч, $T(10) = -3$ °C.
  $v_{ср} = \frac{-3 - (-6)}{10 - 8} = \frac{3}{2} = 1.5$ °C/ч.
• С 0 до 4 ч: $t_1 = 0$ ч, $T(0) = -4$ °C; $t_2 = 4$ ч, $T(4) = -6$ °C.
  $v_{ср} = \frac{-6 - (-4)}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -0.5$ °C/ч.

Ответ: средняя скорость изменения температуры с 8 до 10 ч была 1.5 °C/ч; с 0 до 4 ч — –0.5 °C/ч.